Zwischenprüfung. Mathematische Grundlagen (35 Pkt.)

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Oswalda Mann
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1 Datum: Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2018 Photonics Laboratory, ETH Zürich Zwischenprüfung I Mathematische Grundlagen (35 Pkt.) 1. (1 Pkt.) Für das Betragsquadrat c 2 einer komplexen Zahl c = u + iv mit u, v R gilt c 2 = (c + c ) 2, c 2 = c c, c 2 = u 2 v 2, 2. (1 Pkt.) Für das Betragsquadrat a b 2 der Summe zweier komplexer Zahlen a, b C gilt a b 2 = a 2 + b 2 + 2ab, a b 2 = a 2 + b 2, a b 2 = a 2 + b 2 2Re(a b), Unterschrift Student/-in: 1

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3 3. (1 Pkt.) Für den Imaginärteil einer komplexen Zahl c C gilt Im(c) = 1 2 (c c ), Im(c) = i 2 (c c ), Im(c) = i 2 (c c), 4. (1 Pkt.) Es gilt e 3iπ/4 = 1 2 ( 1 + i), e 3iπ/4 = 1 2 (1 i), e 3iπ/4 = 1 2 ( 1 + i) e 3iπ/4 = 1 2 (1 i). 5. (1 Pkt.) Es gilt i i = e π, i i = e π/2, i i = e i, 6. (1 Pkt.) Es gilt Im i = 1/ 2, Im i = 0, Im i = 1, Unterschrift Student/-in: 3

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5 7. (2 Pkt.) Berechnen Sie die Ableitung f (x) der Funktion f(x) = (x 1)2 (x 2) 3 am Punkt x = 3. d dx f(x) x=3 = (3 Pkt.) Berechnen Sie die Ableitung f (x) der Funktion f(x) = sin[cos(x 2 )] am Punkt x = π/2. d dx f(x) π x= π/2 = 2 cos(1/ 2). 9. (4 Pkt.) Das folgende bestimmte Integral der Funktion f(x) = e k r mit lautet für k > 0 dr f(x) = 2/k. 10. (3 Pkt.) Es gilt π/4 11. (3 Pkt.) Es gilt 0 1 π dx cos x = 1/ 2. π dx cos 2 x = 1/ (5 Pkt.) Die Taylorreihe der Funktion f(x) = 1 1+x 2 um x 0 = 0 lautet bis zur quadratischen Ordnung in x f(x) = 1 x 2 + O(x 4 ) the O(x4) is optional. Unterschrift Student/-in: 5

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7 13. (1 Pkt.) Für den Positionsvektor r = (x, y, z) T gilt r = 0, r = 1, r = 2, 14. (3 Pkt.) Für den radialen Abstand r = r vom Ursprung gilt r = 1/r, r = 2/r, r = r/2, 15. (3 Pkt.) Mit dem Laplace-Operator 2 gilt für das Vektorfeld F(x, y, z) = x 2 + y 2 2 F = (2, 4, k 2 e ikx ) T, 2 F = 2, 2 F = (0, 2, 0) T, 16. (2 Pkt.) Mit dem Laplace-Operator 2 gilt für das skalare Feld f(r) = r 2 mit der Radiuskoordinate r = x 2 + y 2 + z 2 2 f(r) = 4, 2 f(r) ist nicht definiert, 2 f(r) = r, y 2 e ikx Unterschrift Student/-in: 7

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9 II Elektromagnetische Felder und Wellen (65 Pkt.) 1. (3 Pkt.) Die Dispersionsrelation in einem Medium mit Brechungsindex n lautet k k = n ω2 k z = n ω2 k c 2 2 x ky, 2 k z = n 2 ω 2 k c 2 2 x + ky, 2 c 2, 2. (3 Pkt.) Für den Brechungsindex n gilt in einem Medium mit Materialparametern µ, ε n = εµ. 3. (3 Pkt.) In einem Medium mit Brechungsindex n gilt für die Wellenlänge λ elektromagnetischer Strahlung der Frequenz ω mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c λ = 2π c nω. 4. (3 Pkt.) In einem Medium mit Materialparametern µ, ε > 1 ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit v einer monochromatischen elektromagnetischen Welle v = n c, v = 1 µ0 µε 0 ε, v = εε 0 µµ 0 c, 5. (3 Pkt.) Im quellfreien Vakuum gilt für das reelle dielektrische Verschiebungsfeld D(r, t) [ ] D(r, t) = 0, c 2 t [ k 2] D(r, t) = 0, [ ] D(r, t) = 0, c 2 t 2 Unterschrift Student/-in: 9

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11 6. (3 Pkt.) Wir betrachten eine z-polarisierte und in x-richtung propagierende, monochromatische ebene Welle mit Wellenzahl k und Kreisfrequenz ω, für deren reelle elektrische Feldamplitude gelte E(x = 0, t = π 2ω ) = E 0. Das komplexe elektrische Feld lautet 0 E(r) = E 0 0 i [ exp k ix 7. (3 Pkt.) Für die komplexen elektrischen und magnetischen Felder einer ebenen Welle gilt mit der Wellenimpedanz Z ]. H(r) = 1 Z [k E(r)], [ ] H(r) = 1 Z E(r) k k, H(r) = Z [ E(r)], 8. (3 Pkt.) Betrachten Sie das komplexe elektrische Feld E(r) = (1 + i)e 0 e ikr mit E 0 R 3. Wie lautet das dazugehörige reelle Feld? E(r, t) = E 0 [cos(kr + ωt) + sin(kr + ωt)], E(r, t) = E 0 [ cos(kr + ωt) sin(kr + ωt)], E(r, t) = E 0 [cos(kr + ωt) sin(kr + ωt)], 9. (3 Pkt.) Betrachten Sie das komplexe elektrische Feld E(r) = 1 2 (1 + i)e 0e ikr mit E 0 R 3 im Vakuum. Wie lautet die Intensität in der Ebene z = 0? I(z = 0) = 1 Z 0 E 0 2, I(z = 0) = 1 2Z 0 E 0 2, I(z = 0) = 1 2Z 0 E 0 2 cos(kx), Unterschrift Student/-in: 11

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13 10. (4 Pkt.) Wie lautet das komplexe elektrische Feld einer in der xz-ebene unter dem Winkel α zur x-achse propagierenden ebenen Welle mit Amplitude E 0, die in der xz-ebene polarisiert ist? Wählen Sie die Einträge des Polarisationsvektors rein reell. z k α x sin α E = E 0 0 cos α [ exp ik (x cos α + z sin α) ], Solution comment: Sign swap in polarization vector is ok. 11. (3 Pkt.) Eine in der xz-ebene unter dem Winkel α zur x-achse propagierende ebene Welle, deren Magnetfeld in der xz-ebene polarisiert ist, ist bezüglich einer Grenzfläche in der Ebene z = 0 s-polarisiert, p-polarisiert, zirkular polarisiert, 12. (3 Pkt.) Die Polarisation der reflektierten Komponente einer auf eine Grenzfläche einfallenden links-zirkular polarisierten ebenen Welle ist stets links-zirkular polarisiert, rechts-zirkular polarisiert, abhängig von den Fresnel-Koeffizienten, Unterschrift Student/-in: 13

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15 13. Betrachten Sie eine ebene Welle vom Typ E(r) = E 0 e ikz. (a) (3 Pkt.) Es sei E 0 R. Für E 0 = E 0 (i, 0, 0) T gilt die Welle ist linear polarisiert, die Welle ist zirkular polarisiert, die Welle erfüllt die Maxwell schen Gleichungen nicht, (b) (3 Pkt.) Es sei E 0 R. Für E 0 = E 0 (1, 0, 1) T gilt die Welle ist linear polarisiert, die Welle ist zirkular polarisiert, die Welle erfüllt die Maxwell schen Gleichungen nicht, (c) (3 Pkt.) Es sei E 0 R. Für E 0 = E 0 (1 i/2, 1 + i, 0) T gilt die Welle ist linear polarisiert, die Welle ist zirkular polarisiert, die Welle erfüllt die Maxwell schen Gleichungen nicht, 14. (3 Pkt.) Ein elektromagnetischer Puls propagiere im Vakuum in negative x-richtung und sei y-polarisiert. Zum Zeitpunkt t = 0 laute die y-komponente des Feldes ] E y (x, t = 0) = E 0 exp [ (kx)2 sin(kx). An einem beliebigen Ort und zu einer beliebigen Zeit lautet die y-komponente des Feldes k2 (x + ct) E y (x, t) = E 0 exp sin[k (x + ct) ]. Unterschrift Student/-in: 15

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17 15. Eine ebene Welle propagiere unter dem Winkel α zur x-achse auf eine Grenzfläche bei x = 0 zu. Im Bereich x > 0 sei der Brechungsindex n 2, im Bereich x < 0 sei er n 1 < n 2. Es entsteht eine reflektierte Welle mit Wellenvektor k refl und eine gebrochene Welle mit Wellenvektor k refr, wie unten skizziert. n 2 n 1 k in x α γ β k refr k refl z (a) (2 Pkt.) Es gilt α > β, α < β, α = β, (b) (2 Pkt.) Es gilt n 2 sin(α) = n 1 sin(γ), sin(α)/n 2 = sin(γ)/n 1, α < γ, (c) (2 Pkt.) Es kommt zu Totalreflexion wenn gilt α > arcsin (n 2 /n 1 ), α > arcsin (n 1 /n 2 ), α > arcsin (n 2 n 1 ), (d) (2 Pkt.) Wir bezeichnen die x-komponente des Wellenvektors k mit k x. Es gilt k in,x = k refl,x, k in,x = (n 1 /n 2 )k refl,x, k in,x = (n 2 /n 1 )k refl,x, (e) (2 Pkt.) Wir bezeichnen die z-komponente des Vektors k mit k z. Es gilt k in,z < k refr,z, k in,z = (n 2 /n 1 )k refl,x, k in,z = (n 2 /n 1 )k refr,z, Unterschrift Student/-in: 17

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19 16. An Grenzflächen gilt allgemein aufgrund der Randbedingungen in Abwesenheit von Oberflächenladungen und -strömen (a) (2 Pkt.) Parallel- und Normalkomponente des E-Feldes sind an Grenzflächen erhalten, die Parallelkomponente des E-Feldes ist an Grenzflächen erhalten, die Normalkomponente des E-Feldes ist an Grenzflächen erhalten, (b) (2 Pkt.) Der Poyntingvektor ist definiert als S = E H. Unter Verwendung der komplexen Felder E(r) und H(r) lautet der zeitgemittelte Poyntingvektor somit S = 1 2 Re {E(r) H(r) }. 17. (2 Pkt.) Für die Fresnel schen Reflexions- und Transmissionskoeffizienten gilt (r s ) 2 + (r p ) 2 = 1, r s 2 + t s 2 = 1, r s + t s + r p + t p = 1, Ende der Prüfungsfragen. Unterschrift Student/-in: 19

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