Elektromagnetische Feldtheorie 2

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David Schmitz
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1 Diplom-Vorprüfung Elektrotechnik und Informationstechnik Termin Sommersemester 09 Elektromagnetische Feldtheorie 2 Donnerstag, , 12:00 13:00 Uhr Zur Beachtung: Zugelassene Hilfsmittel: Originalskript zur Vorlesung Elektromagnetische Feldtheorie oder Elektrodynamik der Fachschaft EI 5 Blätter DIN A4 mit eigenen handschriftlichen Aufzeichnungen, keine Kopien oder Drucke Mathematische Formelsammlung Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe einen eigenen Bogen! Geben Sie auf jedem Bogen Name, Vorname und Matrikelnummer an! Bitte schreiben Sie nicht mit Bleistift oder roten oder grünen Farbstiften (Korrekturfarben)! Ergebnisse ohne Herleitung oder Begründung werden nicht gewertet. Die mit einem Stern * gekennzeichneten Teilaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden.

2 1. Aufgabe (13 Punkte) Gegeben ist eine aus drei parallelen Metallplatten bestehende Elektrodenanordnung. Die Elektrode 2 (Länge l, Breite b) befindet sich in der Ebene z = 0. Die Elektroden 1 und 3 sind kreisförmig mit dem Radius r und befinden sich in den Ebenen z = h beziehungsweise z = h/2. Alle drei Elektroden sind starr und fest fixiert. z Q z=h 1 y d x Q z=-h/2 Es gelte ǫ = ǫ 0 (Vakuumpermittivität). Weiterhin ist r << l, r << b, r << d, r >> h und d << l. Damit können Randeffekte vernachlässigt und die Plattenkondensator-Näherung verwendet werden. *a) Wie lautet die Kapazitätsmatrix C für dieses System? Im folgenden sei die Elektrode 2 geerdet, auf den Elektroden 1 und 3 befinde sich jeweils die Ladung Q. *b) Geben Sie den Vektor V der Klemmenpotentiale an den drei Elektroden an. c) Welche elektrostatische Energie W el ist im System gespeichert? d) Berechnen Sie für die Zwischenräume zwischen den Elektroden 1 und 2 sowie 2 und 3 die Maxwellschen Spannungstensoren T 1 und T 3. e) Berechnen Sie mit Hilfe der Maxwellschen Spanungstensoren die elektrischen Oberflächenkräfte F 1 und F 3, die insgesamt jeweils auf die Elektroden 1 und 3 wirken. f) Welche Gesamtkraft F 2 und welches (vom Kräftepaar F 1 und F 3 verursachte) Drehmoment M wirken auf die Elektrode 2, wenn diese nicht mehr starr fixiert ist? Geben Sie jeweils die Beträge und die Richtungen der Größen an.

3 2. Aufgabe (12 Punkte) In einem verlustfreien ladungsfreien Medium mit verschwindender Leitfähigkeit σ=0, der homogenen magnetischen Permeabilität µ und der homogenen elektrischen Permittivität ǫ breitet sich eine harmonische elektromagnetische Welle aus. Diese ist durch ihren elektrischen Feldstärkevektor E 1 (z, t) gemäß E 1 (z, t) = (E 0a cos(kz ωt) + E 0b sin(kz ωt)) e x mit der rellen Kreiswellenzahl k und der Kreisfrequenz ω gegeben. *a) In welcher Richtung breitet sich die Welle aus? *b) Der elektrische Feldstärkevektor E 1 (z, t) lässt sich in komplexer Darstellung in der Form E [ 1 (z, t) = Re ˆ E0 e j(ωt kz) beschreiben. Bestimmen Sie die komplexe Amplitude ˆ E0 in Abhängigkeit von den Parametern E 0a und E 0b. Leiten Sie hieraus eine vereinfachte rein relle Darstellung des elektrischen Feldstärkevekotrs E 1 (z, t) mit einer cos Funktion und zugehörigem Nullphasenwinkel ϕ 0 ab. Im folgenden sei E 0a = 0. *c) Bestimmen Sie die komplexe Amplitude ˆ E0 in diesem Fall. *d) Berechnen Sie einen Ausdruck für die zu E 1 (z, t) gehörende magnetische Feldstärke H 1 (z, t). *e) Bestimmen Sie die elektromagnetische Leistungsflussdichte S( r, t) sowie das zeitliche Mittel des elektromagnetischen Leistungsflusses P, der durch eine kreisförmige Fläche des Radius a in der Ebene z =const fließt. Die durch E 1 (z, t) dargestellte Welle werde an der Ebene z = 0 total reflektiert, wobei ein Phasensprung um π auftritt. Der elektrische Feldstärkevektor der durch Reflexion entstandenen Welle sei E 2 (z, t). *f) Wie lautet die komplexe und die reelle Darstellung des reflektierten elektrischen Feldstärkevektor E 2 (z, t)? g) Die Überlagung der Wellen E 1 (z, t) und E 2 (z, t) ergibt die Welle E 3 (z, t). Berechnen Sie E 3 (z, t). Wie nennt man eine derartige Wellenerscheinung?

4 3. Aufgabe (20 Punkte) Gegeben ist eine in x und y Raumrichtung unendlich ausgedehnte, ladungsfreie Schicht A der Dicke L (d.h. 0 z L). Die elektrische Leitfähigkeit darin sei σ A > 0, die elektrische Permittivität ǫ A und die magnetische Permeabilität µ 0. Diese Schicht ist umgeben von Vakuum mit der elektrischen Permittivität ǫ 0 und der magnetischen Permeabilität µ 0. Für z 0 breitet sich eine elektromagnetische harmonische ebene Welle in positiver z Richtung aus. Ihre elektrische Feldstärke beträgt in komplexer Schreibweise E( r, t) = Re [Ê0 e j(ωt k 0z) e x für z 0 (1) mit der Kreisfrequenz ω, dem reellen Vakuumwellenvektor k = k 0 e z und der komplexen Amplitude Ê0 C. Jedesmal, wenn die Welle eine der beiden Grenzflächen passiert, tritt Reflexion und Transmission auf. Die elektromagnetische Welle für z > L ist durch die Interferenz von Mehrfachreflexionen bestimmt. In dieser Aufgabe sollen nur transmittierte Teilwellen E 0.O ( r, t) und E 1.O ( r, t) der 0-ten und 1-ten Ordnung betrachtet werden (siehe Skizze). *a) Drücken Sie die Vakuumwellenzahl k 0 durch ω und die Materialkonstanten aus. *b) In der Schicht A existieren gedämpfte elektromagnetische Wellen mit elektrischer Feldstärke E( r, t) = Re [Ê+ e j(ωt βz) e αz + Ê e j(ωt+βz) e +αz e x Drücken Sie das Dämpfungsmaß α(ω) R + für kleine Frequenzen (d.h. ω ǫ A << σ A ) durch die Materialkonstanten aus. Welche Beziehung gilt in diesem Fall zwischen α(ω) und dem Phasenmaß β(ω) R +? Wie lautet die komplexe Kreiswellenzahl k(ω)? Jede der beiden Grenzflächen verbindet ein Medium 1, aus der eine einlaufende Welle E in ( r, t) = Re [Êin e j(ωt k 1 (z z 0 )) e x, k1 (ω) C, Re k 1 > 0 auftritt, mit einem Medium 2, in das eine auslaufende Welle E t ( r, t) = Re [Êt e j(ωt k 2 (z z 0 )) e x, k2 (ω) C, Re k 2 > 0 transmittiert wird. Gleichzeitig wird ins Medium 1 eine auslaufende Welle E r ( r, t) = Re [Êr e j(ωt± k 1 (z z 0 )) e x reflektiert. Die Grenzfläche sei bei z = z 0 gelegen, das obere (untere) Vorzeichen gilt, wenn sich das Medium 1 im Bereich z < z 0 (z > z 0 ) befindet.

5 *c) Berechnen Sie die zu E in ( r, t), E t ( r, t) und E r ( r, t) zugehörigen magnetischen Feldstärken H in ( r, t), H t ( r, t) und H r ( r, t) in komplexer Darstellung. d) An einer Grenzfläche unterschiedlicher Medien müssen die Tangentialkomponenten des E-Feldes und des H-Feldes stetig sein. Stellen Sie hieraus zwei Gleichungen für die zwei gesuchten Amplituden Êt und Êr in Abhängigkeit der gegebenen Amplitude Ê in auf. Berechnen Sie den Transmissionskoeffizienten T := Êt Ê in und den Reflexionskoeffizienten R := Êr Ê in Verifizieren Sie die Beziehung T = 1 + R. Hinweis: Verwenden Sie für die folgenden Teilaufgaben den Transmissionskoeffizienten gemäß T = 2 Z 2 Z 1 + Z 2 mit den komplexen Wellenwiderständen Z 1 und Z 2 in den Medien 1 und 2. *e) Leiten Sie nun in Abhängigkeit der einlaufenden Welle nach Gleichung (1) einen Ausdruck für die transmittierte Teilwelle 0-ter Ordnung E 0.O ( r, t) für z > L in komplexer Schreibweise her. Beachten Sie dabei, dass die Reflexionen an den Grenzflächen z = 0 und z = L und die Dämpfung innerhalb Gebiet A die Amplitude der Welle entscheidend beeinflussen. f) Wie lautet ein komplexer Ausdruck für die transmittierte Teilwelle 1-ter Ordnung E 1.O ( r, t) für z > L. g) Bestimmen Sie einen komplexen Ausdruck für die Welle E 0.+1.O ( r, t), die sich aus der Überlagerung der Teilwellen 0-ter und 1-ter Ordnung für z > L ergibt. h) λ A bezeichne die Wellenlänge innerhalb der Schicht A. Welche Bedingungen müssen für das Verhältnis L : λ A erfüllt sein, damit das zeitliche Mittel der Leistungsflussdichte S( r, t) der transmittierten Welle E 0.+1.O ( r, t) für z > L im zeitlichen Mittel maximal bzw. minimal wird. Viel Erfolg!

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