Übungen zu Theoretische Physik II

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1 Physikalisches Institut Übungsblatt 8 Universität Bonn Theoretische Physik WS 6/7 Übungen zu Theoretische Physik II Prof. Dr. Hartmut Monien, Christoph Liyanage, Manuel Krauß Abgabe: spätestens , 2:00 Uhr; Besprechung: 2./ A 8. Kondensatoren Berechnen Sie für die folgenden Kondesatoren (i) das elektrische Feld, (ii) das elektrische Potential, (iii) die Spannung, (iv) die Kapazität und (v) die im Kondensator gespeicherte Energie. Anwesenheitsaufgabe (a) Ein Plattenkondesator bestehend aus zwei parallel angeordneten plattenförmigen elektrischen Leitern mit der Fläche F und jeweils den Ladungen ±Q. Der Abstand zwischen den Platten sei d F. (b) Ein Kugelkondesator bestehe aus einer inneren Kugelschale mit dem Radius R und einer äußeren Kugelschale mit Radius dem R 2 und jeweils den Ladungen ±Q. (c) Ein Zylinderkondesator bestehen aus einem unendlich langem inneren Zylinder mit dem Radius R und einem äußeren Zylinder mit dem Radius R 2 und den Ladungen ±Q. Hausaufgaben H 8. Konforme Abbildungen und zweidimensionale Potentialprobleme der Elektrostatik ( )=6 Punkte + 4 Bonuspunkte Aufgabenteile, die mit gekennzeichnet sind, sind Bonusaufgaben. Seien φ und ψ zwei Abbildungen von R 2 R: φ : (x, y) R 2 φ(x, y) R, ψ : (x, y) R 2 ψ(x, y) R. () Dann ist f f : z f(z) = φ(x, y) + iψ(x, y), mit z = x + iy, (2)

2 eine komplexwertige Funktion, die von C C abbildet. Sei D C offen, z 0 D, f : D C. Die Funktion f heißt in z 0 komplex differenzierbar, wenn der Grenzwert f(z 0 + h) f(z 0 ) lim h 0 h in C existiert. Der Grenzwert wird als Ableitung von f in z 0 bezeichnet. Falls f in jedem Punkt von D komplex differenzierbar ist, heißt f holomorph auf D. (a) Zeigen Sie, dass die Funktionen φ und ψ partiell differenzierbar in (x 0, y 0 ) und die Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen φ x = ψ y, φ y = ψ x erfüllen müssen, wenn f in z 0 kompex differenzierbar ist. Hinweis: Eine Folge in C konvergiert, wenn die Folgen ihrer Real- und Imaginärteile in R konvergieren. (b) Zeigen Sie, dass wenn φ und ψ die Cauchy-Riemannschen Gleichungen erfüllen, f die Laplace-Gleichung erfüllt f = 0. (5) Zeigen Sie weiter, dass eine holomorphe Funktion f erfüllt, wobei z = x iy. (3) (4) df d z = 0 (6) (c) Warum stehen die Kurven φ = const. und ψ = const. senkrecht aufeinander? Eine Abbildung welche den Winkel von zwei sich schneidenden Kurven erhählt wird als konforme Abbildung bezeichnet. D.h. konforme Abbildungen, angewandt auf einen Vektorraum, lassen das Skalarprodukt bis auf einen Skalenfaktor invariant. Im folgenden Aufgabenteil wollen wir zeigen, dass in zwei Dimensionen holomorphe Abbildungen (lokale) konforme Abbildungen sind. Dafür deinieren wir: f : R 2 C, (7) (x, x 2 ) f(x, x 2 ) = u (x, x 2 ) + iu 2 (x, x 2 ). (d) Die infinitesimalen Differenzialformen dx und dx 2 spannen einen zweidimensionalen reellen Vektorraum auf. Die Abbildung f wirkt auf (x, x 2 ) wie eine Koordinatentransformation. Daher gilt dx i du i = u i x j dx j, i =, 2. (8) Betrachten wir im folgenden infinitesimale Transformationen von x i, d.h. u i (x) = x i + ɛ i (x) + O(ɛ 2 ). (9) Zeigen Sie, dass wenn f eine konforme Abbildung ist, folgende Bedingung an ɛ i gestellt werden kann ω(x)δ ij = x i ɛ j x j ɛ i (0) Kotangentialraum 2

3 wobei ω R ein Skalenfaktor ist. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass die Bedingung gelten muss. δ ij du i du j = ( + ω(x))δ kl dx k dx l () (e) Zeigen Sie, dass aus Gleichung (0) die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen für ɛ i folgen. Hinweis: Berechnen Sie erst die Spur aus (0) und ersetzten Sie damit ω. Wir können also holomorphe Abbildungen nutzen um eine komplizierte zweidimensionale Geometrie auf eine einfachere Geometrie abzubilden. In dem Zusammenhang wäre folgender Satz erwähnenswert: Riemannscher Abbildungssatz: Sei V ein einfach zusammanhängendes Gebiet, dessen Rand von einer geschlossenen Kurve C gebidet wird. Dann existiert eine konforme Abbildung f(z), die den Rand von V auf den Einheitskreis abbildet und das Innere von V in das Innere des Einheitskreises abbildet. Wir werden im folgenden Aufgabenteil sehen, wie diese Theorie genutzt werden kann, um zweidimensionale elektrostatische Probleme zu vereinfachen. Da f die Laplace-Gleichung erfüllt, kann φ das elektrische Potential beschreiben, wobei φ = const. die Äquipotentiallinien sind. Da ψ = const. senkrecht auf φ = const. stehen, können ψ = const. die Feldlinen beschreiben. (f) Finde eine Funktion φ(x, y), welche die Laplace-Gleichung im inneren des Streifens s < Re(z) < t erfüllt, mit den Randbedingungen φ(s, y) = U und φ(t, y) = U 2. (g) Berechnen Sie das elektrische Potential in der Region zwischen zwei unendlich langen Koaxialzylindern mit den Radien a und b mit a < b. Finde dazu eine geeignete konforme Abbildung, welche die Geometrie auf die Geometrie des im (e) gelösten Problems abbildet. Nutzen Sie die konforme Abbildung, um mithilfe der Lösung aus (e) das Potential zwischen den Zylindern zu bestimmen. H 8.2 Greenscher Satz und Anwendungen (0,5+0,5+0,5+0,5+0,5+0,5)=3 Punkte Seien Φ und Ψ differenzierbare skalare Felder, V ein abgeschlossenes Volumen mit Oberfläche V und n = n die Richtungsableitung bzgl. der Oberflächennormale, d. h. d 2 r n = d A. (a) Vergewissern Sie sich von der in der Vorlesung gezeigten Greenschen Identität mithilfe des Satzes von Gauß: ( Φ Ψ + Φ Ψ)d 3 r = Φ n Ψd 2 r. (b)... und beweisen Sie damit den Greenschen Satz V V (Φ Ψ Ψ Φ)d 3 r = V V (Φ n Ψ Ψ n Φ)d 2 r. 3

4 (c) Es sei nun Φ = Φ( y) und Ψ = G( x, y). Berechnen Sie hieraus Φ( x). (d) Wie in der Vorlesung gezeigt, kann G( x, y) generell parametrisiert werden als + F ( x, y) mit F ( x, y) = 0 x, y V x y wobei F ( x, y) an die jeweiligen Randbedingungen an der Grenzfläche V angepasst werden muss. Wie muss F ( x, y) gewählt werden, um (i) Dirichlet-Randbedingungen (ii) Von Neumann-Randbedingungen zu verwenden? Was ist der entsprechende Ausdruck für Φ( x) in beiden Fällen? (e) Betrachten Sie nun eine Ladung im Halbraum V, d. h. für x = (x, x 2, x 3 ) T gilt V = { x x 2 > 0} sodass die Grenzfläche gegeben ist durch V = { x x 2 = 0}. Sei nun y = (y, y 2, y 3 ) T V und y s = (y, y 2, y 3 ) T. Behauptung: Mit Dirichlet-Randbedingungen ist Überprüfen Sie diese Behauptung auf Konsistenz. x y x y s (f) Es sei nun ρ( y) = Q δ (3) ( y r Q ). Berechnen Sie Φ( x). H 8.3 Punktladung vor einer Metallwand (+0,5+0,5+++0,5+0,5=5) Punkte Sie haben in den Anwesenheitsaufgaben gezeigt, dass eine Möglichkeit der Lösung der Poissongleichung mit vorgegebenen Randbedingungen für ein Volumen V darin besteht, ausserhalb von V an von der Geometrie des Problems abhängenden Stellen fiktive (Spiegel-) Ladungen anzubringen, durch welche die geforderten Randbedingungen erzeugt werden. Betrachten Sie dazu folgendes Beispiel: Eine Punktladung Q sei am Orte r Q = (0, 0, a) und eine unendlich große geerdete Metallplatte in der xy-ebene, auf der das elektrostatische Potential Φ = 0 sein soll. (a) Zeigen Sie, dass folgendes Potential die Poissongleichung in dem Halbraum löst, in der sich die Ladung befindet, und für r auf der Platte die Randbedingung Φ = 0 erfüllt: Φ( r) = Q r r Q Q r + r Q. (b) Wie sieht das Potential im anderen Halbraum aus? (c) Wie kann man das Zustandekommen des Potentials anschaulich interpretieren? (d) Zeigen Sie, dass die Oberflächenladungsverteilung aufgrund von Influenz auf der Platte durch den Sprung des elektrischen Feldes gemäß σ = Φ 4π z z=0 gegeben ist. (e) Skizzieren Sie die Feldlinien und σ(x, y). Welche Symmetrie gibt es? (f) Berechnen Sie die totale Influenzladung Q inf = σ(x, y)dxdy. 4

5 (g) Welche Kraft wird auf Q ausgeübt? Was passiert für eine nicht geerdete Platte? H 8.4 Greenfunktion einer Kugel (2+2=4) Punkte (a) Zeigen Sie, dass die Dirichlet Greenfunktion einer Kugel mit Radius R, die im Ursprung des Koordinatensystems zentriert ist, lautet x y R y x R2 y 2 y. D. h., zeigen Sie, dass y 4πδ (3) ( x y) x, y mit x > R, y > R und dass die Greenfunktion für y V verschwindet. (b) Nehmen Sie nun an, wir kennen das skalare Potential auf der Oberfläche der Kugel, Φ(φ, θ). Nutzen Sie obige Greenfunktion, um einen Ausdruck für Φ( x) für x > R zu bekommen. Geben Sie eine explizite Lösung für Φ(φ, θ) = Φ 0 an. 5