Wellenleiter und Resonatoren

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1 Übung 1 Abgabe: bzw Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 018 Photonics Laboratory, ETH Zürich Wellenleiter und Resonatoren 1 Koaxialleitung (50 Pkt.) Die verlustfreie Übertragung hochfrequenter Signale wird gewöhnlich durch Wellenleiter realisiert. In dieser Aufgabe betrachten wir eine Koaxialleitung, wie in Abb. 1 gezeigt. Sie bestehe aus einem Innenleiter mit Radius a sowie einem Aussenleiter mit Radius b. Wir nehmen der Einfachheit halber perfekte Leitfähigkeit an. Zwischen den Leitern befinde sich ein Dielektrikum mit Dielektrizitätskonstante ε R sowie Permabilitätskonstante µ R. Wir leiten die Felder für die praxisrelevante TEM-Mode her, die per Definition keine Feldkomponente in Propagationsrichtung aufweist. Die praktische Bedeutung der TEM-Mode rührt von ihrer Eigenschaft, dass sie keine Grenzfrequenz besitzt, und somit auch Gleichspannungssignale übertragen kann. Die radiale Koordinate sei mit ρ bezeichnet, der Azimuthalwinkel mit φ, und die Propagationsrichtung sei entlang der Symmetrieachse in z-richtung. a ρ b ε,µ Abbildung 1: Querschnitt durch einen Koaxialleiter, bestehend aus einem Aussenleiter mit Radius b, sowie einem Innenleiter mit Radius a, die ein dielektrisches Medium mit Materialparametern ε, µ einschliessen. (a) (8 Pkt.) Zeigen Sie aus den Maxwell schen Rotationsgleichungen für die komplexen Felder in zylindrischen Koordinaten, dass die φ-komponenten der Felder von der folgenden Gestalt sind E φ = f(z) ρ, H φ = g(z) ρ. 1 (1)

2 Hinweis: Der Rotationsoperator in zylindrischen Koordinaten lautet ( 1 A z A = ρ φ A ) [ φ Aρ n r + z z A ] z n φ + 1 [ (ρaφ ) ρ ρ ρ A ] ρ n z. () φ Ausserdem müssen dank der azimuthalen Symmetrie alle Ableitungen nach φ verschwinden. (b) (5 Pkt.) Verwenden Sie die Randbedingungen für das elektrische Feld auf den Leiteroberflächen, um zu argumentieren, warum E φ = 0 im gesamten Koaxialleiter gelten muss. (c) (8 Pkt.) Leiten Sie mit Ihrem bisherigen Wissen die Helmholtzgleichungen für die nicht verschwindenden Feldkomponenten E ρ z + k E ρ = 0, (3) H φ z + k H φ = 0 (4) her und überzeugen Sie sich, dass die Propagationskonstante k im Wellenleiter identisch ist mit jener in einem homogenen Medium mit Materialparametern ε, µ. Zeigen Sie ausserdem, dass die Radialkomponente E ρ von der folgenden Gestalt sein muss E ρ = h(z) ρ. (5) (d) (3 Pkt.) Geben Sie die allgemeine Lösung für E ρ (z, ρ) sowie H φ (z, ρ) jeweils als Superposition einer vorwärtslaufenden Welle mit Amplituden h + bzw. g +, sowie einer rückwärtslaufenden Welle mit Amplituden h bzw. g an. (e) (3 Pkt.) Zeigen Sie die folgenden Relationen für die Funktionen h(z) und g(z) h z = iωµµ 0g(z), (6) g z = iωεε 0h(z). (7) (f) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass die Spannung U(x) zwischen den beiden Leitern lautet U(z) = h(z) ln b a. (8) (g) (6 Pkt.) Überzeugen Sie sich, dass der Strom auf dem Innenleiter lautet I(z) = π g(z). (9) (h) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass der komplexe Strom I(z) und die komplexe Spannung U(z) entlang dem Koaxialleiter ebenfalls der Helmholtzgleichung genügen z U + k U = 0, z I + k I = 0. (10)

3 (i) (8 Pkt.) Berechnen Sie nun den Energiefluss im Koaxialleiter für eine in positive z-richtung laufende Welle aus dem Poynting-Vektor der elektromagnetischen Felder und bringen Sie Ihr Resultat in die aus der Schaltungstechnik wohlbekannte Form P = 1 Re { U + I + }. (11) Hierbei bezeichnen U + und I + die Spannungs- bzw. Stromamplitude der vowärtslaufenden Welle U(z) = U + e ikzz und I(z) = I + e ikzz. Wir sehen hier, dass der Energiefluss im Koaxialleiter ausschliesslich über die Felder zwischen den Leitern und keineswegs in den Leitern selbst stattfindet. 3

4 Güte eines Resonators (50 Pkt.) Resonatoren sind Käfige für elektromagnetische Strahlung und im einfachsten Falle mit Dielektrikum gefüllte Volumina, die durch reflektierende Wände begrenzt werden. Die durch diese Wände geschaffenen Randbedingungen erlauben nur bestimmte Lösungen der Maxwell Gleichungen, die wir als Moden bezeichnen. Resonatoren sind unabdinglich als Frequenzstandards und Filter und finden weiterhin Verwendung in der Präzisionsmessung sowie zur Kontrolle der Wechselwirkung zwischen elektromagnetischer Strahlung und Materie. Ein Mass für die Qualität einer Resonatormode ist der Gütefaktor Q. Wir betrachten hier den aus der Vorlesung bekannten quaderförmigen Resonator mit Seitenlängen L x, L y, L z. Jede Mode ist in einem dreidimensionalen Resonator gekennzeichnet durch drei natürliche Zahlen n, m, l und das komplexe Feld im quaderförmigen Resonator bei der Frequenz ω ist (bei perfekt reflektierenden Wänden) von der Gestalt E x = E o x cos(k x x) sin(k y y) sin(k z z), E y = E o y sin(k x x) cos(k y y) sin(k z z), E z = E o z sin(k x x) sin(k y y) cos(k z z), (1) wobei die Wellenzahlen durch die Randbedingungen quantisiert sind, so dass gilt k i = n i π L i, mit i = x, y, z, und n i N 0, (13) und somit die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes auf den Wänden verschwindet. Die Amplituden [Ex, o Ey, o Ez] o T = E o sind komplexe Konstanten. Für einen solchen idealen, völlig verlustfreien Resonator sind die Moden Dirac sche δ-funktionen im Frequenzraum und besitzen somit unendliche Güte. In der Realität zeigt jedoch jeder Resonator Verluste, die den Moden eine endliche Bandbreite verleihen. In dieser Aufgabe betrachten wir dielektrische Verluste eines Resonators, die von der parasitären Leitfähigkeit des Dielektrikums herrühren. Wir wenden uns zunächst dem elektromagnetischen Energieinhalt des Resonators zu. Für ein Material mit dielektrischer Konstante ε = ε R gilt für die elektromagnetische Energiedichte laut dem Poynting-Theorem W = 1 ( ε ε 0 E + µµ 0 H ), (14) 4 wobei der erste Term als elektrische Feldenergiedichte und der zweite als magnetische Feldenergiedichte interpretiert werden kann. (a) (4 Pkt.) Verwenden Sie eine Maxwell-Gleichung, um aus Gl. (1) die folgende Relation für die Feldamplituden zu zeigen k x E o x + k y E o y + k z E o z = 0. (15) (b) (8 Pkt.) Bestimmen Sie die elektrische Feldenergie E e im Resonator als Funktion der komplexen Amplituden E o. Hinweis: Das Integral π 0 dx sin (x) = π 0 dx cos (x) = π/ sollte hilfreich sein. (c) (6 Pkt.) Berechnen Sie das komplexe Magnetfeld H(r) im Resonator aus dem elektrischen Feld. Ziehen Sie hierzu eine der Maxwell-Gleichungen heran. 4

5 (d) (16 Pkt.) Bestimmen Sie die magnetische Feldenergie im Resonator als Funktion der komplexen Amplituden E o x, E o y, E o z und zeigen Sie, dass magnetische und elektrische Feldenergie im Resonator identisch sind. Hinweis: Nutzen Sie Ihr Ergebnis aus Teilaufgabe (a). (e) ( Pkt.) Zeigen Sie, dass die gesamte Feldenergie im Resonator lautet E = ε ε 0 V 8 Eo. (16) (f) (6 Pkt.) Wir betrachten nun einen Resonator, der mit einem verlustbehafteten Dielektrikum gefüllt ist. Dies bedeutet, dass das Dielektrikum eine (geringe) Leitfähigkeit σ(ω) aufweist, die sich in einem (kleinen) Imaginärteil der dielektrischen Konstante ε = ε + iε niederschlägt. Berechnen Sie die dielektrische Verlustleistung durch die induzierten Leitungsströme j cond im Dielektrikum. Hinweis: Laut dem Poynting-Theorem ist die Verlustleistung durch Leitungsströme in einem beliebigen Volumen P d = 1 Re {j cond E } dv. (17) V (g) (4 Pkt.) Die Resonatorgüte ist definiert als das Verhältnis der im Resonator gespeicherten Energie E zur während einer Oszillationsperiode dissipierten Energie P d /ω (abgesehen von einem Faktor π). Zeigen Sie, dass die Güte eines lediglich durch dielektrische Verluste limitierten Resonators modenunabhängig und nur von den dielektrischen Eigenschaften der Füllung abhängig ist und lautet Q = ε. (18) ε (h) (4 Pkt.) Wir möchten einen kubischen Referenzresonator herstellen, dessen nml = 111-Mode bei der Frequenz f = 5 GHz liegt, und der mit Teflon (ε =.08, ε /ε = ) gefüllt ist. Welche Kantenlänge muss der Resonator haben und welche Güte erwarten Sie unter der Annahme perfekter Leitfähigkeit der Seitenflächen? 5