Ergänzungen zur Physik I: Wellen (Zusammenfassung)

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1 Ergänzungen zu Physik I Inhaltsverzeichnis Ergänzungen zur Physik I: Wellen (Zusammenfassung) U. Straumann, 28. Dezember 2013 Physik - Institut Universität Zürich Inhaltsverzeichnis 1 Wellengleichung 2 2 Beispiele von Wellen 3 3 Energietransport in einer Welle 4 4 Dopplereffekt 5 5 Reflexion und Transmission 5 6 Stehende Wellen 6 7 Fourieranalyse 7 1

2 Ergänzungen zu Physik I 1 Wellengleichung 1 Wellengleichung Wenn eine physikalische Grösse als Funktion von Ort und Zeit in einer kausal zusammenhängender Art variiert, spricht man von einer Welle. Beispiele sind die Ausbreitung von Auslenkungen auf einem Seil (Seilwelle), Druckwellen in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern (Schallwellen), elektromagnetische Wellen (z.b. Licht) oder Oberflächenwellen von Flüssigkeiten. Die Erregung der Welle an einem Ort s zur Zeit t bezeichnen wir mit u(x, t). u kann zum Beispiel eine Auslenkung (bei der Seilwelle), ein Druck (bei der Schallwelle) oder eine elektrische Felstärke (bei der e.m. Welle) sein. Die Erregung der Welle breitet sich im Raum mit der Wellengschwindigkeit v aus. Bei der Ausbreitung wird in der Regel keine Materie transportiert, aber Energie. Es gibt eindimensionale oder ebene Wellen, deren Erregung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung z überall im Raum gleich ist. Es ist dann u(z, t). Zum Beispiel gerade Oberflächenwellen im Wasser. Im allgemeinen sind die Wellen dreidimensional, und werden durch eine Funktion beschrieben. u( r, t) mit r = (x, y, z) (1) Formal heisst eine Funktion u(x, t) eine Welle, falls die Wellengleichung erfüllt ist: 2 u t 2 u a 2 = 0 Wellengleichung ebene Welle (2) x2 Dies ist eine homogene und lineare, partielle Differentialgleichung 2. Ordnung für die Funkion u(x, t). Die Konstante a bestimmt die Ausbreitungsgeschwindigkeit v = a. Das Ortsbild der Welle erhalten wir, wenn wir bei festem t die Erregung u als Funktion der Koordinate x darstellen. Mit Zeitbild bezeichnen wir die Darstellung der Funktion u an einem festen Ort x als Funktion der Zeit. Falls das Ortsbild einer Welle immer gleich aus sieht, ausser dass es sich im Laufe der Zeit mit der Geschwindigkeit v entlang der Koordinate x fortbewegt, nennen wir die Welle formstabil. In diesem Fall sind die beiden Variablen x und t miteinander korreliert, es gilt x = x 0 + v t formstabile Welle (3) Eine Welle heisst harmonisch, wenn sie als Kosinusfunktion dargestellt werden kann. u(x, t) = u 0 cos (kx ωt) harmonische Welle (4) Eine harmonische Welle ist formstabil. Die Konstanten sind k = 2π λ ω = 2π T (5) 2

3 Ergänzungen zu Physik I 2 Beispiele von Wellen Die Wellenlänge λ bezeichnet dabei den Abstand zwischen 2 Maxima der Welle im Ortsbild (bei fester Zeit). Die Periode T bezeichnet den Abstand zweier Maxima im Zeitbild (am festen Ort). k heisst die Wellenzahl, ω die Kreisfrequenz und f = 1/T die Frequenz. Das Argument der Cosinusfunktion kann man wegen der Formstabilität auch wie folgt umwandeln: kx ωt = k (x v t) und somit v = ω k = f λ (6) Bei gegebener Wellengeschwindigkeit v ist also die Wellenlänge λ umgekehrt proportional zur Frequenz f. Harmonische Kugelwellen können wie folgt dargestellt werden: u( r, t) = f(r) cos (kr ωt) Kugelwelle (7) 2 Beispiele von Wellen Seilwelle: Die Seilwelle ist transversal, das heisst die Auslenkung steht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Transversale Welle heissen polarisiert, wenn sie die Auslenkung in nur eine Richtung stattfindet. Die Wellengeschwindigkeit wird v = σ ρ = Z µ Seilwelle (8) mit σ = Spannung im Seil, Z = Zugkraft im Seil, ρ = Massendichte pro Volumen und µ = Massendichte pro Längeneinheit. Longitudinale Druckwelle in duenner Stange: Unter Anwendung des Hooke schen Gesetzes erhält man E v = londitudinale Druckwelle (9) ρ mit E = Elastizitätsmodul und ρ = Massendichte. Transversale Welle in der Stange: G v = ρ transversale Welle (10) mit G = Schubmodul und ρ = Massendichte. Da G < E sind transversale Wellen langsamer als longitudinale. Dies ist wichtig in der Interpretation von seismischen Erdbebenwellen. Schalldruckwellen in Gasen: Unter Annahme von adiabatischer Kompression erhält man Rκ v = T londitudinale Druckwelle im Gas (11) M mit R = universelle Gaskonstante, κ = Verhältnis der spezifischen Wärmen, M = Molmasse, T = absolute Temperatur in Kelvin. 3

4 Ergänzungen zu Physik I 3 Energietransport in einer Welle 3 Energietransport in einer Welle Sei u = u 0 cos(kx ωt) die Auslenkung einer harmonischen longitudinalen Schallwelle. Die kinetische Energie einer kleinen Masse m = ρ V, die von der Welle getroffen wird, ergibt demnach: E kin = 1 2 m u2 = 1 2 ρ V u2 0 ω 2 sin 2 (kx ωt) (12) Wenn das Gas zusammengedrückt wird, so wird potentielle Energie gespeichert. Da E pot +E kin = E tot = konst. wegen der Energieerhaltung, muss die Summe also konstant sein. Das kann nur erreicht werden, wenn die potentielle Energie mit cos 2 und derselben Amplitude schwankt, also: Wegen cos 2 + sin 2 = 1 wird die gesamte Energie Die Energiedichte w ist als Energie pro Volumen definiert: E pot = 1 2 ρ V u2 0 ω 2 cos 2 (kx ωt) (13) E tot = 1 2 ρ V u2 0 ω 2 (14) w = 1 2 ρ u2 0 ω 2 (15) Man definiert die Intensität J einer Welle als die Energie die pro Fläche und pro Zeiteinheit durch eine Fläche A transportiert wird. Dies ist die Energie, die in einem Volumen der Länge x vor der Fläche A steckt und welche in der Zeit t durch die A geschoben wird. Es wird J = E tot A t = x w t = v w = 1 2 v ρ u2 0 ω 2 [J] = W m 2 (16) Der Ausdruck Z = v ρ heisst auch die Schallkennimpedanz oder Schallhärte des Materials. Für physiologische Sensoren gilt allgemein das Weber-Fechner sche Gesetz, welches postuliert, die Empfindung des Menschen sei proportional zum Logarithums der Instensität einer ankommenden Welle. Deshalb verwendet man die Logarithmen der Intensitäten als Einheiten, die so erhaltenen Zahlenwerte heissen auch Pegel. Zum Beispiel misst man die Lautstärke (eigentlich Schallleistungspegel) L einer Schallwelle in DeziBel (db): L = 10 lg J J 0 Lautstaerke [L] = db (17) Dabei ist J 0 = W/m 2 eine Konstante, die der Lautstärke 0 db entspricht. Die Empfindlichkeit des menschlichen Ohres ist frequenzabhängig, am besten hören wir bei 3 khz, der Frequenz mit der die kleinen Kinder schreien. Bei kleineren und grösseren Frequenzen nimmt die Sensitivität ab. Um dieser Empfindlichkeitsvariation Rechnung zu tragen, wird die gemessene Intensität mit einer frequenzabhängigen Filterfunktion gewichtet, die die frequenzabhängige Empfindlichkeit des Ohrs kompensieren soll. Die dazugehörige Einheit für den so bewerteten Schallleistungspegel heisst db A. 4

5 Ergänzungen zu Physik I 5 Reflexion und Transmission 4 Dopplereffekt Bewegt sich die Quelle oder der Beobachter bezüglich dem Medium, das die Welle überträgt, ergibt sich der Dopplereffekt. Bewegt sich zum Beispiel die Quelle gegenüber dem ruhenden Medium und dem ruhenden Boebachter, dann rennt die Quelle den von ihr erzeugten Wellen hinterher. Die vom Beobachter wahrgenommene Wellenlänge verkürzt sich dadurch. Dies wirkt sich über c = λ ν auf die wahrgeno5mmene Frequenz ω B aus. Es gilt allgmein ω B = ω Q 1 ± v B c 1 v Q c Dabei bedeuten v Q und v B die Geschwindigkeiten der Quelle und des Beobachters gegenüber dem Medium und c die Wellengeschwindigkeit im Medium. Die oberen Vorzeichen gelten, wenn sich Quelle und Beobachter einander nähern, die unteren wenn sie auseinandergehen. Bei ruhender Quelle und Beobachter, aber bewegtem Medium (Wind!) ergibt sich kein Dopplereffekt, denn es gilt dann v B = v W ind und v Q = v W ind. Nähert sich v Q der Wellengeschwindigkeit c wird die Wellenlänge immer kürzer, bei v Q = c addieren sich die Wellen zu einer einzigen sehr grossen Wellenfront (Ueberschallknall). Bei v Q > c breitet sich die Wellenfront kegelförmig aus, dem Mach schen Kegel (Bild Enten im Teich). Der halbe Oeffnungswinkel des Mach schen Kegels berechnet sich zu (18) sin θ = c v Q (19) 5 Reflexion und Transmission Wir senden eine longitudinale Schalldruckwelle von einem Material 1 in ein anderes Material 2 (zum Beispiel Schallwelle von Luft in Wasser). An der Grenze der beiden Materialien kann ein Teil der Welle reflektiert werden, der Rest geht in das 2. Material. Wir nennen die Wellenamplituden der drei Komponenten: u e einfallende Welle, u d durchgehende Welle und u r reflektierte Welle. An der Grenze zwischen den zwei Materialien (also bei festem x) muss sich eine eindeutige Schwingung ergeben. Das heisst die Auslenkung an der Grenzfläche muss stetig sein, und somit müssen die Amplituden links und rechts der Grenze gleich sein: u e + u r = u d Stetigkeit (20) Aussdem muss die Energie erhalten sein, das heisst die einfallende Intensität muss gleich der durchgehenden plus der reflektierten sein: Z 1 ω 2 u 2 e = Z 1 ω 2 u 2 r + Z 2 ω 2 u 2 d Energieerhaltung (21) Aus der Forderung nach der Stetigkeit folgt ausserdem, dass die Frequenzen auf beiden Seiten gleich sein müssen. Es wird demnach Z 1 u 2 e = Z 1 u 2 r + Z 2 u 2 d (22) 5

6 Ergänzungen zu Physik I 6 Stehende Wellen Daraus kann man leicht die Amplituden berechnen. Wir nehmen den Summanden mit u r in (22) auf die linke Seite, dividieren die erhaltene Gleichung durch Z 1 und dann durch (20) und addieren (bzw. subtrahieren) das Resultat noch einmal mit (20). Die durchgehende und reflektierte Amplitude wird damit: 2 Z 1 u d = u e (23) Z 1 + Z 2 u r = u e Z1 Z 2 Z 1 + Z 2 (24) Offenbar bestimmen die Schallimpedanzen, was an der Grenzfläche passiert: Z 1 = Z 2 Hier wird nichts reflektiert, die gesamte Energie passiert die Grenze. Man spricht von angepasster (Schallkenn-)Impedanz. Z 2 < Z 1 teils Reflexion, teils Transmission. Z 2 > Z 1 Reflexion mit Vorzeichenwechsel: u r < 0. Z 2 = Starre Wand: u r = u e, es wird alles reflektiert, aber mit umgekehrtem Vorzeichen der Auslenkung. Z 2 = 0, offenes Ende (zum Beispiel eines Stabes). u r = u e es wird alles reflektiert. (Es ist zwar u d = 2u e aber es wird wegen Z 2 = 0 keine Energie ins Material 2 transportiert.) 6 Stehende Wellen Lassen wir eine harmonische Welle zwischen zwei starren Wänden im Abstand L vollständig reflektieren (jeweils Vorzeichenwechsel), ergibt sich eine stehende Welle, falls die folgende Bedingung erfüllt ist: Wir bezeichnen λ = 2 L n n = 1, 2, 3,... (25) u e = A cos(kx ωt) einfallende Welle (26) u r = A cos( kx ωt) reflektierte Welle (27) und beachten, dass die reflektierte Welle die Richtung ändert ( kx) und die Amplitude das Vorzeichen wechselt ( A), wie im verhergehenden Abschnit erklärt. Mit Hilfe des Additionstheorems erhalten wir für die gesamte Bewegung als Summe der einfallenden und reflektierten Welle u = u e + u r = 2A sin(kx) sin(ωt) (28) Dies ist die Gleichung einer stehenden Welle. In der Tat ergeben sich für x = π/k = λ/2 periodische Nullstellen, die sogenannten Knoten der stehenden Welle. An der starren Wand müssen sich solche Knoten befinden, was mit der oben genannten Bedingung λ = 2L/n erfüllt ist. Für n = 1 spricht man von der Grundfrequenz, n > 1 heissen die Oberschwingungen. Musikalische Saiten- und Blasinstrumente machen sich diese Eigenschaften zu Nutze. 6

7 Ergänzungen zu Physik I 7 Fourieranalyse 7 Fourieranalyse Lassen wir ein schwingendes System harmonisch Schwingen, und zwar mit zwei unterschiedlichen Frequenzen ω 1 und ω 2, y 1 = A cos ω 1 t und y 2 = A cos ω 2 t (29) ergibt sich als resultierende Bewegung der beiden Schwingungen y = y 1 + y 2 = 2A sin( ω 1 ω 2 t) sin( ω 1 + ω 2 t) (30) 2 2 Die lässt sich analog zum vorhergehenden Kapitel mit dem Additionstheorem zeigen. Sind die beiden Frequenzen sehr ähnlich ω 1 ω 2 wird der erste Sinusterm sehr langsam variieren, was zu einer an- und abschwellender Lautstärke führt. Dies nennt man Schwebung. Durch Addition mehrerer harmonischer Schwingungen kann man so im Prinzip jede beliebige nicht-harmonische, aber periodische Funktion erzeugen. Fourier erkannte 1822, dass umgekehrt jede periodische Funktion f(t) = f(t + T ) (T = Periode) als Summe von harmonischen Schwingungen mit ganzzahligem Vielfachen der Grundfrequenz ν 1 = 1/T = ω 1 /2π dargestellt werden kann. f(t) = a 0 + (a n cos ω n t + b n sin ω n t) mit ω n = n ω 1 (31) n=0 Die Terme mit ω n heissen die n-te Oberschwingung. Beachte die Analogie zu einer stehenden Welle, die ebenfalls aus einer Grundschwingung und aus Oberwellen mit ganzahligem Vielfachen der Grundfrequenz besteht. Bei gegebener periodischer Funktion f(t) berechnen sich die Fourierkoeffizienten a n und b n wie folgt: a n = 2 f(t) cos(ω n t) und b n = 2 f(t) sin(ω n t) (32) T T Die Integrale laufen über eine ganze Periode. Der Satz von Fourier lässt sich verallgemeineren auf nicht-periodische Funktionen, indem man einfach T gehen lässt. Die Summe wird dabei zum Integral. Man bedient sich hier üblicherweise der komplexen Schreibweise. Jede hinreichend brave (aber nicht-periodische) Funktion f(t) lässt sich darstellen als f(t) = 1 2π + a(ω ) e iω t dω (33) Die Funktion a(ω) heisst das Frequenzspektrum. Das Spektrum berechnet man durch a(ω) = 1 2π + f(t ) e iωt dt (34) Dabei sind a und f komplexe Grössen, die physikalischen Werte sind die Realteile dieser Funktionen. Diese Berechnung der a(ω) heisst Fourieranalyse. Beachte die Symmetrie der Transformationen zwischen dem Frequenzraum a(ω) und dem Zeitraum f(t)! Handelt es sich bei f(t) um Töne eines Musikinstrumentes, dann bestimmt a(ω) den Klang der Töne. 7