Molekularfeldtheorie (MFT)

Transkript

1

2 Motivation Anwendungen der MFT MFT-Herleitung mittels Variationsansatz und Anwendung Grenzen der Anwendung der MFT

3 Motivation Meisten Probleme nur unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen formulierbar

4 Motivation Meisten Probleme nur unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen formulierbar Diese Probleme sind i.a. nicht mehr exakt lösbar

5 Motivation Meisten Probleme nur unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen formulierbar Diese Probleme sind i.a. nicht mehr exakt lösbar MFT als einfachste Näherung in Systemen mit Wechselwirkung

6 Anwendungen der MFT MFT des Ising-Modell.

7 Anwendungen der MFT MFT des Ising-Modell. Van der Waals Gas als Konsequenz einer MFT

8 Anwendungen der MFT MFT des Ising-Modell. Van der Waals Gas als Konsequenz einer MFT MFT der Perkolation

9 MFT des Ising-Modell (heuristische Herleitung) Ausgangsgleichung bildet der bekannte Hamilton-Operator H = i,j J i,j s i s j B i s i

10 MFT des Ising-Modell (heuristische Herleitung) Ausgangsgleichung bildet der bekannte Hamilton-Operator H = i,j J i,j s i s j B i s i Im Ising-Modell macht man nun die Annahme, dass in der Doppelsumme nur die nächsten Nachbarn berücksichtigt werden sollen, d.h. es gilt { J nächste Nachbarn J ij = 0 sonst

11 MFT als Folge des Problems der Lösbarkeit Das entsprechende statistische Problem lautet dann: Z = Sp(exp βh ) = Sp(exp( β( <i,j> Js i s j B i s i )))

12 MFT als Folge des Problems der Lösbarkeit Das entsprechende statistische Problem lautet dann: Z = Sp(exp βh ) = Sp(exp( β( <i,j> Js i s j B i s i ))) Das betrachtete statistische Problem ist nur im ein- und zweidimensionalen Fall exakt lösbar

13 MFT als Folge des Problems der Lösbarkeit Das entsprechende statistische Problem lautet dann: Z = Sp(exp βh ) = Sp(exp( β( <i,j> Js i s j B i s i ))) Das betrachtete statistische Problem ist nur im ein- und zweidimensionalen Fall exakt lösbar Der erste Schritt zur Berücksichtigung der Wechselwirkung erhalten wir durch die MFT

14 Idee der MFT des Ising-Modells Die Näherung besteht nun darin: Den durch die wechselwirkenden Spins s i s j erzeugten fluktuierenden Anteil im Hamiltonian zu vernachlässigen

15 Idee der MFT des Ising-Modells Die Näherung besteht nun darin: Den durch die wechselwirkenden Spins s i s j erzeugten fluktuierenden Anteil im Hamiltonian zu vernachlässigen Betrachte dazu die Beziehung s i s j = (s i s i )(s j < s j >) + s i < s j > +s j < s i > < s i >< s j >

16 Idee der MFT des Ising-Modells Unter Vernachlässigung von(s i < s i >)(s j < s j >) erhält man den Molekularfeld-Hamiltonian dirket aus dem Ising-Hamiltonian:

17 Idee der MFT des Ising-Modells Unter Vernachlässigung von(s i < s i >)(s j < s j >) erhält man den Molekularfeld-Hamiltonian dirket aus dem Ising-Hamiltonian: H = J <i,j> (s i < s j > +s j < s i >) B i s i + E 0

18 Idee der MFT des Ising-Modells Unter Vernachlässigung von(s i < s i >)(s j < s j >) erhält man den Molekularfeld-Hamiltonian dirket aus dem Ising-Hamiltonian: H = J <i,j> (s i < s j > +s j < s i >) B i s i + E 0 wobei: E 0 = <i,j> J < s i >< s j >

19 Idee der MFT des Ising-Modells Unter Vernachlässigung von(s i < s i >)(s j < s j >) erhält man den Molekularfeld-Hamiltonian dirket aus dem Ising-Hamiltonian: H = J <i,j> (s i < s j > +s j < s i >) B i s i + E 0 wobei: E 0 = <i,j> J < s i >< s j > Im folgenden können wir E 0 vernachlässigen

20 Idee der MFT des Ising-Modells Die vorherige Gleichung lässt sich dann wie folgt vereinfachen: H = i (zj < s j > +B)s i wobei z die sogenannte Koordinationszahl sein soll

21 Idee der MFT des Ising-Modells Die vorherige Gleichung lässt sich dann wie folgt vereinfachen: H = i (zj < s j > +B)s i wobei z die sogenannte Koordinationszahl sein soll Weiter können wir die Gleichung vereinfachen, wenn wir berücksichtigen gilt: < s(j) >=< s > für alle j = 1, 2,..., N, so dass zusammenfassend gilt:

22 Idee der MFT des Ising-Modells Die vorherige Gleichung lässt sich dann wie folgt vereinfachen: H = i (zj < s j > +B)s i wobei z die sogenannte Koordinationszahl sein soll Weiter können wir die Gleichung vereinfachen, wenn wir berücksichtigen gilt: < s(j) >=< s > für alle j = 1, 2,..., N, so dass zusammenfassend gilt: H = i (zj < s > +B)s i

23 Idee der MFT des Ising-Modells Obige Gleichung beschreibt den Hamiltionian eines Systems von N voneinander unabhängigen Spins, und jeder dieser Spins wechselwirkt mit dem effektiven Feld zj < s > +B

24 Thermodynamik des Ising-Modells in der MFT Jetzt kann man Z als Produkt von N 1-Spin Zustandssummen z 0 beschreiben, denn es gilt: Z = Sp(exp βh ) = N ( exp(+β((zj + B)s i ))) = z0 N i=1

25 Thermodynamik des Ising-Modells in der MFT Jetzt kann man Z als Produkt von N 1-Spin Zustandssummen z 0 beschreiben, denn es gilt: Z = Sp(exp βh ) = N ( exp(+β((zj + B)s i ))) = z0 N i=1 wobei: z 0 = Sp(exp(+β(zJ < s > +B)s))) = 2 cosh(+β(zj < s > +B)s)

26 Thermodynamik des Ising-Modells in der MFT Jetzt können wir den Erwartungswert < s > bestimmen: < s > = Sp(s exp( β(zj < s > +B)s)) z 0 = tanh( β(zj < s > +B))

27 Thermodynamik des Ising-Modells in der MFT Jetzt können wir den Erwartungswert < s > bestimmen: < s > = Sp(s exp( β(zj < s > +B)s)) z 0 = tanh( β(zj < s > +B)) Die Gleichung beschreibt also eine implizite Relation für < s > und wegen m =< s > folgt somit: m = tanh( β(zjm + B))

28 Zusammenfassung Durch Vernachlässigung der Fluktuationen im Hamilton-Operator und Ausnutzung der Homogenität des Raumes erhalten wir aus dem komplizierten Ising-Hamiltonian ein behandelbares System N unabhängiger Teilchen

29 Zusammenfassung Durch Vernachlässigung der Fluktuationen im Hamilton-Operator und Ausnutzung der Homogenität des Raumes erhalten wir aus dem komplizierten Ising-Hamiltonian ein behandelbares System N unabhängiger Teilchen Wir haben eine implizite Beziehung für die Magnetisierung m erhalten

30 Van der Waals-Gas als Beispiel einer MFT Auch das Van der Waals-Modell für reale Gase lässt sich im Rahmen einer MFT herleiten:

31 Van der Waals-Gas als Beispiel einer MFT Auch das Van der Waals-Modell für reale Gase lässt sich im Rahmen einer MFT herleiten: Zur Vereinfachung des Systems nimmt man an, dass die gesamte potentielle Energie des Systems der Summe über alle möglichen Paarwechselwirkungen W ( r i r j ) entspricht.

32 Van der Waals-Gas als Beispiel einer MFT Auch das Van der Waals-Modell für reale Gase lässt sich im Rahmen einer MFT herleiten: Zur Vereinfachung des Systems nimmt man an, dass die gesamte potentielle Energie des Systems der Summe über alle möglichen Paarwechselwirkungen W ( r i r j ) entspricht. Die Hamilton-Funktion lautet dann: H = i p 2 i 2m + 1/2 i,j W ( r i r j )

33 Problem der Berechenbarkeit Mit den gemachten Annahmen lautet die entsprechende Zustandsumme dann: Z = 1 N!h 3N dω exp( β pi 2 2m + 1/2 W ( r i r j )) i i,j

34 Problem der Berechenbarkeit Mit den gemachten Annahmen lautet die entsprechende Zustandsumme dann: Z = 1 N!h 3N dω exp( β pi 2 2m + 1/2 W ( r i r j )) i i,j Mit dω entspricht d 3 p 1... d 3 p N d 3 r 1... d 3 r N

35 Problem der Berechenbarkeit Mit den gemachten Annahmen lautet die entsprechende Zustandsumme dann: Z = 1 N!h 3N dω exp( β pi 2 2m + 1/2 W ( r i r j )) i i,j Mit dω entspricht d 3 p 1... d 3 p N d 3 r 1... d 3 r N Problem: Die Berechnung dieser Zustandssumme Z ist in der Regel wegen der Form von W ( r i r j )nicht exakt lösbar.

36 Problem der Berechenbarkeit Mit den gemachten Annahmen lautet die entsprechende Zustandsumme dann: Z = 1 N!h 3N dω exp( β pi 2 2m + 1/2 W ( r i r j )) i i,j Mit dω entspricht d 3 p 1... d 3 p N d 3 r 1... d 3 r N Problem: Die Berechnung dieser Zustandssumme Z ist in der Regel wegen der Form von W ( r i r j )nicht exakt lösbar. Die MFT stellt nun wieder einen ersten Schritt dar sich dieser Wechselwirkung zu nähern

37 Problem der Berechenbarkeit Zur Lösung mittels der MFT werden die Wechselwirkungen zwischen den Molekülen jetzt durch eine Potentialfunktion Φ( r) beschrieben wird

38 Problem der Berechenbarkeit Zur Lösung mittels der MFT werden die Wechselwirkungen zwischen den Molekülen jetzt durch eine Potentialfunktion Φ( r) beschrieben wird Das ursprüngliche Viel-Teilchen Problem reduziert sich auf ein Ein-Teilchen Problem ( nämlich dem Problem der Einteilchenbewegung in einem Potentialfeld (Φ( r) )

39 Problem der Berechenbarkeit Zur Lösung mittels der MFT werden die Wechselwirkungen zwischen den Molekülen jetzt durch eine Potentialfunktion Φ( r) beschrieben wird Das ursprüngliche Viel-Teilchen Problem reduziert sich auf ein Ein-Teilchen Problem ( nämlich dem Problem der Einteilchenbewegung in einem Potentialfeld (Φ( r) ) Für die Zustandssumme erhält man dann: Z = zn 0 N! ; z 0 = 1 h 3 d 3 p d 3 r exp( β( p2 2m + φ( r)))

40 Problem der Berechenbarkeit Weiter ergibt sich daraus: z 0 = 1 h 3 (2πmT )3/2 d 3 r exp( β(φ( r)))

41 Problem der Berechenbarkeit Weiter ergibt sich daraus: z 0 = 1 h 3 (2πmT )3/2 d 3 r exp( β(φ( r))) Um diese Gleichung komplett auszurechnen müssen wir jetzt noch die Form von Φ( r) festlegen: { falls r V0 < V φ( r) = sonst an V

42 Problem der Berechenbarkeit Damit folgt dann: z 0 = 1 h 3 (2πmT )3/2 (V Nb) exp( an TV )

43 Problem der Berechenbarkeit Damit folgt dann: z 0 = 1 h 3 (2πmT )3/2 (V Nb) exp( an TV ) Und damit für die freie Energie und den Druck : F = k B T ln(z); p = F V (p + an2 V 2 )(V Nb) = Nk BT

44 Problem der Berechenbarkeit Damit folgt dann: z 0 = 1 h 3 (2πmT )3/2 (V Nb) exp( an TV ) Und damit für die freie Energie und den Druck : F = k B T ln(z); p = F V Also das van der Waals-Modell. (p + an2 V 2 )(V Nb) = Nk BT

45 Zusammenfassung Das van der Waals-Modell ist unter bestimmten Annahmen im Rahmen der MFT herleitbar

46 Zusammenfassung Das van der Waals-Modell ist unter bestimmten Annahmen im Rahmen der MFT herleitbar Zur Herleitung haben wir dabei ausgenutzt: Berücksichtigung der Paarwechselwirkung durch ein unendliches Potential Form des Potentials orientiert sich am Lennard-Jones Potential

47 Erinnerung: Perkolation (Idee) Das System besteht aus einem Punktegitter, wobei die Punkte miteinander verbunden werden können

48 Erinnerung: Perkolation (Idee) Das System besteht aus einem Punktegitter, wobei die Punkte miteinander verbunden werden können Die Besetzungswahrscheinlichkeit p gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass zwei beliebig herausgegriffene und benachbarte Gitterpunkte durch eine Brücke miteinander verbunden sind

49 Erinnerung: Perkolation (Idee) Das System besteht aus einem Punktegitter, wobei die Punkte miteinander verbunden werden können Die Besetzungswahrscheinlichkeit p gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass zwei beliebig herausgegriffene und benachbarte Gitterpunkte durch eine Brücke miteinander verbunden sind Aufgabe der Perkolationstheorie ist jetzt die Perkolationsschwelle p c vorherzusagen

50 Erinnerung: Perkolation (Idee) Bezeichnen wir jetzt noch mit P i die Wahrscheinlichkeit, dass die i-te Brücke zu einem unendlichen Cluster gehört, so ergibt sich für dieses Gittersystem folgende Gleichung:

51 Erinnerung: Perkolation (Idee) Bezeichnen wir jetzt noch mit P i die Wahrscheinlichkeit, dass die i-te Brücke zu einem unendlichen Cluster gehört, so ergibt sich für dieses Gittersystem folgende Gleichung: 1 P i = j (1 pp j ) wobei j nächster Brückennachbar

52 MFT der Perkolation In der MFT machen wir jetzt die Annahme, dass alle P i voneinander unabhängig sind und dass alle P i nehmen denselben Wert an, d.h. es gilt : P i = P.

53 MFT der Perkolation In der MFT machen wir jetzt die Annahme, dass alle P i voneinander unabhängig sind und dass alle P i nehmen denselben Wert an, d.h. es gilt : P i = P. Damit erhält man die Gleichung 1 P = (1 pp) z wobei z die Koordiantionszahl

54 MFT der Perkolation Für diese Gleichung gibt es stets eine nichttriviale Lösung für p > p c = 1 z dies kann man auch graphisch veranschaulichen: 1 1-x (1- x/4)**6 (1-x/10)** y P

55 MFT der Perkolation Auch im eindimensionalen Fall erhält man eine nichttriviale Lösung für p c obwohl nur p c = 1 gelten kann

56 MFT der Perkolation Auch im eindimensionalen Fall erhält man eine nichttriviale Lösung für p c obwohl nur p c = 1 gelten kann Ferner erhalten wir aus der Gleichung 1 P = (1 pp) z auch, dass die genaue Gittergeometrie nicht berücksichtigt wird

57 Zusammenfassung Zur Herleitung der impliziten Beziehung für P die in der MFT gilt haben wir hier als Näherung die Unabhängigkeit und Gleichheit der verschiedenen P i benutzt

58 Zusammenfassung Zur Herleitung der impliziten Beziehung für P die in der MFT gilt haben wir hier als Näherung die Unabhängigkeit und Gleichheit der verschiedenen P i benutzt Man sieht an den bisherigen Anwendungen der MFT in den Beispielen, dass die MFT kein bestimmtes Rezept für die Vorgehensweise liefert. Die MFT ist bloß ein Konzept: Die Berücksichtigung der Wechselwirkung in einfachster Näherung

59 Zusammenfassung Zur Herleitung der impliziten Beziehung für P die in der MFT gilt haben wir hier als Näherung die Unabhängigkeit und Gleichheit der verschiedenen P i benutzt Man sieht an den bisherigen Anwendungen der MFT in den Beispielen, dass die MFT kein bestimmtes Rezept für die Vorgehensweise liefert. Die MFT ist bloß ein Konzept: Die Berücksichtigung der Wechselwirkung in einfachster Näherung Dennoch kann man die Idee der MFT mathematisch herleiten!

60 Idee der Herleitung der MFT mittels Variationalansatz 1.: Ausgangspunkt ist die Zustandssumme für das zu untersuchende statistische Problem:

61 Idee der Herleitung der MFT mittels Variationalansatz 1.: Ausgangspunkt ist die Zustandssumme für das zu untersuchende statistische Problem: Z = s exp βh(s) Wobei s die Menge der Konfigurationen des Systems beschreibt

62 Idee der Herleitung der MFT mittels Variationalansatz 1.: Ausgangspunkt ist die Zustandssumme für das zu untersuchende statistische Problem: Z = s exp βh(s) Wobei s die Menge der Konfigurationen des Systems beschreibt 2.: Man zerlegt nun den Ausgangs-Hamiltonian H[s] in zwei Anteile: H 0 und H 1 = H H 0 wobei H 0 von einem Variationsparameter λ abhängt und die Zustandssumme von H 0 kann exakt berechnet werden.

63 Idee der Herleitung der MFT mittels Variationalansatz 3.: Es gilt die sogenannte Bogoliubov-Ungleichung für die freie Energie die besagt: F F 0 + < H 1 > 0

64 Idee der Herleitung der MFT mittels Variationalansatz 3.: Es gilt die sogenannte Bogoliubov-Ungleichung für die freie Energie die besagt: F F 0 + < H 1 > 0 < H 1 > 0 erhält man dabei wie folgt

65 Idee der Herleitung der MFT mittels Variationalansatz 3.: Es gilt die sogenannte Bogoliubov-Ungleichung für die freie Energie die besagt: F F 0 + < H 1 > 0 < H 1 > 0 erhält man dabei wie folgt < H 1 > 0 = s P 0 (s) exp[ β(h 1 )] wobeip 0 (s) = exp[ β(h 0(s))] Z 0

66 Idee der Herleitung der MFT mittels Variationalansatz 4.: Jetzt kann man < H 1 > 0 berechnen

67 Idee der Herleitung der MFT mittels Variationalansatz 4.: Jetzt kann man < H 1 > 0 berechnen 5.: Da der gesamte Ausdruck H 0,< H 1 > 0 und damit auch F 0 vom Variationsparameter λ abhängen, kann man dann für diesen das Minimum von F 0 + < H 1 > 0 durch ableiten erhalten. Dieses F (λ min ) wird dann als unser gesuchtes F angenommen.

68 Veranschaulichung am Ising-Modell Erstens entspricht dabei der normalen kanonischen Zustandssumme des Ising-Modells: H = <i,j> Js i s j B i s i

69 Veranschaulichung am Ising-Modell Erstens entspricht dabei der normalen kanonischen Zustandssumme des Ising-Modells: H = <i,j> Js i s j B i s i zu 2.: Wir wählen als H 0 = λ N i=1 s i, wobei λ der Variationsparameter ist. Die Zustandssumme H 0 lautet dann:

70 Veranschaulichung am Ising-Modell Erstens entspricht dabei der normalen kanonischen Zustandssumme des Ising-Modells: H = <i,j> Js i s j B i s i zu 2.: Wir wählen als H 0 = λ N i=1 s i, wobei λ der Variationsparameter ist. Die Zustandssumme H 0 lautet dann: Z 0 (λ) = (2 cosh(βλ)) N

71 Veranschaulichung am Ising-Modell Wie beim Ising-Modell leitet man weiter her: < s > 0 = tanh(βλ)

72 Veranschaulichung am Ising-Modell Wie beim Ising-Modell leitet man weiter her: < s > 0 = tanh(βλ) zu 4.: Der verbleibende Teil des Hamiltonians H = H 0 + H 1 ist gegeben durch: H 1 = <i,j> Js i s j (λ B) i s i

73 Veranschaulichung am Ising-Modell Wie beim Ising-Modell leitet man weiter her: < s > 0 = tanh(βλ) zu 4.: Der verbleibende Teil des Hamiltonians H = H 0 + H 1 ist gegeben durch: H 1 = <i,j> Js i s j (λ B) i s i Bei der Berechnung von < H 1 > 0 kann man jetzt verwenden, dass gilt < s i s j >=< s i >< s j >

74 Veranschaulichung am Ising-Modell Der Beitrag des ersten Faktors von < H 1 > 0 lautet damit: 1/2NzJ < s > 2 0= 1/2NzJ tanh 2 (βλ)

75 Veranschaulichung am Ising-Modell Der Beitrag des ersten Faktors von < H 1 > 0 lautet damit: 1/2NzJ < s > 2 0= 1/2NzJ tanh 2 (βλ) Zu 3.: Insgesamt erhalten wir damit für die obere Schranke von F: F VAR = N( 1 β ln(2 cosh(βλ)) 1/2zJ tanh2 (βλ)+(λ B) tanh(βλ))

76 Veranschaulichung am Ising-Modell zu 5.: Das Minimum erhalten wir nun durch Ableiten nach λ : λ min B = zj tanh(βλ min )

77 Veranschaulichung am Ising-Modell zu 5.: Das Minimum erhalten wir nun durch Ableiten nach λ : und damit die freie Energie: λ min B = zj tanh(βλ min ) F VAR = N β ln(2 cosh(βλ min)) + N(λ min B) 2zJ

78 Veranschaulichung am Ising-Modell Aus F VAR ergibt sich dann die Magnetisierung des Systems wie folgt: m = F λ = λ min B zj

79 Veranschaulichung am Ising-Modell Aus F VAR ergibt sich dann die Magnetisierung des Systems wie folgt: Insgesamt folgt dann m = F λ = λ min B zj m = tanh(β(zjm + B)

80 Veranschaulichung am Ising-Modell Aus F VAR ergibt sich dann die Magnetisierung des Systems wie folgt: Insgesamt folgt dann m = F λ = λ min B zj m = tanh(β(zjm + B) was der bekannten impliziten Gleichung für das Ising-Modell in der MF-Näherung entspricht

81 Zusammenfassung Wie erwähnt liefert die Herleitung der MFT mittels des Variationalansatzes eine geschlossene Begründung der MFT

82 Zusammenfassung Wie erwähnt liefert die Herleitung der MFT mittels des Variationalansatzes eine geschlossene Begründung der MFT Der wichtigste Schritt war dabei die Forderung dass die Zustandssumme von H 0 exakt berechenbar ist denn nur so können wir die Bogoliubov-Ungleichung auch ausnutzen

83 Grenzen der Anwendung der MFT Aus der Diskussion des 1.dim Ising-Modell kennen wir die Magnetisierung: m =< s >= sinh(β(b)) cosh(βb)2 2 exp( 2βJ) sinh(2βj)

84 Grenzen der Anwendung der MFT Aus der Diskussion des 1.dim Ising-Modell kennen wir die Magnetisierung: m =< s >= sinh(β(b)) cosh(βb)2 2 exp( 2βJ) sinh(2βj) Es gibt keine kritische Temparatur unterhalb derer eine spontane Magnetisierung entstehen könnte somit gibt es auch keinen Phasenübergang.

85 Grenzen der Anwendung der MFT Diese Tatsache widerspricht aber unserer Feststellung für die MFT des 1. dim Ising Modells, wie man anhand der Lösung der Impliziten Gleichung der MFT des Ising-Modells feststellen kann 1 x tanh(1.2*x) tanh(0.8*x) y m

86 Grenzen der Anwendung der MFT Der kritische Wert den β dabei übersteigen muss ist β c, wobei gilt: β c zj = 1

87 Grenzen der Anwendung der MFT β c exsistiert für jede Dimension, weshalb auch stets eine nichttriviale Lösung der impliziten Gleichung der MFT des Ising-Modells und damit ein Phasenübergang möglich ist.

88 Grenzen der Anwendung der MFT Ferner liefert die MFT für d = 2 bzw. d = 3 für eine quadratische bzw. kubische Anordnung: β cmft = 1 4J bzw.β cmft = 1 6J fürd = 2 bzwd = 3

89 Grenzen der Anwendung der MFT Ferner liefert die MFT für d = 2 bzw. d = 3 für eine quadratische bzw. kubische Anordnung: β cmft = 1 4J bzw.β cmft = 1 6J Die numerischen Werte lauten hingegen: fürd = 2 bzwd = 3 β c = J bzw.β c = J fürd = 2 bzwd = 3

90 Grenzen der Anwendung der MFT Wie man sieht gilt in den bisher behandelten Fällen stets: β cmft < β c und somit auch T cmft > T c

91 Grenzen der Anwendung der MFT Wie man sieht gilt in den bisher behandelten Fällen stets: β cmft < β c und somit auch T cmft > T c Dies kann man darauf zurückführen, dass in der MFT die Fluktuationen vernachlässigt sind

92 Grenzen der Anwendung der MFT Wie man sieht gilt in den bisher behandelten Fällen stets: β cmft < β c und somit auch T cmft > T c Dies kann man darauf zurückführen, dass in der MFT die Fluktuationen vernachlässigt sind Weiter wird in der MFT die tatsächliche freie Energie des statistischen Problems stets überschätzt.

93 Grenzen der Anwendung der MFT Ein weiteres Problem der MFT besteht darin das i.a. die Dimension des statistischen Problems nur ungenügend Rechnung getragen wird.

94 Grenzen der Anwendung der MFT Ein weiteres Problem der MFT besteht darin das i.a. die Dimension des statistischen Problems nur ungenügend Rechnung getragen wird. Im allgemeinen ist zu erwarten, dass die Abschätzung durch die MFT für einen festen Gittertyp umso bessere Resultate liefert, je höher die Raumdimensionen des betrachteten Problems seien werden. Da die Fluktuationen mit höherer Gitterdimension abnehmen werden

95 Grenzen der Anwendung der MFT Ein weiteres Problem der MFT besteht darin das i.a. die Dimension des statistischen Problems nur ungenügend Rechnung getragen wird. Im allgemeinen ist zu erwarten, dass die Abschätzung durch die MFT für einen festen Gittertyp umso bessere Resultate liefert, je höher die Raumdimensionen des betrachteten Problems seien werden. Da die Fluktuationen mit höherer Gitterdimension abnehmen werden Aus dem Konzept der MFT folgt auch, dass die MFT besonders für langreichweitige Wechselwirkungen die brauchbarsten Näherungen liefern, denn hier wird der Einfluss der Fluktuationen des tatsächlich wirkenden Potentials nur sehr gering sein, so dass die MFT, die diese Fluktuationen nicht berücksichtigt, hier nur geringe Fehler macht

96 Literaturangaben Binney, J. J.: The theory of critical phenomena - an introduction to the renormalization group, Clarendon Press, Reprint. with corr. (1993) Nolting, Wolfgang.: Theoretische Physik Band 6 - Statistische Physik Vieweg-Lehrbuch, 3.verb. Aufl. (1998)