+m 3 2. L = M 1 2 v2 1 + M 2. r 3 r 2. 2 v2 2 + γm 1M 2

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1 UNIVERSITÄT KONSTANZ Fachbereich Physik Prof. Dr. Georg Maret (Experimentalphysik) Raum P 1009, Tel. (07531) Georg.Maret@uni-konstanz.de Prof. Dr. Matthias Fuchs (Theoretische Physik) Raum P 907, Tel. (07531) matthias.fuchs@uni-konstanz.de Übungen zur Physik III: Integrierter Kurs Wintersemester 004/005 Übungsblatt 11, Ausgabe , abzugeben bis Besprechung in den Übungen in der 16. Semesterwoche (5.-7. Jan.) 45. Swing-by -Verfahren, (8 Punkte, Sonderpunkte) Raumsonden können durch Vorbeiflug an Planeten Schwung gewinnen und so größere Entfernungen zur Sonne erreichen als alleine durch Verwendung ihrer Treibstoffe möglich wäre. Z.B. hat die 1977 gestartete Sonde Voyager nach Swing-by Manövern an Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun das Sonnensystem verlassen. Als Modell für einen Swing-by am Jupiter soll das Dreikörperproblem betrachtet werden, das durch die Lagrangedichte gegeben ist: L = M 1 v 1 + M v + γm 1M +m 3 v3 r 1 r + γm 1 r }{{} 3 r 1 + γm r 3 r }{{} L 0 L 1 Index 1 bezeichnet Größen der Sonne, Index die des Jupiters, und 3 die der Raumsonde. γ ist die Gravitationskonstante. (Zur Abkürzung werde m = m 3 und r = r 3 gesetzt.) Dieses Problem ist im allgemeinen nicht lösbar, weswegen die Näherung gemacht werden soll, dass m 3 M, M 1 die Masse der Raumsonde so klein ist, dass sie die Bewegung von Jupiter und Sonne nicht beeinflusst.

2 a) Lösen Sie das Keplerproblem gegeben durch L 0 für die beiden größeren Massen M 1 und M (wobei M M 1 gilt) unter der Annahme, dass die Keplerellipse zu einem Kreis entartet. Hinweis: Führen Sie Schwerpunkts- und Relativkoordinaten ein und verwenden Sie als Parameter der Lösung den mittleren Radius R = km und die Kreisfrequenz ω = π/690d der Jupiterbahn. ( Punkte) b) Die Bewegung der leichten Masse m gegeben durch L 1 werde im mit dem Jupiter rotierenden Bezugssystem beschrieben, wobei die x-achse von der Sonne zum Jupiter zeige und die y-achse senkrecht dazu stehe (siehe Skizze). Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen für die Koordinaten von m im rotierenden Bezugssystem lauten ẍ = ωẏ Ū x ÿ = ωẋ Ū y z = Ū z wobei das effektive Potential Ū gegeben ist durch [ ω Ū = (x + y ) + γm 1 r r 1 + γm ] r r (3 Punkte) c) Die Lagrangedichte L 1 hat in den Koordinaten (x, y, z) ausgedrückt eine wichtige Eigenschaft. Welche Erhaltungsgröße können Sie folgern? Sie heißt Jacobi Integral J. d) Zeigen Sie, dass das Jacobi-Integral ausgedrückt durch die Koordinaten r 3 der Raumsonde im nicht rotierendem Bezugssystem lautet J = ω(x 3 ẏ 3 y 3 ẋ 3 ) 1 ṙ 3 + γm 1 r 3 r 1 + γm r 3 r ( Punkte) e) Erklären Sie, wie die Raumsonde beim Swing-by Manöver Energie gewinnen kann. ( Sonderpunkte) 46. Symmetrische planare Skater; (6 Punkte) Drei Massen m 1 = m = m und m 3 = M, die sich in einer Ebene frei bewegen können, seien durch (masselose) Stangen der Länge l und l wie in der Skizze dargestellt verbunden. Die Winkel zwischen den Stangen ϕ 1 und ϕ seien zur Vereinfachung als gleich angenommen ϕ 1 (t) = ϕ (t) = ϕ(t) und seien durch z.b. Motoren beliebig veränderbar. m m l ϕ ϕ l l M l

3 a) Formulieren Sie die Lagrangedichte L, die gleich der kinetischen Energie sei L = T (d.h. kein Potential wirke) und die homogenen Zwangsbedingungen für dieses isotrope und translationsinvariante System. ( Punkte) b) Begründen Sie mit dem Theorem von Noether, dass der Gesamtimpuls P und der Gesamtdrehimpuls L z Erhaltungsgrößen der Bewegung sind. Zur Vereinfachung werde angenommen, dass beide zum Zeitpunkt t 0 verschwinden. Folgern Sie, dass dann auch der Schwerpunktsvektor R(t) eine Erhaltungsgröße ist. ( Punkte) Hinweis: Es ist ausreichend zu diskutieren, dass die erforderlichen Symmetrietransformationen die Lagrangedichte L und die Zwangsbedingungen invariant lassen. c) Bestimmen Sie den Gesamtdrehimpuls L z explizit und daraus die Drehung des Körpers in der Zeit t = π wenn der Winkel ϕ(t) variiert wie ϕ(t) = ωt. ( Punkte) ω 47. Schwingungen in kreisförmiger Kette; (6 Punkte) N identische Teilchen der Masse m werden mit N identischen Federn (die nicht notwendigerweise ein lineares Kraftgesetz aufweisen) zu einem Adventskranz verbunden. Die Koordinaten längs des Rings seien q j (j = 0,..., N 1). a) Setzen Sie eine potentielle Energie u(q j+1 q j ) zwischen jedem Paar von benachbarten Teilchen an (Formel geeignet modifiziert für Ringschluss ), wobei die Funktion u ein Minimum u(a) = u 0 besitzt. Welche Ruhelage q (0) j der N Teilchen wird sich einstellen? x 0 =x N x 1 =x N+1 0 q 0 q 1 q Den so gefundenen Ringumfang halten wir nun fest und erlauben den Teilchen nur noch eindimensionale Bewegung entlang des Kreises (s. Skizze), die wir durch die Auslenkungen x 0 q 0 q (0) 0 x aus der Ruhelage x = = beschreiben. Die periodischen.. x q q (0) Randbedingungen erlauben uns dabei, x j+n x j zu identifizieren. Zeigen Sie durch Taylorentwicklung der potentiellen Energie, dass sich die Lagrangefunktion ergibt zu L = m ẋt Aẋ D xt Bx. (1) Welche Form haben die Matrizen A und B? b) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen her. Schreiben Sie sie in Matrixschreibweise und komponentenweise. c) Um die Bewegungsgleichungen zu entkoppeln, ist bei einem solchen Problem mit periodischen Randbedingungen die diskrete Fouriertransformation geeignet. Hierbei wird das Muster der Auslenkungen als die folgende Superposition angesetzt:

4 x j (t) = n=0 x n (t) exp(ik n ja) () Welche Bedingung müssen die Wellenzahlen k n erfüllen und warum durchläuft n gerade den Bereich 0... N 1? Welchen Bereich durchläuft k n? Weisen Sie nach, dass sich die Fourierkoeffizienten x n bestimmen lassen durch x n = 1 N j=0 x j exp( ik n ja) (3) ( Punkte) d) Leiten Sie die Bewegungsgleichungen für die sogenannten Normalkoordinaten x n (t) her und führen Sie in geeigneter Weise Kreisfrequenzen ω n ein. Skizzieren Sie die Abhängigkeit ω n (k n ), die man Dispersionsrelation nennt. ( Punkte) 48. Poissonklammern und Erhaltungssätze; (7 Punkte) Die Poissonklammer zweier Funktionen A(q, p) und B(q, p) im Phasenraum der generalisierten Koordinaten q i und Impulse p i (i = 1,..., f) wurde in der Vorlesung definiert durch f A B {A, B} = A B (4) q i p i p i q i a) Zeigen Sie, dass die Poissonklammer eine schiefsymmetrische bilineare Form ist: {A, B} = {B, A} und für zwei Konstanten λ 1 und λ gilt {λ 1 A 1 + λ A, B} = λ 1 {A 1, B} + λ {A, B}. b) Zeigen Sie, dass eine Funktion A(q, p) die mit der Zeit variiert, weil q(t) und p(t) Lösungen zur autonomen Hamiltonschen Funktion H(q, p) sind, der Gleichung genügt d A(q(t), p(t)) = {A, H} (5) dt c) Wenden Sie diese Formel auf q, p und H selber an. Wann ist eine Funktion A zeitlich konstant entlang des Flusses im Phasenraum gegeben durch q(t), p(t)? d) Eine Verallgemeinerung der Noetherschen Theoreme erhält man durch infinitesimale (s 0) Verschiebungen des Systems generiert durch eine Funktion G(q, p), genannt Erzeugende, Q i = q i + s G p i P i = p i s G q i für s 0, i = 1,..., f Welche Bedingung muss eine Funktion A(q, p) erfüllen, damit sie in linearer Ordnung in s invariant bleibt unter dieser Verschiebung? Folgern Sie, dass die Konstanten der Bewegung die Erzeugenden infinitesimaler Verschiebungen sind, die die Hamiltonsche Funktion invariant lassen.

5 e) Am Beispiel von zwei Massepunkten m 1 und m mit potentieller Energie V (r 1, r ) soll die Bedingung gefunden werden, dass der Gesamtimpuls und der Gesamtdrehimpuls erhalten sind. ( Punkte) f) Beweisen Sie, dass der n-dimensionale entartete harmonische Oszillator, gegeben durch H = 1 m n p i + mω n q i die Erhaltungsgrößen A ij = 1 m (p ip j m + mω q i q j ) besitzt.