Diracs kanonische Quantisierung von Systemen mit Nebenbedingungen

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1 Diracs kanonische von Systemen mit Nebenbedingungen Christof Witte HU Berlin Seminar zur theoretischen Physik WS 08/09 Christof Witte kanonische 1 / 46

2 Motivation bewährt: Übergang von klassischer zu quantenmechanischer Beschreibung über Hamiltonformalismus Korrespondenzprinzip zur direkten Übersetzung benötigt möglichst allgemeine Behandlung des Hamiltonformalismus Christof Witte kanonische 2 / 46

3 Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 3 / 46

4 Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 3 / 46

5 Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 3 / 46

6 Lagrangefunktion, Bewegungsgleichungen Ausgangspunkt Wirkung S[q] = L(q i, q i )dt Variation δq i Euler-Lagrange-Gl. d L dt q i L q i = 0 Vorteil Wirkungsfunktional: Invarianz einfacher zu konstruieren Christof Witte kanonische 4 / 46

7 kanonisch konjugierte Impulse Definition Wir nennen p i := L q i den zur Koordinate q i kanonisch konjugierten Impuls. {p i } im Standardfall unabhängig voneinander behandeln den allgemeinen Fall, dass {p i } nicht unabhängig Christof Witte kanonische 5 / 46

8 Hamiltonfunktion, Bewegungsgleichungen Definition Definieren Hamiltonfunktion berechnen δh H(q i, q i, p i ) := q i p i L(q i, q i ) δh = p i δ q i + q i δp i L q i δqi L q i δ qi = q i δp i ṗ i δq i immer möglich H(q i, q i, p i ) = H(q i, p i ) wenn {p i } unabhängig q i = H p i und ṗ i = H q i Christof Witte kanonische 6 / 46

9 Es folgt 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 7 / 46

10 Definition Ein System bei dem Funktionen Φ m (q i, p i ) existieren mit Φ m (q i, p i ) = 0 heißt System mit Nebenbedingungen. Definition Nebenbedingungen die sich aus dem Übergang zu den kanonisch konjugierten Impulsen ergeben heißen primäre Nebenbedingungen. Nebenbedingungen beschränken Variationen δq, δp Christof Witte kanonische 8 / 46

11 relativistisches Teilchen Ausgangspunkt Wirkung (Eigenzeit) S[q] := dτm g ab q a q b kanonisch konjugierte Impulse p i = L m q i = g im q m g( q, q) erhalten primäre Nebenbedingung g ij p i p j = m2 g( q, q) g im q m g jn q n g ij = m 2 Christof Witte kanonische 9 / 46

12 Lagrange Multiplikatoren um primäre Nebenbedingungen mit einzubeziehen, Kopplung an Wirkung durch Lagrange-Multiplikatoren S[q, p, u] = (L(q i, q i ) u m Φ m )dt = ( q i p i H(q i, p i ) u m Φ m )dt u m beliebige freie Parameter Christof Witte kanonische 10 / 46

13 verallgemeinerte Hamiltonfunktion, Bewegungsgleichungen Definition Die Hamiltonfunktion von Systemen mit primären Nebenbedingungen ist definiert als H T (q i, p i ) := H(q i, p i ) + u m Φ m (q i, p i ). Variation mit den Nebenbedingungen führt auf modifizierte Hamilton-Gleichungen q i = H p i + u m Φ m p i ṗ i = H q i u m Φ m q i = H T p i = H T q i Christof Witte kanonische 11 / 46

14 Besonderheiten der verallgemeinerten Formulierung H T (q i, p i ) := H(q i, p i ) + u m Φ m (q i, p i ) alte Hamiltongleichungen gelten nun mit H T nicht eine Hamiltonfunktion, sonder ganze Schar, parametrisiert durch u m weiterer Freiheitsgrad H T = H auf durch Nebenbedingung eingeschränkte Fläche im Phasenraum u m bleiben vorerst unbestimmt Christof Witte kanonische 12 / 46

15 Es folgt 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 13 / 46

16 klassische Definition Die Poissonklammer {, } zweier Phasenraumfunktionen f und g ist definiert durch {f, g} := f q i g p i g q i f p i. Eigenschaften: linear, antisymmetrisch, Produktregel, Jacobi-Identität bei Systemen ohne Nebenbedingung, Phasenraumfunktion f (q i, p i ) ḟ = {f, H} Christof Witte kanonische 14 / 46

17 Phasenraumfunktionen in Systemen mit NB berechnen für Phasenraumfunktion f (q i, p i ) ḟ = f q i qi + f p i ṗ i benutzen verallgemeinerte Hamiltongleichungen ḟ = f H q i H f p i q i + u m( f Φ m p i q i Φ m f ) p i q i p i = {f, H} + u m {f, Φ m } Christof Witte kanonische 15 / 46

18 erweiterte Poissonklammer erweitern Poissonklammer so, dass auch in Systemen mit Nebenbedingung ḟ = {f, H T } berechnen ḟ ḟ = {f, H + u m Φ m } = {f, H} + {f, u m Φ m } = {f, H} + u m {f, Φ m } + {f, u m }Φ m {f, H} + u m {f, Φ m } gleiches Ergebnis wie formales Ausrechnen und Ausnutzen der modifizierten Hamiltongleichungen Christof Witte kanonische 16 / 46

19 starke und schwache Gleichungen bezeichnet Gleichheit nur auf durch Nebenbedingungen eingeschränkten Fläche im Phasenraum schreiben dann die primären Nebenbedingungen Φ m 0 außerdem H T H und damit ḟ {f, H T } Ausnutzen der Nebenbedingungen erst nach Auswertung der! starke Gleichungen ( = ) gelten im ganzen Phasenraum Christof Witte kanonische 17 / 46

20 Es folgt 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 18 / 46

21 Konstanz der Nebenbedingungen für Nebenbedingungen muss gelten Φ m 0 t werten diese Bedingung aus Φ m {Φ m, H} + u m {Φ m, Φ m } 0 kann auf Widersprüche führen Theorie für System inkonsistent eindimensionales System mit Lagrangefunktion L(q, p) = q Euler-Lagrange-Gleichungen 1 = 0 Christof Witte kanonische 19 / 46

22 sekundäre Nebenbedingungen, Bestimmung u m Drei Möglichkeiten für {Φ m, H} + u m {Φ m, Φ m } 0 1 führt auf 0 = 0 keine neue Information 2 u m fallen aus der Gleichung vollständig heraus χ n (q i, p i ) 0 nennen χ n (q i, p i ) sekundäre Nebenbedingungen 3 u m fallen nicht heraus Gleichung zur Bestimmung der u m Christof Witte kanonische 20 / 46

23 Bestimmung der u m Prozedur wiederholen, solange bis keine neuen Informationen erhält Satz von χ k (q i, p i ) (k = 1,..., K), somit insgesamt Nebenbedingungen Φ j mit j = 1,..., M + K außerdem Satz von inhomogenen linearen Gleichungen für u m u m {Φ j, Φ m } = {Φ j, H} allgemeine Lösung des Gleichungssystems wobei v a (q i, p i, t) beliebig u m = U m + v a V m a Christof Witte kanonische 21 / 46

24 Hamiltonfunktion H T Einsetzen der u m in Hamiltonfunktion Definition Die totale Hamiltonfunktion eines Systems mit Nebenbedingungen definieren wir als H T := H + U m Φ m + v a V m a Φ m. Wir wollen noch zusammenfassen: H = H + U m Φ m, und Φ a = V m a Φ m. Christof Witte kanonische 22 / 46

25 Es folgt 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 23 / 46

26 Bedeutung der v a v a in H T beliebig der Theorie v a in Beziehung mit Invarianz der Wirkung relativistisches Teilchen S[q] := dτm g ab q a q b m p i = g im q m g( q, q) primäre Nebenbedingung Φ 1 = g ij p i p j m 2 0 Christof Witte kanonische 24 / 46

27 Fortsetzung Übergang zur klassischen Hamiltonfunktion zeigt H = 0 können dann H T schreiben als H T = v 1 Φ 1 dann ist für beliebige Phasenraumfunktion g dg dτ = ġ {g, H T } v 1 {g, Φ 1 } Multiplikation mit Faktor ändert nichts da v 1 beliebig keine absolute Zeit Christof Witte kanonische 25 / 46

28 Es folgt 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 26 / 46

29 Phasenraumfunktionen erster und zweiter Klasse Definition Eine Phasenraumfunktion F heißt erster Klasse, wenn j {F, Φ j } 0. Andernfalls bezeichenen wir F als Phasenraumfunktion zweiter Klasse. erlaubt Klassifikation der Nebenbedingungen in primäre & sekundäre Nebenbedingungen erster & zweiter Klasse insbesondere bei Nebenbedingungen Φ j erster Klasse haben wir {Φ j, Φ j } = c j j j Φ j Christof Witte kanonische 27 / 46

30 H T als Phasenraumfunktion erster Klasse betrachten H T = H + U m Φ m + v a Va m Φ m Va m Φ m ist erster Klasse: {Va m Φ m, Φ j } Va m {Φ m, Φ j } = 0 außerdem {H + U m Φ m, Φ j } ({Φ j, H} + U m {Φ j, Φ m }) 0 H T erster Klasse Christof Witte kanonische 28 / 46

31 Es folgt 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 29 / 46

32 Phasenraumfunktion g mit Anfangswert g(t = 0) = g 0, betrachten g(δt): g(δt) = g 0 + ġδt = g 0 + δt({g, H } + v a {g, Φ a }) nun verwenden v a und bilden Differenz g(δt) g (δt) g = ɛ a {g, Φ a }, ɛ a = δt(v a v a ) Φ a erzeugen Transformation die Systemeigenschaften nicht ändern man zeigt: sekundäre Nebenbedingungen erster Klasse erzeugen Unterscheidung primär-sekundär nicht entscheidend Christof Witte kanonische 30 / 46

33 Nebenbedingung Φ 1 = g ij p i p j m 2 berechnen nun mögliche der q s, und p s {q i, Φ 1 } = g ij p j = p i, {p i, Φ 1 } = 0 können q s in Richtung der p s ändern, ohne Systemzustand zu ändern, p s nicht transformierbar entspricht Verschiebung auf der Weltlinie des Teilchens bei vorgegebenem Satz (q i, p i ) beschreibt ( q i, p i ) den gleichen Zustand des Systems Christof Witte kanonische 31 / 46

34 Es folgt 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 32 / 46

35 zweiter Klasse Nebenbedingungen erster Klasse (i.f. Φ j ) erzeugen Nebenbedingungen zweiter Klasse (i.f. χ s ) reduzieren Phasenraum, sind aber sonst nicht interessant versuchen diese Freiheitsgrade aus der Theorie zu eliminieren modifizieren Poissonklammer, so dass für jede Phasenraumfunktion F {F, χ s } = 0 χ s = 0 Christof Witte kanonische 33 / 46

36 Vorgehen bei Nebenbedingungen zweiter Klasse zunächst so viele Nebenbedingungen zu erster Klasse Nebenbedingungen kombinieren wie möglich übrigbleibende Nebenbedingungen zweiter Klasse nicht physikalisch relevant benutzen Poissonklammer aus der diese Freiheitsgrade eliminiert sind Christof Witte kanonische 34 / 46

37 Dirac-Klammer Definition Die Dirac-Klammer {, } D zweier klassischer Phasenraumfunktionen f,g ist definiert durch {f, g} D = {f, g} {f, χ s }(M 1 ) ss {χ s, g}, wobei die Matrix M definiert wird durch M ss = {χ s, χ s }. interessant: nur gerade Anzahl an Nebenbedingungen zweiter Klasse möglich erfüllt alle Eigenschaften der Poissonklammer Christof Witte kanonische 35 / 46

38 Observablen Observablen sind Phasenraumfunktionen die Informationen über Systemzustand repräsentieren (Messgrößen) Messgrößen dürfen sich nicht ändern nach Eichtransformation Bedingung das Observable F invariant gegenüber : {F, Φ j } D 0 j sind Phasenraumfunktionen erster Klasse Christof Witte kanonische 36 / 46

39 Frage: Wie extrahieren wir, wo sich das relativistische Teilchen zur Zeit t befindet? q 0 hat die Bedeutung der Zeitkoordinate alle eichtransformierten q i beschreiben gleichen Systemzustand bei vorgegebenem Satz (q 0, q 1, q 2, q 3 ) transformieren so, dass Q 0 = t und lesen Orte Q 1, Q 2, Q 3 ab Transformationsvorschrift leicht zu finden Q i (t) = q i + t q0 p i p 0 Christof Witte kanonische 37 / 46

40 Fortsetzung Q i (t) Phasenraumfunktion, die für jedes t angibt, wo sich das Teilchen befindet überprüfen {Q i (t), Φ 1 } 0 Q i (t) ist Observable, nur solche geben Informationen über System für anderen Beobachter Lorentztransformation der Q i Christof Witte kanonische 38 / 46

41 Es folgt Kanonische 1 Klassische Mechanik 2 3 Kanonische Christof Witte kanonische 39 / 46

42 Kanonische von Systemen mit Nebenbedingungen Übergang q i ˆq i und p i ˆp i Schrödingergleichung i d dt Ψ = Ĥ Ψ außerdem Nebenbedingungen erster Klasse ˆΦ j Ψ = 0 Kommutator zweier Operatoren ˆF & Ĝ [ˆF, Ĝ] = i {F, G} D Christof Witte kanonische 40 / 46

43 Konsistenz der Gleichungen Kanonische Konsistenz verlangt das bedeutet dafür muss ˆΦ j ˆΦ j Ψ = 0 und ˆΦ j ˆΦ j Ψ = 0 [ˆΦ j, ˆΦ j ] Ψ = 0 [ˆΦ j, ˆΦ j ] = ĉ j jj ˆΦ j klassisch garantiert da Φ j erster Klasse in Quantenmechanik dennoch Problem: ĉ j jj alle links Christof Witte kanonische 41 / 46

44 weitere Schwierigkeiten Kanonische weitere Konsistenzbedingung aus Schrödingergleichung ĉ j j [ˆΦ j, Ĥ ] Ψ = 0 [ˆΦ j, Ĥ ] = ĉ j j ˆΦ j müssen alle links erscheinen außerdem muss geeignete Darstellung der Operatoren gefunden werden Informationen über System nur durch Erwartungswerte von Observablen: Ψ ˆF Ψ dazu Definition eines Skalarproduktes im Raum der Zustände nötig; schwieriger zu finden bei Systemen mit Nebenbedingungen Christof Witte kanonische 42 / 46

45 Kanonische relativistisches Teilchen Betrachten jetzt relativistisches Teilchen auf flachem Raum (g ij = diag( + + +)). Wir hatten gefunden Übergang in die Ortsdarstellung: Ĥ = 0, ˆΦ1 = g ij ˆp i ˆp j m 2 Ψ Ψ(q i ), ˆq i q i, ˆp i i q i Dann erhalten wir aus der primären Nebenbedingung ˆΦ 1 Ψ = 0 ( q i + m2 ) q i 2 Ψ(q i ) = 0. Christof Witte kanonische 43 / 46

46 Kanonische Fortsetzung Nebenbedingung führt also auf Klein-Gordon-Gleichung ( + m2 2 ) Ψ(q i ) = 0, mit = 2 q 02. Klein-Gordon-Gleichung nicht die relativistische Verallgemeinerung der Schrödingergleichung keine Gleichung für Zeitentwicklung eines Zustands Christof Witte kanonische 44 / 46

47 Kanonische Fortsetzung Ortsinformationen nur über geeignete Observable hatten Q i (t) schon kennengelernt Weg klar Q i (t) ˆQ i, Ortsinformation dann als Erwartungswerte des Operators Christof Witte kanonische 45 / 46

48 Quellen Kanonische Paul A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Dover Publications Inc., 2001 H.-J. Matschull, Dirac s Canonical Quantization Program, matschul S. Avery, Dirac Brackets, avery/notes/dirac-brackets.pdf Christof Witte kanonische 46 / 46