Computer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg,

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1 Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg,

2 Literatur Richard Hartle and Andrew Zisserman. Multiple View Geometr in computer vision, Cambridge Universit Press, 2 nd Ed., 23. O.D. Faugeras and Q.-T.Luong. The Geometr of Multiple Images, MIT Press 2. D.A.Forsth and J. Ponce. Computer Vision a modern approach, Prentice Hall 23. J.G. Semple and G.T. Kneebone. Algebraic Projective Geometr, Clarendon Press. Oxford Classic Texts von 24

3 Erklärung Die meisten in den Folien dieser Vorlesung verwendeten Abbildungen stammen aus dem Buch Richard Hartle and Andrew Zisserman. Multiple View Geometr in computer vision, Cambridge Universit Press, 2 nd Ed., von 24

4 Einleitung Einleitung - Motivation - Beispiele 4 jährige Geschichte Rechnersehen eigentl. weit umfassender Begriff. Hier: Betonung auf Geometrie Beziehungen zwischen Raumkoordinaten von Objektpunkten, -Geraden etc., deren Bildkoordinaten auf verschiedenen Bildern und den Parametern der abbildenden Kameras. Algebraische Trennung zwischen Objektdaten und Kameradaten (Parametern)- führt bei mehreren Kameras auf neuen technisch/mathematischen Begriff - die Tensoren, welche alle Parameter einer Gruppe von Kameras geeignet zu neuen Größen zusammenfassen. 4 von 24

5 Einleitung Zur Motivation: Gegeben seien 2 Bilder von einem Objekt und keine andere Information. Berechne die 3D Position der abgebildeten Punkte und die Kameras, die die Bilder generiert haben. 3 Bilder... 5 von 24

6 Einleitung Anwendungen Szenenrekonstruktion (3D) aus unkalibrierten Bildern (a) Bilder (b) Kamerakoordinaten 6 von 24

7 Einleitung Anwendungen Szenenrekonstruktion (3D) aus unkalibrierten Bildern (c) Rekonstruktion (d) Textur 7 von 24

8 Einleitung Anwendungen Robotik: Selbspositionierung, Objekterkennung, etc. Abbildung: Nimbro (Freiburg) vs. Osaka 8 von 24

9 Einleitung Anwendungen Automatische Fahrzeuglenkung Erfordert Realzeit, dnamische 3D Szenenanalse Abbildung: VW Touareg Grand Challenge Winner 25 9 von 24

10 Einleitung Anwendungen Kameraüberwachung von 24

11 Motivation - Unterschied: Euklidisch - affin - projektiv Die projektive Geometrie kann als Erweiterung der Euklidischen Geometrie verstanden werden. Eine Erweiterung besteht darin, dass Punkte im Unendlichen rechnerisch erfasst werden können. Parallele Linien schneiden sich im Unendlichen. Somit entfällt das Konzept der Parallelität in der projektiven Geometrie. von 24

12 Die projektive Gerade P Die projektive Gerade P Wir veranschaulichen homogene Punktkoordinaten zunächst im P. Übergang von R zum P durch Umwandlung inhomogener Koordinaten zu homogenen Koordinaten x R x «P Gleichheit bis auf einen Skalenfaktor ( ) «x x x = k «für x P Übergang vom P zum R «x P = {z } homogene Koord. x/ «x/ «x/ {z} inhomogene Koord. R 2 von 24

13 Die projektive Gerade P Punkte im Unendlichen haben als letzte Komponente die Null. ( ) x ( Der Nullvektor ) entspricht keinem Punkt. 3 von 24

14 Die projektive Gerade P Veranschaulichung P Vorstellung: P eingebettet in den R 2 «x (x /, ) Wir können uns alle Vektoren k k als eine Äquivalenzklasse (ein Punkt) vorstellen. ««x x x = k für x P Abbildung: Die projektive Gerade «x/ kann als Repräsentant dieser Äquivalenzklasse gewählt werden, solange der Punkt nicht im Unendlichen liegt. x 4 von 24

15 Die Projektive Ebene Die Projektive Ebene - Homogene Punktkoordinaten Übergang vom R 2 zum P 2 x «R Gleichheit bis auf einen Skalenfaktor ( ) x z A Übergang vom P 2 zum R x A = x/z /z z {z } homogene Koord.. x/z /z x A P 2 x z A «A P 2 x/z /z {z } inhomog. Koord. R 2 5 von 24

16 Die Projektive Ebene Homogene Repräsentation von Geraden Eine Gerade lässt sich im R 2 durch die Gleichung ax + b + c = beschreiben. Die Gerade kann durch den Vektor l = ` a b c T beschrieben werden. ` a b x {z } A = l T l T x = Ergebnis Inzidenz: Ein Punkt x liegt auf einer Geraden l l T x = 6 von 24

17 Die Projektive Ebene weiterhin gilt: k l l (l und k l repräsentieren die selbe Linie.) Freiheitsgrade 2dof:Verhältnisse zwischen a : b : c. Beispiel Steigung und der Schnitt mit der -Achse 7 von 24

18 Die Projektive Ebene Ein Modell des P 2 z Vorstellung: Der projektive zweidimensionale Raum P 2 ist in den R 3 eingebettet. x x3 x2 P 2 = R 3 ( ) T x Ein Punkt im P 2 formt einen Strahl im R 3 : ( x z ) T k ( x z ) T Die k ( x z ) T formen eine Äquivalenzklasse. Der Schnittpunkt mit der Ebene z = kann als Repräsentant dieser Äquivalenzklasse gesehen werden. Geraden im P 2 entsprechen Strahlenbündel (Ebenen) im R 3,die durch den Ursprung gehen. 8 von 24

19 Die Projektive Ebene Verbindungsgerade zwischen zwei Punkten Für eine Linie l, diex und x 2 enthält, gilt: ff l T x = l T l x x 2 x 2 = z l x2 Dies wird durch das Kreuzprodukt zwischen x und x 2 erfüllt. x x Abbildung: l steht senkrecht auf der Ebene, die durch x und x 2 aufgespannt wird. Ergebnis Die Gerade l durch zwei Punkte x und x 2 ist gegeben durch l x x 2 9 von 24

20 Die Projektive Ebene Schnittpunkt zweier Geraden l und l 2 l T x = l 2T x = ff x l l 2 l l 2 erzeugt einen Vektor, der auf l,sowieaufl 2 senkrecht steht. Es gilt: l T (l l 2 ) = l 2T (l l 2 ) = {z } {z } x x Ergebnis Der Schnittpunkt x zweier Geraden l und l 2 ist gegeben durch x l l 2 2 von 24

21 Die Projektive Ebene Gerade-Punkt Dualismus Schnittpunkt zweier Geraden x l l 2 Gerade definiert durch 2 Punkte l x x 2 Berechnung des Schnittpunktes erfolgt analog zur Berechnung der Gerade, die durch zwei Punkte geht. Punkte und Geraden können ihre Rollen tauschen. Gerade-Punkt Dualismus Ergebnis (Gerade Punkt Dualismus) Zu jedem Theorem im 2-dimensionalen projektiven Raum existiert ein duales Theorem, das durch geeignetes Vertauschen der Rollen von Punkt und Gerade erzielt wird. (Vorteil bei Beweisen) 2 von 24

22 Die Projektive Ebene Ideale Punkte Im projektiven Raum schneiden sich auch parallele Geraden. Punkte im Unendlichen x A Betrachte 2 parallele Geraden l, l a a b c A und b c A Schnittpunkt x l l =(c b a b a Alle x P liegen auf einer Gerade, der unendlich fernen Gerade. A 22 von 24

23 Die Projektive Ebene Veranschaulichung am Beispiel Gegeben seien 2 parallele Geraden x = und x =3 x= x=3 Abbildung: Parallelen schneiden sich im Unendlichen 3 x Es gilt: x + == ( ) x } {{ } z l T T =l 2 x ( 3 ) x z } {{ } z l T 2 Schnittpunkt: l l 2 = 2 unendlich ferner Punkt 23 von 24

24 Die Projektive Ebene Die unendlich ferne Gerade (u.f.g) enthält alle Punkte im Unendlichen. l d.h. x, l T l T x = x = unendlich ferne Gerade Parametrische Darstellung aller Punkte der Geraden durch x und x 2 : x α x + β x 2 (bzw. x + γ x 2 ) l T x = l T x 2 = Es gilt: l T x = x auf l 24 von 24

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