Theorie B: Klassische Mechanik

Transkript

1 Theorie B: Klassische Mechanik Kirill Melnikov TTP KIT

2 Einführung Alle Informationen zu dieser Veranstaltung finden Sie auf Vorlesungen: Freitags, Saalübungen; Montags, Lehmann Hörsaal, Übugen : Dienstags Übungsblatterabgabe: Freitags, 9.30 (Rückgabe am Dienstags während der Übungen) Wichtig! Bitte registrieren Sie sich bis Sonntag auf obiger Webseite für die Übungsgruppen! Nächste Woche finden alle Übungen statt. Wir werden über das Übungsblatt 0 (mathematische Grundlagen) reden. Bitte bis Dienstag herunterladen und anschauen. Nächste Freitag sollen Sie dann das Ubungsblat abgeben. Weil Dienstag ein Feiertag ist, fallen die Übungen aus. Deswegen, werden wir die Lösungen des Übungsblatts 1 am Montag, , während der Saalübung besprechen.

3 Einführung Die Themen 1) Prinzip der kleinsten Wirkung ) Erhaltungssätze 3) Eindimensionale Bewegung 4) Dreidimensionale Bewegung 5) Streuung 6) Kleine Schwingungen 7) Die Hamiltonschen Gleichungen 8) Bewegung des starren Körpers

4 Einführung Literaturhinweise: - L.D. Landau and E.M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik I, Mechanik - H. Goldstein, Klassische Mechanik, Wiley-VCH -W. Greiner Klassische Mechanik I und II, Verlag Harri Deutsch - T. Fliessbach, Mechanik, Spektrum Akademischer Verlag Es gibt kein Skript aber die Slides können Sie von Kurswebseite herunterladen.

5 1. Prinzip der kleinsten Wirkung

6 Mechanik: Untersuchung der Bewegung des Körpers in externen Feldern Wichtige Begriffe: Massenpunkt = Teilchen (ein Körper, dessen Ausmasse für bestimmte Zwecke vernachlässigt werden können) Zweites newtonisches Gesetz m d ~r = ~ F (~r) Die Masse des Teilchens, der Ortvektor, die Beschleunigung, die Kraft.

7 Zweites newtonisches Gesetz m d ~r = ~ F (~r) Die Masse des Teilchens, der Ortvektor, die Beschleunigung, die Kraft. Um die Differenzialgleichung lösen zu können, brauchen wir die Randbedinungen. Weil das zweite newtonische Gesetz einer Differenzialgleichung zweiter Ordnung entspricht, brauchen wir zwei Randbedinungen um die Bahn des Teilchens vollständig zu bestimmen. Z.B. der Ortsvektor und die Geschwindigkeit eines Teilchens an einem Zeitpunkt oder die Ortsvektoren an zwei Zeitpunkten etc.

8 Wo kommt das newtonische Gesetz her?

9 Für jedes mechanische System existiert eine Lagrangefunktion L L = L(~r, ~r, t) ~r dr Integriert man eine Lagrangefunktion über die Zeit, bekommt man die Wirkung S = Z t L(~r, ~r, t). ~r( )=~r A, ~r(t )=~r B Die Wirkung ist eine Funktion der Zeit, des Anfangspunkts und des Endpunkts, aber auch von der gesampten Bahn des Teilchens. Eine Funktion (S) von eine Funktion (r(t)) heisst Funktional. S = S[~r(t)].

10 Prinzip der kleinsten Wirkung: Ein mechanisches System bewegt sich so, dass der Wert der Wirkung minimal ist. Wie findet man ein Minimum der Wirkung? Erinnern wir uns an die Funktionen.. f(x + x + =0 f(~x + ~x) f(~x) = O( ~x) generel O(( ~x) ) falls ~x ein minimun ist Wir vergleichen die Wirkungen der zwei unterschiedlichen Bahnen und fordern das die ``lineare Abhändigkeit der Differenz der Wirkungen vom Unterschied der Bahnen verschwindet. Wichtig! Der Anfangpunkt und der Endpunkt bleiben gleich für alle Bahnen. S[~r A (t)] <> S[~r B (t)], ~r A ( )=~r B ( )=~r 1, ~r A (t )=~r B (t )=~r S = Z t L(~r, ~r, t).

11 Um zwei Wirkungen zu vergleichen, schreiben wir S = ~r A (t) =~r(t), ~r B (t) =~r(t)+ ~r(t), ~r( )= ~r(t )=0 Z t h S[~r B (t)] S[~r A (t)] = L(~r + ~r, ~r + ~r, t) L(~r, ~r, i t) Wir entwickeln den Integrand in der Variation der Bahn ~r ; dabei betrachten wir den Ortvektor und die Geschwindigkeit als zwei unabhängige Grössen L(~r + ~r, ~r + S = 3X i=1 Z t ~r, t) L(~r, ~r, t)+ i 3X i=1 r i + ṙ i Z t ṙ i i r i + 3X i=1 Es folgt die Variation der Wirkung S = Z t Z t d r i d = Z t ṙ i apple r i = 3X i=1 +O( r ) Z t d r i apple r i d i =0, r i (, )=0 d apple apple r i r i

12 Eine Bahn minimiert die Wirkung falls S fur beliebige Variationen der Bahn ~r Null ist. δr(t) S = 3X i=1 Z i d apple r i 0 r(t 0 ) = r 0 t 0 t t S =0 ) r i Es folgen die Euler-Lagrange Bewegunsgleichungen d =, i =1,, 3,, i

13 Wir müssen in der Lage sein das zweite newtonische Gesetz aus den Euler-Lagrange Bewegunsgleichungen herzuleiten. Dafür brauchen wir eine Lagrangefunktion. Falls die Lagrangefunktion durch die Differenz der kinetischen Energie und der potentiellen Energie des Teilchens gegeben ist, sind die Euler-Lagrange Gleichungen und das zweite newtonische Gesetz identisch. L = T U = m ~r U(~r) d ) d m ~r = m ~r = ~ F (~r). ~r d~r ~r d ~r = m @~r = ~ F (~r), Fall der mehrerer Teilchen L = NX i=1 m i ~ r i U(~r 1, ~r,..,~r N )

14 Obwohl Euler-Lagrange-Gleichungen und newtonisches Gesetz äquivalent sind, bietet die Lagrangeformulierung der Mechanik sehr wichtige Vorteile an: 1) Fast ``mechanisch die Bewegungsgleichungen herleiten zu können, ohne über die Krafte nachzudenken; ) beliebige (verallgemeinerte) Koordinaten wählen zu dürfen um das mechnische System vollständig zu beschreiben; das ist sehr nützlich falls die Bewegung durch Zwangsbedinungen beschränkt ist. 3) Die erhaltene (zeitunabhängige) Grösse eines mechanischen Systems viel einfacher erkennen zu können.

15 Ein Beispiel: Zwei unterschiedliche Teilchen, verbunden durch masselose Stangen, im Gravitationsfeld. Wie sehen die Bewegungsgleichungen aus? Schrit: Die Lagrangefunktion in kartesische Koordinaten L = m 1( x 1 + y 1 ) + m ( x + y ) U(y 1,y ) U = m 1 gy 1 + m gy Die Lagrangefunktion ist zwar richtig aber nicht nützlich weil die Stangen die Ortsvektoren der Teilchen voneinandere abhängig machen.

16 L = m 1( x 1 + y 1 ) + m ( x + y ) U(y 1,y ) U = m 1 gy 1 + m gy Schritt : die Wahl der unabhängigen Koordinaten Wir benutzen zwei Winkeln als unabhängige Koordinaten. D.h. x 1 = l 1 sin 1, x = x 1 + l sin, y 1 = l 1 cos 1, y = y 1 l cos x 1 = l 1 cos 1 y 1 = l 1 sin 1 1, 1, ẋ = x 1 + l cos y = y 1 + l sin, L = (m 1l1 + m l) 1 + m l + m l 1 l cos( 1 ) 1 +(m 1 + m )gl 1 cos 1 + m gl cos

17 L = (m 1l1 + m l) 1 + m l + m l 1 l cos( 1 ) 1 +(m 1 + m )gl 1 cos 1 + m gl cos Schritt 3: Die Ableitungen zu berechnen Die EL-Bewegungsgleichungen sind dann =, i =1, 1 =(m 1 l 1 + m l ) 1 + m l 1 l cos( 1 ) =(m 1 l1 + m l) 1 + m l 1 l cos( 1 ) sin( 1 ) 1 1 = m l 1 l sin( 1 ) 1 (m 1 + m )gl 1 sin 1