Übung Elektrische und magnetische Felder SoSe 2015

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Sabine Förstner
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1 Aufgabe 1 Berechnen Sie die aumladungsdichte ρ für: 1.1 eine Linienladungsdichteτ( r) auf einem Kreisring mit dem adius 0 a) Geben Sie die Parameterdarstellung eines Kreises mit zugehörigem Wertebereich an. 1.2 eine Flächenladungsdichteσ( r) auf einer Kugeloberfläche mit adius r 0 a) Geben Sie die Parameterdarstellung einer Kugeloberfläche mit zugehörigem Wertebereich an. b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Flächenelement an. Die Flächenladungsdichteσ aus 1.2 sei nun konstant. 1.3 Berechnen Sie die Gesamtladung Q tot, die sich auf der Kugeloberfläche befindet. Aufgabe 2 y τf h z h x Berechnen Sie das Potential der in der Abbildung gegebenen, endlichen Linienladung mit Hilfe des Coulomb-Integrals. a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Linie mit zugehörigem Wertebereich an. Aufgabe 3 Gegeben ist eine Kreisscheibe, die gleichmäßig mit der konstanten Flächenladungsdichte σ belegt ist. Die Kreisscheibe mit adius 0 befindet sich in der Ebene z= Berechnen Sie die Gesamtladung auf der Kreisscheibe. a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreisscheibe mit zugehörigem Wertebereich an. b) Geben Sie ein geeignetes differentielles Flächenelement an. 3.2 Berechnen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke für Aufpunkte auf der z-achse. 3.3 Untersuchen Sie das Potential und die elektrische Feldstärke für die Grenzfälle z 0, z 0 und 0 mit Hilfe der Taylorentwicklung. TET Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik 1

2 Aufgabe 4 Gegeben ist eine Kugelschale mit adius r 0 und konstanter Oberflächenladungsdichteσ. Berechnen Sie das Potential auf der z-achse. Leiten Sie aus diesem Ergebnis eine im gesamten aum gültige Lösung her. Aufgabe 5 Gegeben ist die zylindersymmetrische Ladungsverteilung 4 ρ f 0, ρ f ( r)= ρ 0 f 0, 0 < < im Vakuum. 5.1 Im Allgemeinen kann das Potential mit Hilfe des Coulomb-Integrals berechnet werden. Stellt dieser Weg zur Berechnung des Potentials bei der gegebenen Anordnung eine sinnvolle Möglichkeit dar? Begründen Sie Ihre Antwort. 5.2 Berechnen Sie mit dem Gaußschen Gesetz E für 0 <. a) Geben Sie die Variablen und die ichtung des elektrischen Feldes bei vorliegender Symmetrie an. 5.3 Bestimmen Sie außerdem den Potentialverlauf φ() für 0 <. Überlegen Sie sich dazu eine physikalisch sinnvolle andbedingung bezüglich des Potentials. 5.4 Berechnen Sie alternativ das Potential mit Hilfe der Poisson-Gleichung und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit 5.3. Es soll gelten:φ(=0,ϕ, z)=0 undφ(,ϕ, z)<. a) Leiten Sie aus den Gleichungen E= 0 undε 0 E=ρdie Poisson-Gleichung her. b) Stellen Sie die Poisson-Gleichung in einem geeigneten Koordinatensystem auf. Aufgabe 6 Beweisen Sie die folgende elation in kartesischen Koordinaten: lim ǫ 0 E( r+ ǫ 2 p) E( r ǫ 2 p) ǫ = ( p ) E TET Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik 2

3 Aufgabe 7 Gegeben sind zwei kreisförmige Linienladungen, die konzentrisch um die z-achse angeordnet sind. Die erste Linienladung mit dem adius 1 befindet sich auf der Höhe z=h und ist mit der Linienladungsdichteτ f 1 (ϕ)= τ 1 1 sin 2 (ϕ) geladen. Die zweite Linienladung mit dem adius 2 befindet sich auf der Höhe z= h und ist mit der Linienladungsdichteτ f 2 (ϕ)= τ 2 2 cos 2 (ϕ) geladen. Es giltτ 1,τ 2 = konst. 7.1 Berechnen Sie jeweils die Ladungen der beiden Linienladungen. a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Kreise mit zugehörigem Wertebereich an. 7.2 Das Dipolmoment eines endlichen Dipols ist gegeben mit p = Q d. Berechnen Sie das Dipolmoment der gesamten Anordnung unter der Annahme, dassτ 1 = τ 2 gilt. Aufgabe 8 Gegeben ist eine mit der Flächenladungsdichteσ() = σ geladene Kreisscheibe mit Innenradius 1 und Aussenradius 2, die sich konzentrisch um die z Achse in der x y Ebene befindet (σ 0 = konst). 8.1 Berechnen Sie das von dem Kreisring erzeugte Potential für Aufpunkte auf der z Achse. 8.2 Nun befindet sich im Zentrum des Kreisringes ein Punktdipol mit dem Dipolmoment p= p 0 e z, wobei p 0 als konstant angenommen ist. Ermitteln Sie die Kraft die der Dipol auf den geladenen Kreisring ausübt. (Hinweis: actio = reactio) Aufgabe Gegeben ist ein Punktdipol, der sich im Koordinatenursprung befindet und das Dipolmoment p= p 0 e z besitzt. a) Geben Sie das Potential und das elektrische Feld des Dipols in Kugelkoordinaten an. Leiten Sie eine Gleichung für die Äquipotentialflächen und die elektrischen Feldlinien des Punktdipols her. Skizzieren Sie die Äquipotentialflächen und die Feldlinien. 9.2 Nun befindet sich im Ursprung eine Punktladung Q und der Dipol an der Stelle r D. Geben Sie die Ausdrücke für Kraft und Drehmoment (bzgl. seiner eigenen Drehachse) auf den Punktdipol an, der sich im Feld der Punktladung befindet. a) Geben Sie das elektrische Feld E einer Punktladung im Ursprung an. 9.3 Vergleichen Sie das elektrische Feld aus 9.1 mit der Kraft aus 9.2. TET Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik 3

4 Aufgabe 10 z Geben Sie die aumladungsdichte für den skizzierten Kreiszylinder, der mit konstanter Dipoldichte P=P 0 e z geladen sein soll, an. Berechnen Sie das Potential auf der z-achse durch Auswerten des Coulomb-Integrals. Der Zylinder befindet sich im Vakuum. 0 z=+h z=0 z= h Aufgabe 11 Ein in z-ichtung unendlich ausgedehnter Kreiszylinder mit adius 0 ist senkrecht zur Achse polarisiert mit P=P 0 e y (P 0 = const). Der Zylinder befindet sich im Vakuum. Gegeben seien die Lösungen für das Potential im Innen- und Außenraum gemäß φ (a) (,ϕ) = a n n sin(nϕ) n=1 für 0 < φ (i) (,ϕ) = b n n sin(nϕ) für 0 0. n= Zeigen Sie, dass die angegebenen Lösungen des Potentials die Laplace-Gleichung erfüllen Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(, ϕ) im Innen- und Außenraum des Zylinders. Benutzen Sie dafür die angegebenen Ansätze Berechnen Sie die elektrische Feldstärke E und die Flussdichte D im Innen- und Außenraum des Zylinders und skizzieren Sie die Feldlinien. y ε0 P ϕ x 0 TET Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik 4

5 Aufgabe 12 Die kugelsymmetrische aumladungsdichteρ(r)=ρ 0 r 2 r 2 1 für 0 r r 1 ist umgeben von einer dielektrischen Kugelschale (Innenradius r 1, Außenradius r 2, Dielektrizitätskonstanteε r ). Der übrige aum sei ladungsfrei Berechnen Sie das D, E und P für den gesamten aum Berechnen Sieφfür den gesamten aum, wennφim Unendlichen zu Null werden soll Berechnen Sie die Polarisationsraumladungsdichtρ PV im Innern des Dielektrikums und die Polarisationsoberflächenladungsdichtenσ P (r 1 ) undσ P (r 2 ) Leiten Sie aus den Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik eine DGL fürφher und berechnen Sie φ mit andbedingungen die Sie aus 12.2 ermitteln können. Aufgabe 13 Der Zwischenraum r i < r<r a eines Kugelkondensators ist mit einem Dielektrikum gefüllt, dessen Permittivität gemäß ε(r)=ε 0 ε i r i r vom Ort abhängt. Die Außenelektrode ist geerdet, während die Innenelektrode auf dem konstanten Potentialφ i gehalten wird Berechnen Sie das Potentialφ und die elektrische Feldstärke E im Innern des Kugelkondensators. Wie groß ist die Energie, die im Kondensator gespeichert ist? a) Leiten Sie aus den Gleichungen der Elektrostatik eine koordinatenfreie DGL für das Potential her. b) Geben Sie die Variablen des Potentials für die gegebene Symmetrie der Anordnung an Berechnen Sie die Polarisation P des Mediums, das den Zwischenraum des Kondensators ausfüllt. Bestimmen Sie weiterhin die Polarisations-Oberflächenladungsdichtenσ pi undσ pa auf den Elektroden. TET Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik 5

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