Theoretische Physik 2 (Theoretische Mechanik)

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1 Theoretische Physik 2 (Theoretische Mechanik Prof. Dr. Th. Feldmann 12. November 2013 Kurzzusammenfassung Vorlesung 8 vom Das Hamiltonsche Prinzip ( Prinzip der kleinsten Wirkung Wir zeigen, dass die Euler-Lagrangeschen Bewegungsgleichungen aus einem allgemeineren physikalischen Prinzip abgeleitet werden können. Dieses Wirkungsprinzip dient als Grundlage für die theoretische Beschreibung aller in der Natur bekannten mikroskopischen Grundkräfte (Gravitation, Elektromagnetismus, schwache und starke Kernkräfte Funktionale Def.: Funktional Ein Funktional J[y] (Argument in eckigen Klammern ordnet einer Funktion y(x aus einem Funktionenraum F eine reelle Zahl zu: y F J[y] R. (125 Wenn z.b. F der Raum aller reellwertigen Polynome ist, ist das Integral ein Funktional. J[y] := b a dx y(x R (126 Die Funktionen y können auch von mehreren Argumenten abhängen. Das Funktioanl J kann auch von mehreren Funktionen abhängen. Für die physikalische Anwendung im Lagrange-Formalismus sind wir insbesondere an Funktionalen der Form S[q k ] dt L(q k, q k, t (127 interessiert, welche jeder denkbaren Bahnkurve q k (t eine über die Lagrangefunktion definierte Zahl S (das sog. Wirkungsintegral, kurz: Wirkung zuordnet. Wir stellen nun die Frage, für welche Funktionen f(x (bzw. q k (t der Wert des Funktionals J[y] (bzw. S[q k ] extremal (i.a. minimal wird. 1

2 Anschauliches Beispiel: Geodätenproblem Gesucht ist die kürzeste Verbindung ( Geodäte zwischen 2 Punkten A und B auf einer beliebig gekrümmten Fläche im Raum. Punkte auf der Fläche können durch 2 Koordinaten (q 1, q 2 parametrisiert werden, x i = x i (q 1, q 2, i = (128 Ein infinitesimales Wegelement zwischen 2 Punkten auf der Fläche ist somit ds = ds 2 = dx dx dx 2 3, mit dx i = ( 2 3 x i x i q k q l k,l=1 i=1 2 x i q k, dq k dq k dq l g kl (q 1, q 2 dq k dq l (129 Die so definierte Größe g kl (q heisst Metrik (o. metrischer Tensor. Ein bestimmter Weg von A nach B auf der Fläche kann durch Paare von bestimmten Funktionen (q 1 (t, q 2 (t mit t [0, 1] parametrisiert werden. Die sich ergebende Weglänge in Abhängigkeit der q i (t hat dann die Form eines Funktionals, B B AB = ds = S[q 1, q 2 ] = g kl (q 1, q 2 dq k dq l A = A 1 0 k,l ( 2 1/2 dt g kl (q 1, q 2 q k q l k,l=1 Die Geodäte ist dann das Minimum des Funktionals S[q 1, q 2 ] Stationäre Wirkung (130 Um mögliche Extrema der Wirkung (oder allgemein eines Funktionals zu bestimmen, betrachte man infinitesimale Variationen um gegebene Funktionen q k (t δq k (t = ɛ k η k (t, ɛ k 1, (131 wobei η k (t beliebige auf dem Integrationsgebiet definierte Funktionen sind, welche mit den Randbedingungen vereinbar sind (d.h. für q k ( = a k und q k (t 2 = b k fest, muss η k ( = η k (t 2 = 0 sein vgl. Übung. Analog zur gewöhnlichen Kurvendiskussion für Funktionen ist dann ein notwendiges Kriterium für ein Extremum von S, dass S[q k + ɛ k η k ]! = 0, für alle k = 1... f und η k (t. (132 ɛ k ɛk =0 2

3 Ein Satz von Funktionen {q k (t} welcher obige Gleichung erfüllt, heisst stationärer Punkt (im Funktionenraum. Wir können die Variation der Wirkung explizit ausrechnen, δs[q k ] S[q k + ɛ k η k ] S[q k ] ( L dt ɛ k η k + L ɛ k η k q k q k ( ( part.int. L d L = dt ɛ k η k η k (,2 =0 ( L = ɛ k dt d L L t2 ɛ k η k + ɛ k η k q k η k (t (133 Da η k (t als beliebige, unabhängige Funktionen angesetzt wurden, muss Integrand in jedem Summanden einzeln verschwinden, damit Variation δs = 0 und somit q k (t stationäre Lösungen beschreiben. Also folgen gerade die Euler-Lagrange-Gleichungen, L d L! = 0. (134 Wir haben somit gezeigt, dass die stationären Punkte (δs = 0 des Wirkungsfunktionals S[q k ] = dt L(q k, q k, t gerade den Lösungen q k (t der Euler-Lagrange Gleichungen entsprechen; d.h. die physikalisch realisierten Bahnkurven von t 2 sind gerade jene Funktionen, welche die Wirkung S minimieren Prinzip der kleinsten Wirkung. Die physikalischen Einheiten der Wirkung entsprechen [S] = [Energie Zeit] = [Ort Impuls] = [Drehimpuls] =... = J s = kg m2 s Die Angabe des Wirkungsintegrals und der Anfangsbedingungen bestimmt die Dynamik vollständig. In der Quantenphysik wird das Wirkungsprinzip aufgeweicht: Stationäre Lösungen beschreiben nur noch die wahrscheinlichsten Bahnkurven. Quantenfluktuationen um die stationäre Lösung sind erlaubt. Deren Größe wird durch eine Naturkonstante, h = J s kontrolliert ( Plancksches Wirkungsquantum. Für klassische mechanische Systeme mit S stat O(J s h sind Quantenfluktuationen irrelevant. 3

4 2.4.3 Variationsprinzip mit Nebenbedingungen Variationsprinzip lässt sich auch auf gewisse Problemstellungen mit Nebenbedingungen an die gesuchten Funktionen y(x (Zwangsbedingungen an Bahnkurven q k (t verallgemeinern. Betrachte zunächst Extremalproblem für gewöhnliche Funktionen. Gesucht: Stationäre Punkte von f(x 1,..., x n unter Nebenbedingungen g l (x 1,..., x n = 0. Behauptung: Die gesuchten stationären Punkte erfüllen i f = f x i! = 0 für i = 1... n, g l (x 1,..., x n = 0 für l = 1... m(135 für n Koordinaten x i und m Lagrange-Multiplikatoren λ l, mit f(x 1,..., x n ; λ 1,..., λ m f(x 1,..., x n m λ l g l (x 1,..., x N. (136 l=1 Beweis: (für 1 Nebenbedingung f i ( x = 0 heisst i f( x = λ i g( x, d.h. die Behauptung ist, dass am stationären Punkt die Gradienten der Funktionen f und g parallel zueinander sind (mit Proportionalitätsfaktor λ. Wir parametrisieren eine beliebige Kurve auf der durch die Nebenbedingung definierten Hyperfläche, welche durch den stationären Punkt P geht, als r(t = (x 1 (t,..., x n (t mit r(0 = P. Definiere dann h(t = f( r(t, so dass 0 = h (t = 0 = i i f P r i(0 = f P r (0 (137 r (0 ist der Tangentenvektor an die Kurve r(t im stationären Punkt. Obige Gleichung sagt also aus, dass i f am stationären Punkt senkrecht auf jeder beliebigen Kurve durch P steht. Gleiches gilt für den Gradienten der Funktion g( x, d.h. die beiden Gradienten müssen in der Tat parallel zueinander sein. # Verallgemeinerung auf Funktionale: S[q k ] = dt L(q k, q k, t mit q k ( = a k, q k (t 2 = b k fest (138 In diesem Fall kann man zwei Arten von Nebenbedingungen berücksichtigen: (a Sog. isoperimetrische Nebenbedingungen (die selbst Form eines Funktionals haben K l [q k ] dt G l (q k, q k, t C l = const. (139 4

5 In diesem Fall funktioniert die Methode der Lagrage-Multiplikatoren völlig analog zu gewöhnlichen Funktionen, d.h. wir modifizieren die Lagrange-Funktion gemäß λ l G l (q k, q k, t, S = dt L, (140 L = L l und suchen die stationären Punkte von S, so dass δ S = 0 d L L = 0. (141 dt q k q k Die Lagrange-Multiplikatoren sind hierbei einfach Zahlen. (b Holonome Nebenbedingungen sind von der Form g l (q k, t = 0, für alle t [, t 2 ] (142 und somit stärker einschränkend als isoperimetrische Nebenbedingungen (letztere gelten nur für ein Integral über t. Wir können uns das t-intervall in viele kleine Teilintervalle zerlegt vorstellen, so dass für jedes Teilintervall [t i, t i+1 ] ein Problem mit isoperimetrischen Nebenbedingungen angesetzt werden kann, mit entsprechend vielen unabhängigen Lagrangemultiplikatoren λ(t i. Für unendliche viele, unendlich kleine Teilintervalle wird daraus eine kontinuierliche Funktion λ(t. Somit lautet die Lagrangefunktion für diesen Fall λ l (t g l (q k, t, S = S[qk, λ l ] = dt L(q k, q k, t; λ l. (143 L = L l Die Euler-Lagrange Gleichungen führen dann auf d L L = 0, dt q k q k L λ l = g l (q k, t = 0. (144 Dies entspricht Euler-Lagrange Gleichungen 1. Art für Problem mit holonomen Zw.bed. und verallgemeinertem Potential (so dass L = T U existiert, d L L = d L L + dt q k q k l = d L L + dt q k q k l λ l g l q k λ l A lk (145 Das Variationsprinzip mit holonomen Nebenbedingungen lässt sich insbesondere verwenden, wenn man g(q k, t = 0 nicht einfach nach den q k auflösen kann. 5