Klausur zu Theoretische Physik 2 Klassische Mechanik

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Berthold Goldschmidt
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1 Klausur zu Theoretische Physik Klassische Mechanik 30. September 016 Prof. Marc Wagner Goethe-Universität Frankfurt am Main Institut für Theoretische Physik 5 Aufgaben mit insgesamt 5 Punkten. Die Klausur ist mit 1 1 oder mehr Punkten bestanden. Aufgabe =4 Punkte Gegeben ist der Raumzeitvektor x µ = α im Inertialsystem Σ. a Berechne den Raumzeitabstand von x µ zum Ursprung, d.h. x µ x µ. b Das Intertialsystem Σ bewegt sich in Σ mit Geschwindigkeit v = c/ c ist die Lichtgeschwindigkeit in positive x-richtung. Gib die Boost-Matrix Λ µ ν an, mit der Vierervektoren in Σ z.b. x µ in Vierervektoren in Σ z.b. x µ transformiert werden können. c Berechne mit der in b angegebenen Matrix x µ. d Berechne den Raumzeitabstand von x µ zum Ursprung, d.h. x µ x µ. Aufgabe 1++=5 Punkte Betrachte den relativitischen Zerfallsprozess A B + C, d.h. ein Teilchen A Masse m A > 0 zerfällt in ein Teilchen B Masse m B > 0 und ein Teilchen C Masse m C > 0. a Wie lautet die diesem Prozess entsprechende Viererimpulserhaltung? Um wie viele Gleichungen handelt es sich? b Betrachte den speziellen Fall m B = m C. Berechne ausgehend von der Viererimpulserhaltung die Energie E B und den Impulsbetrag p B von Teilchen B im Ruhesystem von Teilchen A d.h. E B und p B ausgedrückt durch m A und m B. 1

2 c Betrachte den speziellen Fall m B = m C sowie Impulsbetrag p B = 3m B c von Teilchen B im Ruhesystem von Teilchen C. Berechne ausgehend von der Viererimpulserhaltung die Masse m A d.h. m A ausgedrückt durch m B. Aufgabe =7 Punkte Betrachte einen Massenpunkt Masse m, der sich in 3 Raumdimensionen im Potential V r, r = x + y bewegt. a Gib die Langrange-Funktion in Zylinderkoordinaten r, ϕ, z an. b Betrachte die Transformation zt zs, t = zt + s und berechne mit dem Noether-Theorem die zugehörige Erhaltungsgröße. Um welche physikalische Größe handelt es sich? c Betrachte die Transformation ϕt ϕs, t = ϕt + s und berechne mit dem Noether-Theorem die zugehörige Erhaltungsgröße. Um welche physikalische Größe handelt es sich? d Betrachte die Transformation rt, ϕt, zt rs, t, ϕs, t, zs, t = rs + t, ϕs + t, zs + t und berechne mit dem Noether-Theorem die zugehörige Erhaltungsgröße. Um welche physikalische Größe handelt es sich? e Vereinfache die Bestimmung der Trajektorie des Massenpunktes mit den in b, c und d gefundenen Erhaltungsgrößen so weit wie möglich, d.h. führe die Bestimmung der Trajektorie auf lediglich zwei Integralausdrücke zurück. Hinweis: Bestimme zunächst zt mit Hilfe der in b gewonnenen Erhaltungsgröße. Verwende dann die Erhaltungsgrößen aus b, c und d, um einen Integralausdruck zur Bestimmung von rt und schließlich einen Integralausdruck zur Bestimmung von ϕt anzugeben. Aufgabe =5 Punkte Betrachte zwei Massenpunkte Massen m 1 = m = m, die sich in 1 Raumdimension Koordinaten x 1 beziehungsweise x in identischen Potentialen V x 1 beziehungsweise V x, V x j = λ x j a λ > 0, a > 0, bewegen. Die Massenpunkte sind außerdem mit einer Feder genügt dem Hookschen Gesetz, Ruhelänge 0, Federkonstante k gekoppelt. a Gib die Langrange-Funktion an.

3 b Skizziere das Potential V x j. Gib für dem Fall k = 0 d.h. die Feder wird nicht betrachtet sämtliche Gleichgewichtslagen des Systems an sowohl stabil als auch instabil. c Bestimme für den Fall k > 0 sämtliche Gleichgewichtslagen des Systems eine Analyse, ob die Gleichgewichtslagen stabil oder instabil sind, ist nicht erforderlich. Aufgabe =4 Punkte Ein System von zwei Massenpunkten Massen m 1 = m = m, die sich in 1 Raumdimension bewegen Koordinaten x 1 beziehungsweise x wird durch die Lagrange-Funktion L = m ẋ 1 + m ẋ V x 1 V x k x 1 x beschrieben k > 0, V x j wie in Aufgabe 4 definiert. Betrachte im Folgenden kleine Schwingungen des Systems um die stabile Gleichgewichtslage x 1 = x = +a. Verwende dazu die Koordinaten q j = x j a. a Nähere die angegebene Langrange-Funktion quadratisch in den kleinen Auslenkungen q j, d.h. vernachlässige Terme der Ordnung Oq 3 j. b Wie lautet die Massenmatrix M und die Kraftmatrix K? Wie lauten die Bewegungsgleichungen für q 1 und q? c Bestimme die Normalschwingungen des Systems und gib die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen an. 3

4 Lösung 1a x µ x µ = α 4 = 1α. Lösung 1b Λ µ ν = γ γβ 0 0 γβ γ , β = v c = 1, γ = 1 1 β = 3. Lösung 1c x µ = Λ µ νx ν = αγ4 β, 4β +, 0, 0 = α 3 3, 0, 0, 0. Lösung 1d x µ x µ = 4α 3 9 = 1α. Lösung a p µ A = pµ B + pµ C, d.h. 4 Gleichungen. Lösung b p A p B = p C p A + p B p A p B = p C m Ac + m Bc m A E B = m Cc E B = m A + m B m C c = m A 3m B c m A m A p B = E B c m Bc 1/ = m 4 A + 9m 4 B 1/ 10m A m B c. 4m A 4

5 Lösung c p A = p B + p C p A = p B + p C + p B p C m Ac = m Bc + m Cc + E B m C = m Bc + m Cc + m Bc 4 + p B c 1/ mc 1/mB 1/ m A = m B + m B + 3mB = 6m B. Lösung 3a L = 1 m ṙ + r ϕ + ż V r. Lösung 3b Transformation: zt zs, t = zt + s, lässt L invariant. Erhaltungsgröße: p z = L qj, q j, t q k q k s s = mż = const. Lösung 3c Transformation: ϕt ϕs, t = ϕt + s, lässt L invariant. Erhaltungsgröße: l z = L qj, q j, t q k q k s s = mr ϕ = const. Lösung 3d Transformation: rt, ϕt, zt rs, t, ϕs, t, zs, t = rs + t, ϕs + t, zs + t mit s L qj s, q j s, t = d dt Kt, Kt = L qj, q j, t. Erhaltungsgröße: E = L qj, q j, t q k q k s s Kt = 1 ṙ m + r ϕ + ż + V r = const. 5

6 Lösung 3e zt = p z m t + z 0 ṙ = ± m r ± dr r 0 m ϕ = l z mrt E p z ϕt ϕ 0 = Lösung 4a m E p z m t 1/ l z mr V r t 0 dt l z mr t. l z mr V r 1/ = t t 0 L = m ẋ 1 + m ẋ V x 1 V x k x 1 x. }{{} = V x 1,x Lösung 4b Gleichgewicht für x j { a, 0, +a}, d.h. insgesamt 9 Gleichgewichtslagen. Lösung 4c Bedingung für Gleichgewicht: V x 1, x = 4λ x 1 a x 1 + kx 1 x = 0 1 x 1 V x 1, x = 4λ x a x kx 1 x = 0. x 1 plus : x 1 a x 1 + x a x = 0, d.h. x 1 = x Fall 1 oder x 1 = x = a bzw. x 1 = x = a Fall. Fall 1, einsetzen in 1 : 4λ x 1 a x 1 + kx 1 = λ x 1 a + k x 1 = 0, 6

7 d.h. x 1 = 0 und damit x = 0 Gleichgewichtslage 1 oder x 1 = a k/λ und damit x = ± a k/λ Gleichgewichtslage und 3, existiert nur für a > k/λ, d.h. schwache Feder. Fall, einsetzen in 1 : Erfüllt 1 ohne weitere Bedingung, d.h. x 1 = x = a Gleichgewichtslage 4 und 5. Lösung 5a V x j = λ x j a = λ a + y j a = λ y j a + yj = 4λa yj + Oyj 3 }{{} =α/ L = m ẏ 1 + m ẏ α y 1 α y k y 1 y. Lösung 5b M = m 0 0 m, K = α + k k k α + k MŸ + KY = 0 mit Y = y 1, y. Lösung 5c det Mωj + K = mω j α + kmω j + α + αk = 0 mω1 = α, mω = α + k mω Mωj + K a j = j + α + k k k mωj + α + k α ω 1 = m, a = m +1 α + k 1 +1 ω =, a = m m 1 Y = a j A j e +iωjt + B j e iω jt. j=1 a j = 0 7

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