Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik I WS 2016/17

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Festkörperphysik Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik I WS 06/7 Prof. Dr. Carsten Rockstuhl Blatt 4 Dr. Andreas Poenicke, MSc. Kari Mnasri Abgabe: Zweikörperproble 9 Punkte Betrachten Sie ein Syste zweier Massepunkte der Masse und it den Ortsvektoren r und r. Zwischen den Massen wirke eine zeitunabhängige Zentralkraft F (r, r ) r r r r. (a) Punkt] Drücken Sie diese innere Kraft durch ein Potential U(r, r ) aus und zeigen Sie darüber, dass das dritte Newton sche Axio erfüllt ist. Als Zentralkraft ist die Kraft F (r, r ) durch ein Potential bestit das nur von de Betrag r = r = r r abhängt. Die Kräfte sind dait gegeben durch und F (r, r ) = r U(r) = U (r) r r = U (r) r r r r F (r, r ) = r U(r) = U (r) r r = U (r) r r r r = F (r, r ) (b) Punkt] Geben Sie die Bewegungsgleichungen für r (t) und r (t) an. Die Bewegungsgleichungen sind allgeein gegeben durch i r i = F (a) i + j F ij. In unsere Fall ohne äussere Kraft ergibt sich soit r = F r = F = F. (c) Punkt] Definieren Sie den Schwerpunkt r s und den Relativvektor r = r r. Drücken Sie r und r durch diese neuen Vektoren aus. Schwerpunkt- und Relativvektor sind gegeben durch dait erhält an r = r s + r s = r + r + und r = r r, r und r = r s r. (d) Punkte] Leiten Sie dait aus den Bewegungsgleichungen aus Aufgabenteil b) die Bewegungsgleichungen für r s und r her. Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichung r der Gleichung für einen Massepunkt it der reduzierten Masse i Potential U( r ) entspricht. µ = Die Bewegungsgleichungen sind gegeben durch und r s = r + r = F F = 0, r = r r = F + F = ( U (r) r ) r r = µ r = F = r U(r)

2 (e) Punkte] Drücken Sie die die Gesatenergie E und den Gesatipuls p durch die reduzierte Masse µ, Gesatasse M und die Ortsvektoren r s und r (und deren Ableitungen) aus. E = ṙ + ṙ + U (r, r ) + U (r, r ) ] = ( ) ( ṙ s + ṙ + ṙ s = M ṙ s + + p = ṙ + ṙ = (ṙ s + ) ṙ + U(r) ( ) ṙ + U(r) = M ṙ s + µ ṙ + U(r) ) ( ) ṙ + ṙ s ṙ = Mṙ s (f) Punkte] Drücken Sie entsprechend den Gesatdrehipuls L = L + L des Systes durch Schwerpunkt- und Relativkoordinaten aus. Zeigen Sie, dass für r s = ṙ s = 0 der Vektor r in einer (zeitlich festen) Ebene liegt. Der Gesadrehipuls ist gegeben durch L = r ṙ + r ṙ ) = (r s + r ( ṙ s + ) ( ṙ + r s = ( ) r s ṙ s + µ r ṙ + µ r ṙ = Mr s ṙ s + µr ṙ. ) ( r ṙ s ) ṙ Für den Fall r s = ṙ s = 0 ist der Schwerpunkt in Ruhe und der Ursprung liegt in der Schwerpunktskoordinate. Dait die Relativbewegung in einer (zeitlich festen) Ebene erfolgt uss nun der Relativdrehipuls zeitlich konstant sein. Dies gilt da. d ( ) ( µ r ṙ = µr r = r U (r) r ) = 0 dt r Beerkung: Allgeein sind für dieses Syste der Schwerpunkts- und Relativdrehipuls getrennt erhalten d dt Mr s ṙ s = Mr s r s = 0 (abgeschlossenes Syste) d µ r ṙ = µ r r = 0 dt (Zentralkraft, r r). Für ṙ s 0 findet die Relativbewegung i Schwerpunktsyste dait zwar in einer Ebene statt, da der Schwerpunkt sich allerdings gleichförig bewegt ist diese Ebene nicht zeitlich fest.

3 . Molekül-Schwingung 7 Punkte Ein Molekül sei beschrieben durch zwei ungleiche Punktassen und, die sich entlang der x-achse bewegen können und über eine asselose Feder (Federkonstante k, Ruhelänge a) verbunden sind. Der Ort von Masse / sei durch x / gegeben: (a) Punkte] Bestien Sie die Bewegungsgleichungen für x (t) und x (t). Geben Sie den Ausdruck für die Gesatenergie E(x, x, ẋ, ẋ ) an. Die Bewegungsgleichungen sind gegeben durch ẍ = F = k a (x x )] ẍ = F = +k a (x x )] wobei die Kräfte nur vo Abstand der beiden Punktassen x = x x abhängen. Das Potential ist ein haronisches Potential u die Ruhelage a U(x, x ) = U(x x ) = k a + (x x )]. F = U(x x ) x = k(a + x x ) F = U(x x ) x = k( )(a + x x ) Dait ist die Gesatenergie gegeben durch E = ẋ + ẋ + U(x x ) (b) Punkte] Definieren Sie die Schwerpunktkoordinate x s (t) und die Relativkoordinate x(t) und und bestien Sie die Bewegungsgleichungen für x s (t) und x(t). Geben Sie jeweils die allgeeine Lösung der Bewegungsgleichung an. Mit x s (t) = x(t)+(t) + Bewegungsgleichungen und x(t) = x (t) x (t) erhält an analog zu Aufgabe die ( )ẍ s (t) = 0 µẍ(t) = k(a + x). Das Syste ist frei von äußeren Kräften, soit erhalten wir wie erwartet für den Schwerpunkt eine gleichförige Bewegung x s (t) = x s,0 + v 0 t. Die Relativbewegung wird beschrieben durch einen haronischer Oszillator it der allgeeinen Lösung ẍ + ω 0x = ω 0a, it ω 0 = k µ x(t) = A cos(ω 0 t + φ 0 ) a.

4 (c) Punkte] Bestien Sie die Gesatenergie E(x, x s, ẋ, ẋ s ), d.h. die Energie als Funktion der Schwerpunkt- und Relativkoordinaten. Welchen Wert erhalten Sie für die Energie unter Berücksichtigung der Lösung aus Aufgabenteil b)? Die Gesatenergie ist gegeben durch E = M ẋ s + µ ẋ + U(x), U(x) = k (a + x) Setzen wir die Lösung aus Aufgabenteil b) ein erhalten wir dait E = M v 0 + µ Die Energie ist also erhalten. Aω 0 sin(ω 0 t + φ 0 ) ] k + ] M A cos(ω 0 t + φ 0 ) = v 0 + k A. (d) Punkt] Überprüfen Sie für die Relativbewegung die Gültigkeit des Virialsatzes. Der Virialsatz besagt, dass für beschränkte Bewegungen das zeitliche Mittel der kinetischen Energie de halben Virial des Systes entspricht. Für abgeschlossene Systee reduziert sich dies, wenn das innere Potential die For U ij = α ij rij, Z hat zu de einfachen Ausdruck T = Ū. Er verknüpft so in eine einfachen Ausdruck den Mittelwert der kinetischen it de Mittelwert der potentiellen Energie. Für den haronischen Oszillator ist das Potential eine Funktion der relativen Abstände r ij = r i r j eine positiv hoogene Funktion vo Grad =. Wir erwarten daher T = Ū. (Das Potential in Aufgabenteil c) ist in dieser For keine hoogene Funktion. Mit der Verschiebung x = x + a erhalten wir jedoch U(x ) = k x. Alternativ kann das Virial explizit berechnet werden. ) Es gilt also T = Ū. t+τ/ T = li τ τ Ū = li τ τ t τ/ t+τ/ t τ/ µ k ] dt Aω 0 sin(ω 0 t + φ 0 ) = A k 4 ] dt A cos(ω 0 t + φ 0 ) = k 4 A

5 3. Gekoppelte Oszillatoren 4 Punkte Betrachten Sie die Bewegung zweier gekoppelter haronischer Oszillatoren: k 0 k k 0 0 a b d Die beiden Massen = = sind it einer Feder (Federkonstante k) gekoppelt und it Federn (Federkonstante k 0 ) zwischen zwei festen Wänden angebracht. Betrachtet werden soll die eindiensionale Bewegung, wobei die Ruhelagen der Massen durch die Punkte a und b gegeben sind. (a) Punkte] Stellen Sie die Bewegungsgleichungen auf, und nehen Sie dabei eine zweckäßige Aufteilung in innere und äußere Kräfte vor. ẍ = k 0 (x a) k(x x ) (a b)] = F a + F ẍ = k 0 (x b) + k(x x ) (a b)] = F a + F F a = k 0 (x a), F = k(x x ) (a b)] F a = k 0 (x b), F = k(x x ) (a b)] = F (b) Punkte] Entkoppeln Sie die gefundenen Differentialgleichungen durch Einführung geeigneter neuer Koordinaten. Geben Sie die Lösung dieser Differentialgleichungen an. Möglichkeit : Wir führen in eine ersten Schritt Koordinaten relativ zu jeweiligen Ruhepunkt ein: x = x a und x = x b. dait vereinfachen sich die Differentialgleichungen zu x = k 0 x k( x x ) x = k 0 x + k( x x ) Jetzt enkoppeln wir die Differentialgleichungen durch Einführung von Relativ- und Schwerpunktkoordinate: Und erhalten die Differentialgleichungen x s = ( x + x ) und x = x x x s = k 0 x s x = (k 0 + k) x. Beides sind Differentialgleichungen eines haronischen Oszillators it den Lösungen x s = A cos(ω s t + φ s ), ω s = k 0 x = B cos(ωt + φ), ω = k 0 + k = ω s + ω.

6 Möglichkeit : Wir führen direkt Relativ- und Schwerpunktkoordinate ein und erhalten die DGLs x s = (x + x ) und x = x x, ẍ s = k 0 x s + k 0 (a + b) ẍ = (k 0 + k) x + (k 0 + k)(a b) x s = A cos(ω s t + φ s ) + a + b, ω s = k 0 x = B cos(ωt + φ) + (a b), ω = k 0 + k = ω s + ω.