Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm

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1 PHYS3100 Grundkurs IIIb für Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Känzig, Alonso-Finn Skript: Übungsblätter und Lösungen: 7. November 2002 Universität Ulm, Experimentelle Physik

2 Elektrisches Feld gleich geladener Flächen Universität Ulm, Experimentelle Physik 1

3 Inneres eines Leiters Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder. Universität Ulm, Experimentelle Physik 2

4 Integrationsfläche Der gesamte Fluss ist φ ges = I E n da = Q ɛ 0 (1) da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir I I E n da = E n da und obere Fläche = E n A = 1 ɛ 0 Aσ E n = σ ɛ 0 (2) Universität Ulm, Experimentelle Physik 3

5 Ladungen an Oberflächen Die makroskopisch beobachtbare elektrische Ladung eines Leiters befindet sich auf seiner Oberfläche. Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters steht senkrecht zu dieser Oberfläche und hat die Grösse E r = σ/ɛ 0 Universität Ulm, Experimentelle Physik 4

6 Influenz und Bildladung Links: Feldlinien in der Nähe eines Leiters. Rechts: Diese Feldlinien können mit einer Bildladung erklärt werden. Universität Ulm, Experimentelle Physik 5

7 Influenz und Bildladung II Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen müssen, sieht das Feldlinienbild einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische Feld der Punktladung erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung σ( r), die das äussere Feld im Leiter abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer Ladung q im Abstand a von der Oberfläche eines Leiter im Leiter drin eine Bildladung q auch im Abstand a von der Oberfläche verwendet. Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung q im Abstand a von einem Leiter mit der Kraft angezogen wird. F (a) = 1 4πɛ 0 q 2 4a 2 (3) Universität Ulm, Experimentelle Physik 6

8 Bildladung III Die Senkrechtkomponente (z-komponente) des elektrischen Feldes ist im Abstand r vom Aufpunkt in der Leiteroberfläche E z (r, a) = 2 4πɛ 0 Damit ist die Oberflächenladungsdichte qa (r 2 + a 2 ) 3/2 (4) σ(r) = 1 2π qa (r 2 + a 2 ) 3/2 (5) Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen Ladungsverteilungen berechnet werden 1. 1 Auch bei Dielektrikas gibt es Bildladungen Universität Ulm, Experimentelle Physik 7

9 Existenz der potentielle Energie Eine potentielle Energie existiert, wenn Die Arbeit W ( r 1 r 2 )unabhängig vom Weg ist. Die Arbeit für jede geschlossene Bahn null ist. F ( r) = 0 für alle r Universität Ulm, Experimentelle Physik 8

10 Approximation eines beliebigen Integrationsweges Approximation eines beliebigen Integrationsweges Kreissegmente. Auf den Kreissegmenten (grün) ist R E d s = 0, entlang der radialen Teile ist R E d s = R E(r)ds. Universität Ulm, Experimentelle Physik 9

11 Beziehungen F ( r) /q q E ( r) F d r E pot Ed r U E pot ( r) /q q U ( r) = U ( r) (6) Universität Ulm, Experimentelle Physik 10

12 Potential eines Kreisringes Kreisring: Potential entlang der Symmetrieachse U(x) 0.4 U Potential eines Kreisringes entlang der Symmetrieachse x Universität Ulm, Experimentelle Physik 11

13 Potential einer Kreisscheibe Kreis: Potential entlang der Symmetrieachse 2 U(x) 1.5 U Elektrostatisches Potential einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang ihrer Symmetrieachse x Universität Ulm, Experimentelle Physik 12

14 Potential einer Ebene 2 Homogen geladene Ebene: Potential U(x) 1 0 U Potential senkrecht zu einer homogen geladenen Ebene x Universität Ulm, Experimentelle Physik 13

15 Potential einer Kugelschale Homogen geladene Kugelschale: Potential 2 U(x) 1.5 U Potential einer homogen geladenen Kugelschale x Universität Ulm, Experimentelle Physik 14

16 Potential einer Linienladung 2 Homogene Linienladung: Potential U(x) 1 0 U Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten homogenen Linienladung x Universität Ulm, Experimentelle Physik 15

17 Poissongleichung D ( r) = ρ el ( r) (7) E ( r) = U ( r) (8) ist. Mit der im Vakuum geltenden Beziehung D = ɛ 0 E erhalten wir die Poisson- Gleichung. ɛ 0 U ( r) = ρel ( r) = ɛ 0 U ( r) (9) oder U ( r) = ρ el ( r) ɛ 0 (10) Universität Ulm, Experimentelle Physik 16

18 Poissongleichung II Dabei haben wir den Laplace-Operator = verwendet. In Komponentenschreibweise in einem kartesischen Koordinatensystem ist dies x y z x y z = 2 x y z 2 (11) Die Poissongleichung ermöglicht eine Berechnung der Potentiale ausgehend von Ladungsverteilungen. Universität Ulm, Experimentelle Physik 17

19 Poissongleichung Beispiel Bei einer geladenen Ebene ist ρ (x, y, z) = δ (z) σ(x, y). Die Poissongleichung wird, wegen der Translationssymmetrie in x und y zu U = 2 (z) z2u = σδ (12) ɛ 0 Daraus folgt, dass U z = const 0 für z 0. Bei z = 0 haben wir einen Sprung der Grösse σ 0 ɛ 0 der symmetrisch von + σ 0 2ɛ 0 bis σ 0 2ɛ 0 reichen muss. Nochmals integrieren ergibt U (z) = ( U0 + σ 0 2ɛ 0 z für z < 0 U 0 σ 0 2ɛ 0 z für z > 0 (13) Universität Ulm, Experimentelle Physik 18

20 Beispiel Poissongleichung II U 0 ist eine frei wählbare Integrationskonstante. Das Innere eines Leiters ist ein Äquipotentialraum, da in einem Leiter Ladungen sich frei bewegen können. Da Feldlinien d E senkrecht zu einer Metalloberfläche, die immer eine Äquipotentialfläche ist, stehen kann man schliessen (und mathematisch beweisen), dass Feldlinien senkrecht auf Äquipotentialflächen stehen. Die möglichen Potentialdifferenzen werden durch Funkenüberschläge begrenzt. Für Luft unter Normalbedingungen muß E < V m (14) sein. Universität Ulm, Experimentelle Physik 19

21 Kapazität: Integrationsfläche Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum Universität Ulm, Experimentelle Physik 20

22 Plattenkondensator Geometrie eines Plattenkondensators. Wir betrachten auf beiden Seiten eine Fläche A die jeweils in eine unendlich ausgedehnte Fläche eingebettet ist. Universität Ulm, Experimentelle Physik 21

23 Parallelschaltung von Kondensatoren Parallelschaltung von Kondensatoren Universität Ulm, Experimentelle Physik 22

24 Reihenschaltung von Kondensatoren Reihenschaltung oder Serienschaltung von Kondensatoren Universität Ulm, Experimentelle Physik 23

25 Elektrische Eigenschaften der Materie Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle nicht gefüllte Elektronenschale Atom oder Molekül α/ 10 M 0.7 Li 13 K 38 Cs Asm2 V gefüllte Elektronenschale Atom oder Molekül α/ 10 He 0.2 Li Ne 0.4 K Xe CCL 4 10 CL 4 I 7 40 Asm2 V Universität Ulm, Experimentelle Physik 24

26 Dielektrika Isolatoren in einem Kondensatoren Universität Ulm, Experimentelle Physik 25

27 Dielektrizitätskonstanten Material ɛ Vakuum 1 Luft Parafin 2.1 Glas 5-9 Wasser(291k, 0Hz) 81 Wasser (291k, 1PHz 1,77 Universität Ulm, Experimentelle Physik 26

28 Polaristionen Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld. Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld. Rechts: mit einem nach links gerichteten elektrischen Feld. Universität Ulm, Experimentelle Physik 27

29 Kondensator mit Dielektrikum Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum Universität Ulm, Experimentelle Physik 28

30 Steigen eines Dielektrikums im Kondensator Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld. Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung Universität Ulm, Experimentelle Physik 29