Jürgen Wurm. 31. Mai 2006

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1 Kohärente Zustände Jürgen Wurm 31. Mai 006 Vortrag zum Seminar Quantenoptik im SS 006 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 3.1 Entwicklung des Feldes nach Eigenmoden Quantisierung Fockzustände Definition Erwartungswerte von Ê und Ê Kohärente Zustände Konstruktion als Eigenzustand des Vernichtungsoperators Eigenschaften Zeitentwicklung Über-)Vollständigkeit und Nicht-)Orthogonalität Minimale Unschärfe bezüglich ˆq und ˆp Erwartungswerte von ˆN und Ê Amplituden- und Phasenoperatoren Darstellungen von Quantenverteilungen Dichteoperator und R-Darstellung P-Darstellung Glauber-Darstellung) Beispiele zur P-Darstellung Q-Darstellung Hosimi-Darstellung) Beispiele zur Q-Darstellung Literatur [1] M.O. Scully, M.S. Zubairy: Quantum Optics [] R. Loudon: The Quantum Theory of Light [3] L. Mandel, E. Wolf: Optical coherence and quantum optics [4] J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics

3 1 Einleitung In der klassischen Beschreibung des elektromagnetischen Feldes besteht dieses aus Wellen, deren Amplituden und Phasen wohldefiniert sind. Eine quantenmechanische Behandlung jedoch verbietet eine exakte Festlegung zweier konjugierter Variablen. Es ist deshalb sinnvoll quantenmechanische Zustände zu konstruieren, die eine minimale Unschärfe aufweisen. Kohärente Zustände 1 erfüllen dies. Ihre Unschärfe ist etwa gleich auf Phase und Amplitude verteilt. Da kohärente Zustände diese Eigenschaften auch unter Zeitentwicklung behalten, beschreiben sie das klassische elektromagnetische Feld bestmöglich. Zur Verdeutlichung betrachten wir einen harmonischen Oszillator mit Hamiltonoperator Für jeden Zustand muß die heisenbergsche Unschärfebeziehung gelten Ĥ = ˆp m + 1 mωˆq 1.1) ˆq ˆp 1 [ˆq, ˆp] = 1.) Dabei ist   =  ) die Unschärfe des Operators Â. Für einen kohärenten Zustand jedoch gilt ˆq ˆp = 1.3) In Abschnitt 4) werden wir zeigen, dass z.b. der sogenannte verschobene Grundzustand des harmonischen Oszillators diese Eigenschaft besitzt. Quantisierung des elektromagnetischen Feldes Zunächst soll noch einmal kurz wiederholt werden wie, ausgehend von den maxwellschen Gleichungen, das elektromagnetische Feld quantisiert werden kann und man die Operatoren für das elektrische und das magnetische Feld erhält. Im Vakuum gilt mit H = D t E = B t B = 0 D = 0.1) B = µ 0 H D = ɛ0 E.) Bildet man auf beiden Seiten der zweiten Maxwell-Gleichung die Rotation, so folgt mit der Identität E) = E) E, der vierten Maxwell-Gleichung und c = ɛ 0 µ 0 die Wellengleichung 1 Das Konzept der kohärenten Zustände stammt von Schrödinger 196). Ihren Namen erhielten sie jedoch von Glauber 1963) E 1 c E t = 0.3) 3

4 .1 Entwicklung des Feldes nach Eigenmoden Betrachtet man einen eindimensionalen z-richtung) Resonator der Länge L, so erhält man als Randbedingung das Verschwinden des elektrischen Feldes für z = 0 und z = L. Betrachtet weiter man ein in x-richtung linear polarisiertes Feld und separiert die Wellengleichung in Orts- und Zeitabhängigkeit, so findet man Lösungen der Form E x,j z, t) = A j q j t) sin k j z) mit k j = jπ L j N.4) Die Funktion qt) muß dabei den Zeitanteil der Wellengleichung erfüllen, der lautet q j t + c k j q j = 0.5) Das rechtfertigt es, q j als Orstkoordinate eines abstrakten harmonischen Oszillators zu behandeln. Für die allgemeine Lösung folgt E x z, t) = j E x,j z, t) = j A j q j t) sin k j z).6) Mit A j = k j c m j V ɛ 0.7) fällt es nachher leichter die Analogie zwischen einer einzelnen Mode und einem harmonischen Oszillator mit der Masse m j und der Ortskoordinate qt) zu erkennen. V ist hierbei das Volumen des Resonators. In analoger Weise folgt für die nichtverschwindende Komponente des magnetischen Feldes H y H y = j A j q j t)ɛ 0 k j cos k j z).8) Die klassische Hamiltonfunktion für dieses Problem ist gegeben durch H c = 1 ɛ 0 Ex + µ 0 H y)dv.9) Bzw. mit den Gleichungen.6) und.8) und der Definition p j := m j q j ) H c = 1 m j kj c qj + m j q j ) = 1 m j kj c qj + p j m j j V j.10) Man sieht auch hier sofort, dass die Hamiltonfunktion des Strahlungsfeldes der einer Summe von harmonischen Oszillatoren entspricht.. Quantisierung Die eigentliche Quantisierung des elektromagnetischen Feldes erfolgt dadurch, dass ˆq j und ˆp j als Operatoren aufgefasst werden, die den Vertauschungsrelationen [ˆq H j, ˆp H j ] = i δ jj.11) 4

5 [ˆq H j, ˆq H j ] = [ˆpH j, ˆp H j ] = 0.1) genügen. Das H steht dabei für ds Heisenbergbild, in dem wir uns bisher bewegen. Operatoren im Schrödingerbild werden keine Indizes haben. q und p werden auch die konjugierten Feldvariablen des elektromagnetischen Feldes genannt. Diese Quantisierung entspricht der Dirac schen Regel für den Übergang von der klassischen zur Quantenmechanik Dirac, 195) {, } P oisson 1 i [, ] Aus vielen Gründen ist es angebracht nicht mit den Operatoren qj H und p H j sondern mit den nicht-hermiteschen Operatoren â H 1 j = m j ω j ˆq j H + iˆp H j ) â H 1 j = m j ω j ˆq j H iˆp H j ).13) mj ω j mj ω j zu arbeiten, wobei ω j = ck j. Aus den Heisenberg Bewegungsgleichungen für ˆq H j und ˆp H j folgen die Differentialgleichungen dâ H j dt = iω j â H j dâ H j dt = iω j â H j.14) mit den Lösungen â H j = â H j 0)e iωjt = â j e iωjt â H j = â H j 0)e iωjt = â j e iωjt.15) Wie bereits erwähnt sind die Operatoren ohne Index H als Operatoren im Schrödingerbild aufzufassen. Mit den entsprechenden Ausdrücken für ˆq H j und ˆp H j wird Gleichung.10) zu Ĥ = j ω j â jâj + 1 ).16) Die Operatoren â j und â j werden als Vernichter und Erzeuger bezeichnet, ihre Vertauschungsrelationen folgen aus denen für ˆp j und ˆq j [â j, â j ] = δ jj.17) [â j, â j ] = [â j, â j ] = 0.18) Bezüglich â j und â j folgen als Ausdrücke für die Operatoren des elektrischen und des magnetischen Feldes Ê x z, t) = j E j â j e iωjt + â j eiwjt ) sin k j z).19) Ĥ y z, t) = iɛ 0 c j E j â j e iωjt â j eiwjt ) cos k j z).0) Wobei E j = ωj ɛ 0V die Einheit eines elektrischen Feldes besitzt. Ähnlich kann man auch das Feld im freien Raum quantisieren. Man betrachtet dazu einen sehr großen würfelförmigen Bereich mit Volumen V = L 3 und periodischen Randbedingungen. Statt den stehenden Wellen im vorherigen Fall, entwickelt man die Lösungen der Wellengleichungen diesmal nach laufenden Wellen und erhält E r, t) = ˆɛ k E k α k e iω k t+i k r + c.c..1) k 5

6 H r, t) = 1 µ 0 k k ˆɛ k ω k E k α k e iω k t+i k r + c.c..) Dabei geht die Summe über ein unendliches diskretes Set von Wellenvektoren k = k x, k y, k z ), ˆɛ k ist der Einheitsvektor in Richtung der Polarisation er steht wegen.1) senkrecht zu k), ω k = c k, α k eine dimensionslose Konstante und ω k E k = ɛ 0 V Wegen der periodischen Randbedingungen müssen die Einträge in k folgende Bedingung erfüllen k x = πn x L k y = πn y L k z = πn z L n i Z.3) Die Quantisierung liefert in diesem Fall h.c. steht für hermitesch konjugiert. Ê r, t) = Ĥ r, t) = 1 µ 0 k ˆɛ k E k â k e iω kt+i k r + h.c..4) k k ˆɛ k ω k E k â k e iω k t+i k r + h.c..5) 3 Fockzustände 3.1 Definition Die Energieeigenzustände des elektromagnetischen Feldes bezeichnet man als Fockzustände oder Teilchenzahlzustände. Zunächst betrachten wir eine einzelne Mode. Ĥ n = ω â â + 1 ) n = E n n 3.1) Wendet man von links â an und benutzt die Relation.17) folgt ω ââ + 1 ) â n = E n â n Ĥâ n ) = ω â â + 1 ) â n ) = E n ω)â n ) Man kann also einen weiteren Eigenzustand von Ĥ definieren dessen Eigenwert gegenüber dem von n um ω erniedrigt ist. n 1 := c n â n Ĥ n 1 = E n 1 n 1 mit E n 1 = E n ω 3.) c n ist eine Normierungskonstante. Aus der positiven Definitheit des Skalarproduktes im Hilbertraum der Energieeigenzustände folgt, dass es einen Zustand minimaler, positiver Energie geben muß. n â â n = ân ân 0 n min mit â n min = 0 6

7 Vakuumzustand 0 := n min â 0 = 0 3.3) Ĥ 0 = ω 0 = E ) Wir können also unter Verwendung von 3.) und 3.3) schreiben E n = ω n + 1 ) 3.5) Bzw. Ĥ = ω ˆN + 1 ) 3.6) mit dem Teilchenzahloperator ˆN := â â ˆN n = n n 3.7) Jetzt können wir die Normierungskonstante c n aus Gleichung 3.) bestimmen n 1 n 1 = c n n ˆN n = c n n! = 1 wähle also c n = 1 n n 1 = â n n 3.8) Wendet man â auf 3.1) an und benutzt wiederum.17) so folgt ganz analog, n + 1 = â n + 1 n 3.9) Iterativ liefert diese Gleichung n = â ) n ) Der Zustand n kann also als Existenz von n Energiequanten der Energie ω aufgefasst werden. Diese Quanten heißen in unserem Fall Photonen. Aus den letzten Gleichungen wird auch der Sinn der Bezeichnungen Erzeuger und Vernichter klar. â macht aus einem Zustand der Energie E n einen solchen mit der Energie E n + ω, erzeugt also ein Photon. â hingegen vernichtet ein Photon. Es ist zu beachten, dass weder â noch â hermitesch sind, also keine physikalischen Observablen darstellen. Kombinationen aus beiden, wie z.b. ˆN, können jedoch sehr wohl Observablen sein. Dieses Konzept kann leicht auf mehrere Moden erweitert werden. Dazu schreiben wir den Hamiltonoperator als Ĥ = Ĥ k mit Ĥ k = ω k â â k k + 1 ) 3.11) k Die Eigenzustände von Ĥ haben dann die Form {n k } n k1 n k... n kl ) Die zugehörigen Operatorem â kl und â erniedrigen bzw. erhöhen nur den jeweils l ten Eintrag. kl Ein allgemeiner Zustandsvektor wäre dann eine Superposition ψ = c {n k } {n k } c n k1 n k...n kl... n k1 n k... n kl ) {n k } n k1 n k n kl 7

8 3. Erwartungswerte von Ê und Ê Eine wichtige Eigenschaft der Fockzustände ist, dass der zugehörige Erwartungswert eines linear polarisierten elektrischen Feldes verschwindet. Betrachten wir eine Mode, so ist der Operator des el. Feldes in der Polarisationsrichtung gegeben durch Ê r, t) = Eâe iωt+i k r + h.c. 3.14) n Ê n = Ee iωt+i k r n n n 1 + Ee iωt i k r n + 1 n n + 1 = ) Im Gegensatz dazu hat Ê einen nichtverschwindenden Erwartungswert n Ê n = E n â e iωt+i k r + â e iωt i k r + ââ + â â n = E n ˆN ˆN n = E n + 1 ) Also n Ê n = E n + 1 ) ) Das bedeutet, dass das Feld Fluktuationen um den Erwartungswert Null unterliegt. Dies gilt insbesondere auch für den Vakuumzustand. Diese Vakuumfluktuationen liefern unter anderem eine Begründung für die spontane Emission von angeregten Atomen und die Lambverschiebung. 4 Kohärente Zustände Wie bereits in Abschnitt 1) erwähnt, stellt der verschobene Grundzustand des harmonischen Oszillators einen kohärenten Zustand dar. In diesem Abschnitt werden wir diesen Zustand als Eigenzustand des Vernichtungsoperators konstruieren und seine Eigenschaften betrachten. 4.1 Konstruktion als Eigenzustand des Vernichtungsoperators Wir suchen also einen Zustand α mit â α = α α α C 4.1) Da wir wissen, wie â auf Fockzustände wirkt, entwickeln wir α nach solchen n=1 α = c n n 4.)! â α = c n â n = c n n n 1 = c n+1 n + 1 n = α c n α = c n+1 n + 1 bzw. cn = α n c n 1 c n n D.h. c 1 = α 1 c 0 c = α 1 c 0... c n = αn c 0 Normierung : αn c 0 = c 0 α n = c 0 e α! = 1 wähle c 0 = e α 8

9 Und schließlich α = e α α n n 3.10) = e α e αâ 0 4.3) Weiterhin gilt e α â 0 = 0, denn der Term nullter Ordnung in der Exponentialfunktion liefert gerade 0 während jede höhere Ordnung mindestens einmal â enthält und somit 0 liefert. Damit kann man schreiben α = ˆDα) 0 4.4) mit dem Verschiebeoperator Die Baker-Hausdorff Formel ˆDα) = e α e αâ e α â 4.5) eâ+ ˆB = eâe ˆBe 1 [Â, ˆB] falls [[Â, ˆB], Â] = [[Â, ˆB], ˆB] = 0 4.6) angewendet auf  = αâ und ˆB = α â liefert zusammen mit.17) ˆDα) = e αâ α â 4.7) Wendet man 4.6) jetzt auf 4.7) an, allerdings diesmal mit  = αâ und ˆB = αâ, so erhält man eine dritte Darstellung ˆDα) = e α e α âe αâ 4.8) ˆDα) hat folgende Eigenschaften ˆD α) = ˆD α) = ˆD 1 α) bzw. ˆD α) ˆDα) = 1 4.9) Was sofort aus der Darstellung 4.7) folgt. Außerdem gelten die Verschiebeeigenschaften Die erste von beiden zeigt man mit Hilfe der Identität angewandt auf  = â und ˆB = â Die zweite zeigt man analog. ˆD 1 α)â ˆDα) = â + α 4.10) ˆD 1 α)â ˆDα) = â + α 4.11) e αâ ˆBe αâ = ˆB α[â, ˆB] + α [Â, [Â, ˆB]] ) ˆD 1 4.5),4.8) α)â ˆDα) = e α âe αâ âe αâ e α â 4.1) = â + α Dies erklärt schon die Bezeichnung Verschiebeoperator. Da der Zustand α durch Anwendung von ˆDα) aus 0 hervorgeht, heißt er verschobener Grundzustand des harmonischen Oszillators. Eine überzeugendere Begründung folgt im Abschnitt über die Zeitentwicklung. Der Zustand α ist nun der gesuchte kohärente Zustand. Dass er minimale Unschärfe aufweist und weitere Eigenschaften werden im folgenden Abschnitt gezeigt. Es soll noch erwähnt werden, dass auch die Strahlung eines zeitabhängigen klassischen Stromes J r, t) durch denselben Zustand beschrieben wird. Dabei ist α abhängig von der konkreten Form von J r, t). Siehe hierzu z.b. [1] 9

10 4. Eigenschaften Zeitentwicklung Zunächst soll eine weitere Darstellung des Verschiebeoperators hergeleitet werden, und zwar ˆDα) = e 1 4 α ) α ) e ipα ˆq e iqα ˆp 4.13) Mit q α = Aus der Definition.13) folgt αâ α â = mω Reα) p 1 α = Imα) 4.14) mω mω [ α α )ˆq i ] mω α + α )ˆp = i p αˆq q α ˆp) 4.7) ˆDα) = e i pα ˆq qα ˆp) 4.6) = e i pα ˆq e i qα ˆp e 1 [ i pα ˆq, i qα ˆp] =... = e 1 4 α ) α ) e ipα Damit erhalten wir Ortsraumdarstellungen ψ α q) q α des kohärenten Zustands α ψ α q) = e α ˆq e iqα ˆp α n Φ n q) 4.15) ψ α q) = e 1 4 α ) α ) e ipα q Φ 0 q q α ) 4.16) Die erste Form folgt dirket aus 4.3). Die zweite folgt aus 4.13) mit dem Translationsoperator im Ortsraum ˆT λ) = e i ˆpλ mit ˆT λ) q = q + λ 4.17) bzw. Also q ˆT λ) = ˆT λ) q ) = ˆT λ) q ) = q λ 4.18) 4.13),4.18) ψ α q) = q α = q ˆDα) 0 = e 1 4 α ) α ) e ipα q q q α 0 = e 1 4 α ) α ) e ipα q Φ 0 q q α ) Nun können wir zeigen, dass ein kohärenter Zustand auch unter Zeitentwicklung ein solcher bleibt. Dabei erhält allerdings sowohl α als auch die gesamte Wellenfunktion eine zeitabhängige Phase. Zum Zeitpunkt t = 0 gelte αt) = α 0. Die zugehörige Wellenfunktion ist dann Dann gilt zu einem späteren Zeitpunkt ψq, t = 0) = ψ α0 q) q α ) ψq, t) = e i ωt ψ αt) q) mit αt) = α 0 e iωt 4.0) Denn e α 0 ψq, t) = Ût, 0)ψq, 0) = e i Ĥt ψ α0 q) 4.15) = e α 0 α0 n e inωt e i 1 ωt Φ n q) = e i ωt e α 0 α n 0 e i Ent Φ n q) 3.5) = α 0 e iωt ) n Φ n q) = e i ωt ψ αt) q) 10

11 Eine weitere interessante Eigenschaft ergibt sich, wenn man ausgehend von 4.16) die Wahrscheinlichkeitsdichte ρq, t) betrachtet. Für αt = 0) = α 0 gilt nämlich Für beliebige komplexe Zahlen z = c + id gilt Dies angewendet auf z = αt) liefert mit 4.16) ρq, t) ψq, t) = Φ 0 q q αt) ) 4.1) e z z = e i4cd = 1 4.) ψq, t) = e i p αt)q Φq q αt) ) = Φq q αt) ) 4.3) Zur weiteren Verdeutlichung nehmen wir vereinfachend an α 0 R. Dann gilt nämlich mω mω mω q αt) = Reαt)) = Reα 0e iωt ) = q α = α 0 cos ωt) Und somit ψq, t) = Φq mω)/ )α 0 cos ωt)) 4.4) Man hat also eine Wahrscheinlichkeitsdichte des Grundzustandes des harmonischen Oszillators, deren Zentrum zwischen mω)/ )α 0 und mω)/ )α 0 hin und her oszilliert. Es gibt keine Verbreiterung oder sonstige Änderung der Form! Würde man Teilchen im Oszillatorpotential betrachten, so hätte das Teilchen zwar immer noch eine gewisse Unschärfe in Ort und Impuls, würde diese jedoch immer exakt beibehalten. Die Situation ist sehr ähnlich zu einer klassischen. a) b) c) ρq, t) ψq, t) zu verschiedenen Zeiten für ω = 1, = 1 und mα 0 = a) t = 0 b) t = π c) t = π Über-)Vollständigkeit und Nicht-)Orthogonalität Zunächst soll gezeigt werden, dass die kohärenten Zustände α ein vollständiges Basissystem darstellen. Dazu beweisen wir zuerst folgende Beziehung für zwei natürliche Zahlen n und n. e α α n α ) n d α = δ nn π 4.5) e α α n α ) n d α = πδ nn 0 0 π e α α n+n +1 d α e in n )θ dθ 0 } {{ } =πδ nn b n e b db =: πδ nn Γn + 1) = δ nn π b:= α = 11

12 Damit folgt dann α α d α 4.3) = n n n! nn e α α n α ) n d α 4.5) = π n n n = π Oder die Vollständigkeitsrelation 1 π α α d α = 1 4.6) Betrachten wir den Überlapp zweier kohärenter Zustände, so erkennt man, dass sie nicht orthogonal sind. α α = exp α ) α + α α 4.7) und Denn α α = exp α α ) 4.8) α α 4.3) = exp α ) α α α n ) n n n = n! nn exp α ) α α α ) n = exp α ) α + α α n Aus 4.8) folgt jedoch, dass die Zustände nahezu orthogonal sind, falls α α 1. Diese Nicht-Othogonalität führt dazu, dass sich jeder kohärente Zustand α nach den anderen α entwickeln lässt. D.h. das Basissystem ist übervollständig. α 4.6) = 1 α α α d α 4.7) = 1 α exp α π π α + αα )d α 4.9) Minimale Unschärfe bezüglich ˆq und ˆp Aus der Definition von â folgt ˆq = mω â + â) ˆq = mω â â â + â ) 4.30) Bzw. ˆp = i m ωâ â) ˆp = m ω â â + 1 â â ) 4.31) Mit Hilfe der Gleichungen 4.9)-4.11) kann man die Unschärfen von ˆq und ˆp sehr leicht berechnen. Die auftretenden Rechnungen sind etwa von der Art α â α = α âα α = α αα α = α So ergibt sich 1 ˆq = ˆp = mω 4.3) mω Und mit [ˆq, ˆp] = i folgt, dass der Zustand α tatsächlich den minimalen von der Heisenbergrelation erlaubten Wert für die Unschärfen besitzt. ˆq ˆp = 4.33) 1

13 Erwartungswerte von ˆN und Ê Der Erwartungswert des Teilchenzahloperators im kohärenten Zustand α ist gerade α α ˆN α = α 4.34) Denn α ˆN α = α a a α = α α α α = α Außerdem gilt für die Wahrscheinlichkeit n Photonen in α zu finden nach 4.3) pn) = n α α n α = e = α ˆN α ne α ˆN α 4.35) was einer Poissonverteilung mit Mittelwert α ˆN α = α entspricht. Poissonverteilung für α = 0.1, 3 und 6 Die Photonenverteilung von Laserlicht entspricht diesem Ergebnis für nicht zu hoch angeregte Photonen. Im Gegensatz zu den Fockzuständen verschwinden hier auch der Erwartungswert des elektrischen Feldes nicht. Benutzen wir wieder den Ausdruck 3.14) für Ê, so folgt α Ê α = E α âe iωt+i k r + h.c.) α = E α e iωt+i k r α + h.c. α = Eαe iωt+i k r + c.c. = ERe{αe iωt+i k r } Schreibt man α in Polarkoordinaten α = α e iθ so erhält man α Ê α = ERe{ α e iωt+i k r+iθ } = E α cos k r ωt + θ) 4.36) Der Erwartungswert entspricht also der klassischen Theorie. Nach einer ähnlichen Rechnung folgt für den Erwartungswert von Ê α Ê α = E [4 α cos k r ωt + θ) + 1] 4.37) D.h. Die Unschärfe von Ê ist Ê = Ê Ê = E 4.38) 13

14 Diese ist im Gegensatz zum Vorfaktor in 4.36) unabhängig von der mittleren Photonenzahl α, weswegen das Ergebnis mit steigendem α mehr und mehr einem klassischen Feld gleicht. Die Unschärfe des elektrischen Feldes kann auch als Unschärfe in den Observablen Phase und Amplitude interpretiert werden siehe weiter unten). a) b) c) d) Hier ist E α cos k r ωt + θ) ± E bei r = 0 gegen die Zeit für verschiedene mittlere Photonenzahlen α aufgetragen.dabei wurde E = 0.1, θ = 0 und ω = 1s 1 gesetzt a) α = 1 b) α = 4 c) α = 16 d) α = 400 Amplituden- und Phasenoperatoren Im Folgenden beschränken wir uns auf eine Mode mit Wellenvektor k. Für ein klassisches elektrische Feld kann man dann schreiben E = 1 E 0e iωt+ k r+iφ + c.c. 4.39) Dabei ist E 0 die reelle Amplitude und φ der Phasenwinkel der Welle. Auch im quantenmechanischen Fall kann man die Lösung Ê r, t) = Eâe iωt+i k r + h.c. 4.40) in einer solchen Form schreiben, in der der Phasenfaktor vom Amplitudenfaktor getrennt ist. Dazu definieren wir den Phasenoperator ˆφ wie folgt â =: ˆN + 1e i ˆφ â i ˆφ =: e ˆN ) bzw. e i ˆφ = ˆN + 1) 1 â e i ˆφ = â ˆN + 1) 1 4.4) 14

15 Dazu muß man sagen, dass diese Vorschrift nicht eindeutig ist. Im entsprechenden Grenzfall sollte allerdings die quantenmechanische Phase der klassischen entsprechen. Wegen.17) gilt ââ = ˆN + 1 und deswegen e i ˆφe i ˆφ = ) Dies gilt im Übrigen nicht wenn man die beiden Terme vertauschen. Aus ihrer Wirkung auf Teilchenzahlzustände folgt, dass e i ˆφ und e i ˆφ nicht hermitesch sind. n 1 e i ˆφ n = n 1 ˆN + 1) 1 â n = n 1 ˆN + 1) 1 n 1 n 1 = n n + 1 n e i ˆφ n 1 = n ˆN + 1) 1 â n 1 n n = 0 n 1 e i ˆφ n Analog für e i ˆφ. Allerdings kann man in der gewohnten Art und Weise hermitesche Operatoren konstruieren Nachrechnen liefert hier cos ˆφ := 1 ) e i ˆφ i ˆφ + e sin ˆφ := 1 i n 1 cos ˆφ n = n cos ˆφ n 1 = 1 e i ˆφ e i ˆφ ) 4.44) n 1 sin ˆφ n = n sin ˆφ n 1 = 1 i Da nach 4.41) eine Messung der Amplitude mit einer Messung von Unschärferelationen von Interesse. ˆN einhergeht, sind die folgenden ˆN cos ˆφ 1 sin ˆφ ˆN sin ˆφ 1 cos ˆφ 4.45) Um dies zu beweisen muß man zeigen, dass gilt [ ˆN, cos ˆφ] = sin ˆφ und [ ˆN, sin ˆφ] = cos ˆφ 4.46) Zunächst gilt [ ˆN, â] = [â â, â] = [â, â]â = â und [ ˆN, â ] = [â â, â ] = â [â, â ] = â Und deswegen [ ˆN, e i ˆφ] = [ ˆN, ˆN + 1) 1 â] = ˆN + 1) 1 [ ˆN, â] = ˆN + 1) 1 â = e i ˆφ Sowie Und schließlich bzw. [ ˆN, e i ˆφ] = [ ˆN, â ˆN + 1) 1 ] = [ ˆN, â ] ˆN + 1) 1 = â ˆN + 1) 1 = e i ˆφ [ ˆN, cos ˆφ] = 1 [ ˆN, e i ˆφ + e i ˆφ] = 1 ei ˆφ + e i ˆφ) = i sin ˆφ [ ˆN, sin ˆφ] = 1 i [ ˆN, e i ˆφ e i ˆφ] = 1 i ei ˆφ e i ˆφ) = i cos ˆφ Was zu 4.46) führt. 15

16 Betrachten wir diese Unschärfen zuerst für Fockzustände 0. Klarerweise ist ˆN = ) Aus 4.4) und 4.44) folgt sofort Weiter n cos ˆφ n = 0 und n sin ˆφ n = 0 n cos 1 ˆφ n ˆφ) = 4 n ei + e i ˆφ) + e i ˆφe i ˆφ i + e ˆφe i ˆφ } {{ } n = 1 4 n 1 ˆN 1â + â 1 + ˆN â ˆN + 1â + 1 n = = n â ˆN + 1â + 1 n = 1 4 n 1 n 1 1 n + 1 n 1 = ˆN + 1 Für n sin ˆφ n erhält man dasselbe Ergebnis. Also haben wir cos ˆφ = sin ˆφ = ) Dies entspricht der Unschärfe von gleichmäßig zwischen 0 und π verteilten Werten. Während Fockzustände also eine exakt definierte Amplitude besitzen, ist ihre Phase völlig unbestimmt! Nun zu den kohärenten Zuständen. Hier ist Denn e α n=1 α ˆN α 4.3) = e α α n n + e α n= Zusammen mit 4.34) bedeutet das α n α ˆN α = α 4 + α 4.49) α n n = e α nn 1) = e α α α n [n + nn 1)] = α n + e α α 4 α n = α 4 + α ˆN = α 4.50) Wie für eine Poissonverteilung zu erwarten war, ist also die Varianz ˆN gleich dem Erwartungswert Mittelwert). Nun zu der Phase. Es soll hier nur cos ˆφ betrachtet werden. Dies zeigt man folgendermaßen α cos ˆφ α 4.3),4.4),4.44) = α cos ˆφ α = α cos θe α 1 e α n,n =0 α n n + 1 α n α n n! n ˆN + 1) 1 â + â ˆN + 1) 1 n = 4.51) 1 e α n,n =0 α n α n n! n + 1 n + n n + 1 ) = 1 α n 1 α n + e α n 1)! n=1 α n+1 α n n + 1)! ) = 16

17 = 1 α + α ) α n e α n + 1 = α cos θe α α n n + 1 Ganz ähnlich folgt auch α cos 1 ˆφ α = 1 4 e α + α cos θ 1 )e α α n n + 1)n + ) 4.5) Diese Summen können zwar leider nicht analytisch berechnet werden, jedoch können sie für große α entwickelt werden. Man erhält ohne Beweis) α cos ˆφ α = cos θ 1 1 ) 8 α + O α 4 ) 4.53) Und Näherungsweise ergibt das Bzw. α cos ˆφ α = cos θ cos θ 1 α + O α 4 ) 4.54) cos ˆφ = 1 cos θ sin θ 4 α = α 4.55) ˆN cos ˆφ = 1 sin θ 4.56) Ebenso findet man für den Erwartungswert von sin ˆφ für große α Wir haben also minimale Unschärfe im Sinne von 4.45) 3. sin ˆφ = sin θ 4.57) 5 Darstellungen von Quantenverteilungen 5.1 Dichteoperator und R-Darstellung Wenn wir wissen, dass sich ein System in einem bestimmten Zustand ψ befindet, so berechnet sich der Erwartungswert einer Observable bekanntermaßen zu Ô = ψ Ô ψ 5.1) Man spricht in diesem fall von einem reinen Zustand. Ein Beispiel ist etwa ein Strahl von Elektronen, deren Spin in positive z Richtung polarisiert ist. In vielen realistischen Situationen hat man es jedoch mit statistischen Gemischen zu tun z.b. Elektronenstrahl mit 60% Spin-Up Elektronen und 40% Spin-Down Elektronen). Ein statistisches Gemisch ist ein Ensemble aus reinen Zuständen ψ i mit relativen Besetzungszahlen w i mit w i = 1 5.) i 3 Bei den Fockzuständen verschwand das Unschärfeprodukt zwar ebenfalls, allerdings lag das an der Beschränktheit von φ. Bei den kohärenten Zuständen ist die Phase nicht völlig unbestimmt! 17

18 Will man nun eine Observable Ô messen, so macht es Sinn das Ensemblemittel [Ô] als gewichtete Summe der entsprechenden Erwartungswerte zu definieren [Ô] := i w i ψ i Ô ψ i 5.3) Grundsätzlich wird das System beschrieben durch den Dichteoperator ˆρ ˆρ := i w i ψ i ψ i 5.4) Dessen Spur gleich Eins ist. T rˆρ) = 1 5.5) Weil gilt im Folgenden soll { b j } ein beliebiges vollständiges Basissystem sein) T rˆρ) = i,j w i b j ψ i ψ i b j = i,j w i ψ i b j b j ψ i = i w i ψ i ψ i = i w i = 1 Das Ensemblemittel ist dann gegeben durch [Ô] = T rˆρô) 5.6) Denn [Ô] = w i ψ i Ô ψ i = i i b k i j,k w i ψ i b j b j Ô b k b k ψ i = j,k w i ψ i ψ i b j b j Ô b k = b k ˆρ b j b j Ô b k = T rˆρô) j,k Sprechen wir über elektromagnetische Strahlung, so kann man den Dichteoperator durch die Teilchenzahlzustände ausdrücken ˆρ = n n ˆρ m m = ρ nm n m 5.7) n,m n,m Die Entwicklung kann aber auch in kohärenten Zuständen geschehen ˆρ = 1 π α α ˆρ β β d α d β 5.8) Die R-Darstellung ist definiert als Rα, β) := α ˆρ β e 1 α + β ) 5.9) So dass aus 5.8) wird ˆρ = 1 π α β Rα, β)e 1 α + β ) d α d β 5.10) Wir haben also mit Rα, β) eine Alternative zur Beschreibung des Systems mit ˆρ. 18

19 5. P-Darstellung Glauber-Darstellung) Wir betrachten einen Operator der durch Potenzen von â und â in Normalordnung gegeben ist, d.h. O N â, â ) = n,m c nm â ) n â m 5.11) Es sei erwähnt, dass die Normalordnung wegen [â, â ] = 1 keine Beschränkung der Allgemeinheit darstellt. Das Ensemblemittel ist dann [O N â, â )] = T rˆρo N â, â )) = n,m c nm T rˆρâ ) n â m ) 5.1) Außerdem definieren wir den Operator ˆD N α, α ) δα â )δα â) = 1 π e βα â ) e β α â) d β 5.13) Bzw. äquivalent ˆD N α, α ) δα â )δα â) = 1 π e iβα â ) e iβ α â) d β 5.14) Und weiter P α, α ) = T rˆρ ˆD N α, α )) 5.15) Man sieht ein, dass sich ˆD N α, α ) ähnlich einer gewöhnlichen zweidimensionalen Deltafunktion verhält, also z.b. ˆD N α, α )α ) n α m d α = â ) n â m 5.16) Mit diesen Definitionen kann man schreiben [O N â, â )] = c nm T rˆρâ ) n â m ) = n,m P α, α )O N α, α )d α 5.17) Das bedeutet, dass man mit Hilfe P α, α ) das Ensemblemittel einer beliebigen normalgeordneten Observablen berechnen kann. In P α, α ) ist genau wie in ˆρ die gesamte Information des Systems enthalten. Wegen 5.5) ist P α, α ) auf Eins normiert P α, α )d α = T r ˆρ ) ˆD N α, α )d α = T rˆρ) = ) Die Funktion P α, α ) nennt man P-Darstellung, Glauber-Darstellung oder Coherent-State-Darstellung. Letzteres aufgrund der Möglichkeit den Dichteoperator wie folgt darzustellen ohne Beweis). ˆρ = P α, α ) α α d α 5.19) Mit dieser Schreibweise kann man ein Verfahren angeben, wie man P α, α ) aus ˆρ erhält. Es ist nämlich P α, α ) = e α π β ˆρ β e β e βα +β α d β 5.0) 19

20 Im Beweis wird die Schreibweise z = x z + iy z für komplexe Zahlen benutzt. Aus 5.19) folgt β ˆρ β = P α, α ) β α α β d α 4.7) = e β [P α, α )e α ]e βα β α d α β ρ β e β e βα +β α d β = [P α, α )e α ]e β α α ) β α α) d β d α = [P α, α )e α ] e iy βx α x α) e ix βy α y α) dx β dy β } {{ } =π δx α x α)δy α y α) Was der Behauptung entspricht. d α = π P α, α )e α Es ist festzuhalten, dass diese Art der Darstellung die Quantenmechanik gewissermaßen in ein klassisches Format bringt. Das System wird beschrieben durch eine analytische Funktion einer komplexen Variablen α. Beispiele zur P-Darstellung Darstellung des kohärenten Zustands α 0 Hier ist ˆρ = α 0 α 0 5.1) Daraus folgt mit 5.0) und 4.7) P α, α ) = 1 α 0 π e e α βα α 0 )+β α α 0) d vgl. oben β = e α α 0 δ ) α α 0 ) = δ ) α α 0 ) 5.) Die P-Darstellung eines kohärenten Zustands ist also eine zweidimensionale Deltafunktion. Strahlungsfeld im thermischen Gleichgewicht Wir betrachten wieder nur eine einzelne Mode, so dass der Hamiltonoperator gegeben ist durch Ĥ = ω ˆN + 1 ) 5.3) Man kann zeigen Quantenstatistik), dass dann für den Dichteoperator gilt ˆρ = ] [1 e ω e n ω n n 5.4) n Daraus folgt Denn [ [ ˆN] = [e ω 1] 1 5.5) 5.1) ˆN] = T r ˆN ˆρ) = [ ] 1 e ω e n ω n n n n n = n,n 0

21 = n ] [1 e ω e n ω e ω ] n = ] = [e [1 ω 1 1 e ω Hier wurde benutzt nx n x = 1 x) 5.6) n Damit lässt sich ˆρ umschreiben ˆρ = [ ˆN] n n n 5.7) n 1 + [ ˆN]) n+1 ˆρ = ] [1 e ω e n ω n n = [ ˆN] [ ] n 1 e ω n+1 n n = [ ˆN] n 1 + ˆN) n 1 n n n n n Und somit ist Was aus 5.0) folgt. Um dies zu zeigen berechnen wir β ˆρ β P α, α ) = 1 α e [ π[ ˆN] ˆN] 5.8) β ˆρ β = [ ˆN] n 4.3) β n n β = n 1 + [ ˆN]) n+1 e β β ) n [ ˆN] ) n [ ] β 1 + [ ˆN] n 1 + [ ˆN] = e β exp 1 + [ ˆN] [ ˆN] Wenn man dieses Ergebnis in 5.0) einsetzt und das auftretende Integral löst, folgt 5.8). Die P-Darstellung der thermischen Gleichgewichtsverteilung ist also gaußförmig. 5.3 Q-Darstellung Hosimi-Darstellung) Wir haben gesehen, dass sich die P-Darstellung dazu eignet Ensemblemittel normalgeordneter Funktionen von â und â zu berechnen. Will man dasselbe mit einer antinormalgeordneten Observablen O A â, â ) = n,m d nm â n â ) m 5.9) machen, so bedient man sich der Q-Darstellung. Die zugehörige Funktion wird definiert als Qα, α ) = T rˆρ ˆD A α, α )) 5.30) mit Dann haben wir ˆD A α, α ) = δα â)δα â ) 5.31) Qα, α ) = 1 α ˆρ α 5.3) π Dies folgt mit Hilfe von 4.6) Qα, α ) = T rˆρ ˆD A α, α )) = 1 ˆρ π T r ) δα â) α α δα â )d α = 1

22 1 π T r ˆρ ) δα α) α α δα α )d α = 1 π T rˆρ α α ) = 1 π n ˆρ α α n = 1 π α ˆρ α n Auch diesmal ist genau wie bei P α, α ) Qα, α )d α = ) und [O A â, â )] = Qα, α )O A α, α )d α 5.34) Denn [O A â, â )] = T ro A α, α )ˆρ) = n,m 1 d nm π n,m d nm T râ n â ) m ˆρ) 4.6) = 1 d nm T r π n,m α n α ) m α ˆρ α d α = Qα, α )Oα, α )d α Damit haben wir eine Funktion mit der gewünschten Eigenschaft. ) â n α α â ) m ˆρd siehebew.von5.3) α = Durch folgende Beziehung sind Q- und P-Darstellung verknüpft Qα, α ) 5.19),5.3) 1 = P α, α ) α α α α d α 4.8) = 1 π π P α, α )e α α d α 5.35) Beispiele zur Q-Darstellung Darstellung des Fockzustands n Hier ist Und deswegen ˆρ = n n 5.36) Qα, α ) 5.3) = 1 4.3) α n α n = e α π π 5.37) Darstellung des kohärenten Zustands α 0 Hier haben wir Und damit ˆρ = α 0 α ) Qα, α ) 5.3) = 1 π α α 0 4.8) = 1 π exp α α ) 5.39) Kohärente Zustände haben eine gaußförmige Q-Darstellung.