Supersymmetrische Quantenmechanik

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Maike Linden
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1 Supersymmetrische Quantenmechanik Vorlesung mit Übungen Sommersemester 2014 Universität Erlangen-Nürnberg Georg Junker European Southern Observatory 15. April 2014

2 Vorbemerkungen 1. Montags 9-12 Vorlesung; Übungen 2. Termine: , , , , , Voraussetzung: Quantenmechanik 4. Vorkenntnisse: Dirac-Gleichung, Fokker-Planck-Gleichung, WKB-Näherung,... (ev. in Übungen wiederholen oder erarbeiten) 5. Literatur: G. J., Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics (Springer, 1996) H. Kalka und G. So, Supersymmetrie (Teubner, 1997) Programm 1. Einleitung 2. Supersymmetrische Quantenmechanik 3. Das Witten-Model 4. Fokker-Planck-Gleichung 5. Pauli-Gleichung 6. Dirac-Gleichung

in Übungen wiederholen oder erarbeiten) 5. Literatur: G. J., Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics (Springer, 1996) H.

3 1 Einleitung 1.1 Ziel der Vorlesung Supersymmetrie (kurz SUSY) als modernes algebraisches Hilfsmittel der theoretischen und mathematischen Physik kennenlernen. SUSY QM = QM + Superladungen (weitere Erhaltungsgröÿen) charakteristische Eigenschaften der SUSY QM 1.2 Historie der SUSY Idee Ursprung in der QFT (Eichtheorien) der Elementarteilchenphysik (siehe Vorlesung M. Thies WS 2013/2014) Struktur: Raum-Zeit-Symmetrie Eichsymmetrie/Innere Sym. (Poincaré-Algebra p) (Lie-Algebra g) Materiefelder (Bausteine) Eichfelder (Kräfte) (Fermionen) (Bosonen) SUSY Idee: Vereinigung von Raum-Zeit-Symmetrie mit Inneren Symmetrien Vereinigung von Bosonen und Fermionen 1967 No-Go-Theorem von Coleman und Mandula: Nur triviale Vereinigung möglich (im Rahmen von Lie-Algebren) Generatoren der Eichgruppe sind Lorentz-Skalare (p g) Ausweg: Lie-Algebren Super Lie-Algebren (graded Lie-Algebren) Neben Kommutator [A, B] := AB BA wird auch Anti-Kommutator {A, B} := AB + BA zum Schliessen der Algebra verwendet 1971 Gel'fand und Likhtman: Erste Einbettung der Poincaré-Algebra in eine Superalgebra 1973 Volkov und Akulov: Erste (nicht-renormierbare) SUSY QFT in 2 Dimensionen 1974 Wess und Zumino: Erste renormierbare SUSY QFT in 4 Dimensionen 1975 Haag, Šopusza«ski und Sohnius: Erweiterung des No-Go-Theorems Superalgebra im Wesentlichen eindeutig 1976 Nicolai: SUSY QM als (0 + 1)-dim. SUSY QFT 1981 Witten: Einfaches Modell der SUSY QM Popularsierung 3

2 Historie der SUSY Idee Ursprung in der QFT (Eichtheorien) der Elementarteilchenphysik (siehe Vorlesung M. Thies WS 2013/2014) Struktur: Raum-Zeit-Symmetrie Eichsymmetrie/Innere Sym.

4 2 Supersymmetrische Quantenmechanik 2.1 Denition Ausgangspunkt: Hilbert-Raum: H Hamiltonian: H = H (mit diskretem Anteil im Spektrum) N weitere Observable: Q i = Q i, i = 1, 2, 3,..., N Denition: Ein System charakterisiert durch {H, Q 1, Q 2,..., Q N ; H} heiÿt supersymmetrisch falls Bemerkungen: {Q i, Q j } = δ ij H, i, j {1, 2,..., N} H = 2Q 2 1 = 2Q 2 2 = = 2Q 2 N = 2 N Q 2 i 0 N i=1 Keine negativen Energie-Eigenwerte Q i = H/2 Wurzel des Energie-Operators (Dirac) [H, Q i ] = 2[Q 2 i, Q i ] = 0 Superladungen Q i sind Erhaltungsgröÿen falls t Q i = 0 Für N = 2M gerade deniert man alternativ komplexe Superladungen Q k := 1 2 (Q k + iq M+k ), k = 1, 2,..., M. { Qk, Q } l = 0, { Qk, Q } l = Hδ kl Es gilt: Q2 k = 0 = ( Q k )2, [ Q k, H] = 0 = [ Q k, H] Beweis durch explizites ausrechnen. Alternative Denition der SUSY QM Komplexe Superladungen sind nilpotente Erhaltungsgröÿen Achtung: Sprachweise N-erweiterte SUSY QM; meint manchmal die M = N/2- erweiterte SUSY QM in Abhängingkeit der Zählweise reeller oder komplexer SUSY Ladungen. Denition: Sei E 0 := min spec(h) 0 die Grundzustandsenergie von H und Ψ j 0 die zugehörigen Grundzustände j = 1, 2,..., g (g: Entartungsgrad von E 0 ). SUSY ungebrochen : E 0 = 0 SUSY gebrochen : E 0 > 0 4

.., N} H = 2Q 2 1 = 2Q 2 2 = = 2Q 2 N = 2 N Q 2 i 0 N i=1 Keine negativen Energie-Eigenwerte Q i = H/2 Wurzel des Energie-Operators (Dirac) [H, Q i ] = 2[Q 2 i, Q i ] = 0 Superladungen Q i sind

5 Bemerkungen: Statt ungebrochen sagt man auch exakt E 0 = Ψ j 0 H Ψ j 0 = 2 N N Ψ j 0 Q 2 i Ψ j 0 = 2 N i=1 N Q i Ψ j 0 2 = i=1 E 0 = 0 Q i Ψ j 0 = 0, i {1, 2,..., N}, j {1, 2,..., g}, g := dim ker(h) E 0 > 0 mind. ein Paar (i, j) mit Q i Ψ j Der supersymmetrische harmonische Oszillator Ausgangspunkt: H := L 2 (R) C 2 Quantenteilchen in d = 1 mit Spin-1/2 Freiheitsgrad a := 1 2 ( x + x) mit [a, a ] = 1 Bosonischer Freiheitsgrad ( ) 0 0 f := σ = mit {f, f 1 0 } = 1, f 2 = 0 = (f ) 2 Fermionischer Freiheitsgrad ( ) 0 a Q := a f = komplexe Superladung (ab jetzt ohne Tilde) 0 0 H := {Q, Q } = a a + f f Bemerkungen: (siehe Übung 1) spec(a a) = {0, 1, 2,...} spec(f f) = {0, 1} Spektrum von H: N = 2 SUSY QM E f f = 0 f f = 1 E 3 = 3 E 2 = 2 E 1 = 1 Q = Q = E 0 = 0 SUSY ungebrochen, paarweise Entartung für E > 0 5

2 Der supersymmetrische harmonische Oszillator Ausgangspunkt: H := L 2 (R) C 2 Quantenteilchen in d = 1 mit Spin-1/2 Freiheitsgrad a := 1 2 ( x + x) mit [a, a ] = 1 Bosonischer Freiheitsgrad ( ) 0 0

6 Eigenzustände von H: ( ) 0 n, = n, 1 a n = n n 1 ( ) 1 n, = n, 0 a n = n + 1 n + 1 SUSY-Transformationen Q n, = n n 1, Q n, = n + 1 n + 1, Superladungen transformieren zwischen Energie-Eigenzuständen zum gleichen Energie-Eigenwert Pauli-Hamiltonian als N = 1 Beispiel (siehe Übung 2) 2.3 Eigenschaften der N = 2 SUSY QM Ausgangspunkt: Betrachten im Folgenden N = 2 SUSY QM, {H, Q, Q ; H}: {Q, Q } = H, Q 2 = 0 = (Q ) 2 [H, Q] = 0 = [H, Q ], H = ( Q + Q ) 2 Alle folgenden Aussagen gelten somit auch für N > 2! Witten-Parität Denition: Ein SUSY Quantensystem {H, Q, Q ; H} heiÿt supersymmetrisches Quantensystem mit Witten-Parität falls ein selbstadjungierter Operator W exisitiert mit Bemerkungen: [W, H] = 0, {W, Q} = 0 = {W, Q }, W 2 = 1. Witten-Parität (oder -Operator) hat Eigenwerte ±1, d.h. spec(w ) = {1, 1} unitäre nicht-triviale Involution Für N 2 formale Konstruktion möglich W := 2 H QQ 1 zunächst nur auf H\ker(H) definiert 6

3 Eigenschaften der N = 2 SUSY QM Ausgangspunkt: Betrachten im Folgenden N = 2 SUSY QM, {H, Q, Q ; H}: {Q, Q } = H, Q 2 = 0 = (Q ) 2 [H, Q] = 0 = [H, Q ], H = ( Q + Q ) 2 Alle folgenden Aussagen

7 Übung 3: W erfüllt alle geforderten Eigenschaften und W = [Q, Q ] {Q, Q } = 1 ih [Q 1, Q 2 ] Für SUSY Oszillator gilt W = 2f f 1 Übung 4: Verallgemeinerter Fermionischer Vernichter (und Erzeuger) f := H 1/2 Q und Fermion-Anzahloperator F := f f = 1 (W + 1) Witten-Paritäts-Eigenräume Denition: Projektoren auf Witten-Paritäts-Eigenräume P ± := 1 2 (1 ± W ) = ( P ±) Projektor: P ± P ± = 1 4 (1 ± W )(1 ± W ) = 1 4 ((1 ± 2W + W 2 ) = 1 2 (1 ± W ) = P ± Orthogonal: P ± P = 1 4 (1 ± W )(1 W ) = 1 4 (1 W 2 ) = 0 Vollständig: P + + P = 1 Orthogonale Zerlegung des Hilbert-Raums (Z 2 -grading von H): H = H + H mit H ± := P ± H = { Ψ H : W Ψ = ± Ψ } Notation für Zustände: Ψ ± H ±, W Ψ ± = ± Ψ ± Eigenzustände positiver/negativer Witten-Parität Matrix-Darstellung: ( 1 0 W = 0 1 ( φ Ψ + = + 0 ), P + = ), Ψ = ( ( 0 φ ) ( 0 0, P = 0 1 ), φ ± H ± Superladungen: {Q, W } = 0 ±Q Ψ ± = QW Ψ ± = W Q Ψ ± = W Q Ψ ± = Q Ψ ± = Q Ψ ± H oder Q Ψ ± = 0 analog Q Ψ ± H oder Q Ψ ± = 0 Superladungen transformieren Zustände negativer (positiver) Witten-Parität in Zustände positiver (negativer)witten-parität. ). 7

2 Witten-Paritäts-Eigenräume Denition: Projektoren auf Witten-Paritäts-Eigenräume P ± := 1 2 (1 ± W ) = ( P ±) Projektor: P ± P ± = 1 4 (1 ± W )(1 ± W ) = 1 4 ((1 ± 2W + W 2 ) = 1 2 (1 ± W ) = P ±

8 Übung 5: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit - Matrixdarstellung der Superladung ( ) ( ) { 0 A 0 0 A : H Q =, Q 0 0 = mit H + A 0 A : H + H also QH H +, Q H + H, Q H = 0 = QH + SUSY-Partner-Hamiltonians: H = Q Q + QQ = ( AA 0 0 A A ) ( H+ 0 =: 0 H SUSY-Partner H ± : H ± H ± Verallgemeinerung des supersym. Harmonischen Oszillators ) SUSY-Transformationen Satz: Zu jedem positiven/negativen Eigenzustand bzgl. W und H mit Eigenwert E > 0 gibt es einen negativen/positiven Eigenzustand mit selben Energieeigenwert E. D.h. die positiven Energieeigenwerte eines N 2 SUSY QM Systems sind paarweise entartet. Der Zusammenhang dieser Zustände ist gegeben durch die SUSY Transformationen: Ψ E = 1 E Q Ψ + E, Ψ+ E = 1 E Q Ψ E mit W Ψ ± E = ± Ψ±, E H Ψ± E = E Ψ± E und E > 0. Beweis: Zunächst ist klar daÿ es wegen [H, W ] = 0 eine gemeinsame Eigenbasis zu W und H gibt. Sei nun H Ψ E = E Ψ E dann folgt wegen [H, Q] = 0 = [H, Q ], HQ Ψ E = QH Ψ E = QE Ψ E und somit ist für E > 0 auch Ψ+ E := (1/ E)Q Ψ E Eigenzustand zum gleichen Eigenwert. Die Normierung ist oensichtlich wegen: Ψ + E 2 = 1 E Ψ E Q Q Ψ E = 1 E Ψ E Q Q + QQ Ψ E = 1 E Ψ E H Ψ E = 1 da Q H = 0. Bemerkung: Sei H ± φ ± E = E φ± E H± mit E > 0, dann gilt φ E = 1 E A φ + E, φ+ E = 1 E A φ E ( φ wobei Ψ + + E = E ) (Symbolische Notation ) ( 0 ) 0 und Ψ E = φ E (Symbolische Notation ) 8

3 SUSY-Transformationen Satz: Zu jedem positiven/negativen Eigenzustand bzgl. W und H mit Eigenwert E > 0 gibt es einen negativen/positiven Eigenzustand mit selben Energieeigenwert E. D.h.

9 E E 3 E 2 E 1 E 0 E E 2 E 1 E 0 0 ungebrochene SUSY gebrochenen SUSY Man sagt, H + = AA und H = A A sind essentially isospectral: spec(h + )\{0} = spec(h )\{0} Der strikt positive Anteil des Spektrums ist für beide identisch inkl. Entartung Witten-Index Denition: Sei n ± := dim ker(h ± ) < die Zahl der unabhängingen Eigenzustände von H ± zum Eigenwert 0. Man deniert den Witten-Index wie folgt: Oensichtlich gilt: := n n + 0 = SUSY ungebrochen SUSY gebrochen = = 0 Die Umkehrungen gelten i.a. NICHT! Zusammenhang mit Fredholm-Index: ind A := dim kera dim kera = dim kera A dim keraa = n n + = Topologische Invariante siehe später Witten-Modell und Pauli-Paramagnetismus Zusammenhang mit Witten-Parität: Formal: = Sp(W ) Beweis: Sp(W ) = Sp H+ (1) Sp H (1) = dim kerh + dim kerh = n + n 9

Man deniert den Witten-Index wie folgt: Oensichtlich gilt: := n n + 0 = SUSY ungebrochen SUSY gebrochen = = 0 Die Umkehrungen gelten i.a. NICHT!

10 Beachte: Wegen SUSY Entartung heben sich alle Beiträge der Zustände mit E > 0 im vorletzter Schritt auf. Besser man betrachtet regularisierte Indizes: Heat-Kernel regularization: (β) := Sp(W e βh ) = Sp H (e βa A ) Sp H+ (e βaa ) IDOS regularization: (ɛ) := Sp(W Θ(ɛ H)) = Sp H Θ(ɛ A A) Sp H Θ(ɛ AA ) IDOS = Integrated Density Of States Für rein disktetes Spektrum von H und n ± < gilt: = (β) = (ɛ) unabhängig von Regularisierung Problemfälle sind n ± = (nicht Spurklasse) z.b. Pauli-Hamiltonian und/oder kontinuierliches Spektrum. 10

regularization: (ɛ) := Sp(W Θ(ɛ H)) = Sp H Θ(ɛ A A) Sp H Θ(ɛ AA ) IDOS = Integrated Density Of States Für rein disktetes Spektrum von

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