Physik I Übung 13 - Lösungshinweise

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1 Physik I Übung 13 - Lösungshinweise Stefan Reutter WS 011/1 Moritz Kütt Stand: 7. Februar 01 Franz Fujara Aufgabe 1 Verstimmte Stimmgabel In der Vorlesung wurde ein Versuch mit zwei sehr ähnlichen Stimmgabeln gezeigt. Bei einem ähnlichen Versuch wurde eine Schwebungsfrequenz von ν s = 4 Hz gemessen. Eine der beiden Stimmgabeln hatte eine Frequenz von ν = 600 Hz. a) Welche Frequenzen sind für die zweite Stimmgabel möglich? b) Wie kannst du die exakte Frequenz ermitteln, wenn du ein Stück Knete an der ersten Stimmgabel befestigst? a) ν s = ν 1 ν Da man nicht weiß, welche der beiden Frequenzen die bekannte ist, gibt es zwei Möglichkeiten: ν 1/ =ν ± ν s ν 1 =608 Hz ν =59 Hz b) Durch die Knete lässt sich die Frequenz der bekannten Stimmgabel verringern. Verringert sich nun auch die Schwebungsfrequenz, hat die zweite Stimmgabel eine niedrigere Frequenz (also 59 Hz), sonst eine höhere (608 Hz). Genau genommen könnte es noch passieren, dass man durch Anbringen der Knete die Stimmgabel z.b. auf 570 Hz verstimmt, wodurch die Schwebungsfrequenz größer würde obwohl man in die richtige Richtung geht. Um das auszuschließen, kann man die Knete an verschiedenen Stellen der Stimmgabel anbringen (wird sie weiter unten angebracht, wird die Frequenz nur ein bisschen verändert). 1

2 Aufgabe Super-Seil Diesmal ohne Halbstarke: Manni und Egon haben ein Seil, auf das sie rechteckige Wellenberge schicken. Die Abbildung zeigt Abstände und Geschwindigkeiten der Wellen. Auf der linken Seite haben sie das Seil festgemacht, auf der rechten haben sie ein loses Ende gelassen. Zeichne Abbildungen für die Zustände beider Seile bei T = 7s, 9s, 11s, 1s, 16s. 0cm 40cm 10cm 30cm T=0 s 0cm 40cm 10cm 30cm Im Prinzip sollten die Zeichnungen in etwa so aussehen (links festes Ende, rechts loses Ende): T=7 s T=9 s T=11 s T=1 s T=16 s Aufgabe 3 Das interferiert ja! 10 m Zwei Lautsprecher sind wie in der Abbildung aufgebaut. Aus beiden erschallt ein Ton mit einer Frequenz von ν = 343 Hz mit gleicher Amplitude, der mit gleicher Phase aus den Lautsprechern austritt. 1

3 a) Welche Amplitude misst man an einem Punkt ähnlich zu Punkt 1 (gleicher Abstand von beiden Lautsprechern) im Vergleich zu einem Aufbau mit nur einem Lautsprecher? b) Welchen Abstand müssen die beiden Lautsprecher mindestens haben, damit an Punkt kein Signal gemessen werden kann? a) Das Signal beider Lautsprecher ist bei gleichem Abstand immer in Phase, daher lässt sich dort die doppelte Amplitude feststellen. Zusätzlich zur Linie um zwischen beiden Lautsprechern hindurch gibt es unendlich viele weitere Punkte, bei denen man doppelte Amplitude feststellt. Für diese Punkte muss gelten: a 1 = a + nλ. b) Hier sollen die Wellen destruktiv interferieren, also ein Gangunterschied von n + 1 λ auftreten. Die kleinste solche Lösung ergibt sich für n = 0 λ = c ν = 1 m (10 m) + x = 10 m + λ 10 m + λ x = =3. m (10 m) Auch hier gibt es natürlich unendlich viele weitere Punkte, an denen die Wellen destruktiv interferieren. Aufgabe 4 Füsoterik Was die Esoteriker können, können wir Füsoteriker schon lange. Und besser. Wo unsere unwissenschaftlichen Konkurrenten sich mit einem Pendel begnügen, um die Zukunft vorherzusagen, benutzen wir zwei gekoppelte Pendel, die durch eine Feder verbunden sind. Außerdem müssen die Esoteriker das Pendel eine ganze Weile lang beobachten, während wir nur den Ort und die Geschwindigkeit unserer zwei Pendel am Anfang brauchen. Zugegeben, wir können die Zukunft nur in einem sehr begrenzten Rahmen vorhersagen (nämlich für das Pendel selbst), aber die Esoteriker können das in Wirklichkeit ja überhaupt nicht! Oder zumindest hat es für mich noch nie funktioniert. Vermutlich so eine selbsterfüllende Prophezeihung. a) Schreibe das System von gekoppelten Differentialgleichungen für zwei Massenpunkte mit der gleichen Masse m hin, die wie in der Vorlesung über je eine Feder mit Federkonstante D mit einer Wand verbunden sind und durch eine schwächere Feder mit Federkonstante D 1 noch 3

4 zusätzlich miteinander verbunden sind (Fadenpendel kann man auch näherungsweise als Federpendel betrachten). Die beiden Massenpunkte können sich auf einer horizontalen Schiene ohne Reibung und Einfluss äußerer Kräfte bewegen. b) Schreibe das DGL-System in eine Matrix-Vektor-Gleichung in zwei Dimensionen um. c) Führe Normalkoordinaten ein, um die Differentialgleichungen zu entkoppeln und schreibe die sich ergebenden Gleichungen wiederum als Matrix-Vektor-Gleichung auf. Hinweis: Hoffentlich hast du in der Vorlesung aufgepasst. d) Löse das DGL-System allgemein und finde die Lösungen für e) x 1 (0) = x 0, ẋ 1 (0) = 0, x (0) = 0, ẋ (0) = 0 f) x 1 (0) = x 0, ẋ 1 (0) = 0, x (0) = x 0, ẋ (0) = 0 g) x 1 (0) = x 0, ẋ 1 (0) = 0, x (0) = x 0, ẋ (0) = 0 a) mẍ 1 = Dx 1 D 1 (x 1 x ) mẍ = Dx + D 1 (x 1 x ) b) m x = m ẍ1 ẍ = (D + D1 ) D 1 D 1 (D + D 1 ) x1 x = A x c) Man kommt auf die Normalkoordinaten, indem man die beiden Gleichungen aus a) addiert bzw. subtrahiert: m ẍ 1 + ẍ = D(x1 + x ) Die Normalkoordinaten sind dem entsprechend m ẍ 1 ẍ = (D + D1 )(x 1 x ) ξ + = 1 (x 1 + x ) ξ = 1 (x 1 x ) Damit reduziert sich das DGL-System auf m ξ+ ξ = D 0 0 (D + D 1 ) ξ+ ξ 4

5 d) Das ist jetzt natürlich einfach D wobei ω + = und ω m = man aus der Rücktransformation D+D1 m ξ + = A + cos(ω + t + φ + ) ξ = A cos(ω t + φ ). Die Koordinaten für die einzelnen Massenpunkte erhält x 1 = ξ + + ξ = A + cos(ω + t + φ + ) + A cos(ω t + φ ) x = ξ + ξ = A + cos(ω + t + φ + ) A cos(ω t + φ ) e) Es ergeben sich folgende Bedingungen A + cos(φ + ) + A cos(φ ) = x 0 A + cos(φ + ) A cos(φ ) = 0 A + ω + sin(φ + ) + A ω sin(φ ) = 0 A + ω + sin(φ + ) A ω sin(φ ) = 0 Man kann das umschreiben (jeweils zwei Gleichungen addiert bzw. subtrahiert) A + cos(φ + ) = x 0 A cos(φ ) = x 0 A + ω + sin(φ + ) = 0 A ω sin(φ ) = 0 Daraus folgt (von der Triviallösung mal abgesehen) Also ist φ + = φ = 0 A + = A = x 0 x 1 = x 0 x = x 0 cos(ω+ t) + cos(ω t) = cos( ω + + ω cos(ω+ t) cos(ω t) = sin( ω + + ω t) cos( ω + ω t) t) sin( ω + ω t) Das ist eine Schwebung: die Energie überträgt sich von einer Kugel zur anderen und zurück. f) Hier ist es einfacher direkt die Normalkoordinaten anzuschauen weil die Anfangsbedingung direkt zur Normalschwingung ξ + gehört (bzw. ξ + (0) = 1 (x 1(0) + x (0)) = x 0 und ξ (0) = 0. Daraus folgt: A + = x 0 A = 0 φ + = 0 φ = 0 5

6 x 1 = x = x 0 cos(ω +t) g) Wie f) nur für ξ A + = 0 A = x 0 φ + = 0 φ = 0 x 1 = x = x 0 cos(ω t) Man beachte, dass diese Normalschwingung eine höhere Frequenz hat. 6