F R. = Dx. M a = Dx. Ungedämpfte freie Schwingungen Beispiel Federpendel (a) in Ruhe (b) gespannt: Auslenkung x Rückstellkraft der Feder

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1 6. Schwingungen Schwingungen Schwingung: räumlich und zeitlich wiederkehrender (=periodischer) Vorgang Zu besprechen: ungedämpfte freie Schwingung gedämpfte freie Schwingung erzwungene gedämpfte Schwingung Ungedämpfte freie Schwingungen Beispiel Federpendel (a) in Ruhe (b) gespannt: Auslenkung x Rückstellkraft der Feder F R = Dx (c) losgelassen a) b) c) Bewegung erfolgt nach den bekannten Gesetzen: M a = Dx (. Newtonsches Axiom)

2 Hier werden wir mal differenzieren: a = dv dt v = dx ergibt a = d x ; dt dt (mit unseren Differenzen könnten wir auch schreiben: a = v t v = x t ergibt a = x t t Mit diesen Ableitungen erhalten wir aus dem. Newtonschen Axiom eine neue Gleichung: (*) ; M d x dt + Dx = 0 ist eine Differentialgleichung. Die Lösung muß eine Funktion x(t) sein, deren. Ableitung proportional zur Funktion selber ist.

3 Lösungsansatz: (**) x( t)= A 0 cos( ω 0 t + ϕ 0 ) (Sinusfunktion wäre auch möglich.) harmonische Schwingung x(t) momentane Auslenkung A 0 = maximale Auslenkung = maximale Amplitude φ(t): = ω 0 t + φ 0 =Phase der Schwingung, wobei Anfangsphase φ 0 beliebig. dϕ dt = ω 0 = Kreisfrequenz ω π 0 f0 = = 1 T ist Frequenz der Schwingung. T ist die Periode der Schwingung

4 Setzen wir (**) in (*) ein und verwenden, dass d(sin(ω 0 t) dt = ω 0 cos(ω 0 t) ist, so erhalten wir: d(cos(ω 0 t) dt = ω 0 sin(ω 0 t) und -Mω 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) + D cos(ω 0 t + ϕ 0 ) = 0. Daraus folgt: ω 0 = D M Maximalamplitude A 0 ist beliebig und hängt nur von der Anfangsbedingung ab. Graphische Darstellung der Lösung: x(t) =A 0 cos(ωt + φ 0 ) = A 0 cos(φ(t)) Wenn die Kraft auf einen Körper proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist, vollführt er eine harmonische Schwingung.

5 Anderes Beispiel: Schwerependel Idealfall mathematisches Pendel : Punktmasse m, Faden masselos (sonst: physikalisches Pendel ) Die Schwerkraft F G = mg wird zerlegt in F (wird durch Fadenspannung F Faden kompensiert) und F tangential = =sin α mg α mg (kleine Auslenkung). Diese bewirkt eine Beschleunigung d x/dt = l d α/dt : m l d α/dt = α m g d α/dt = (g/l) α Lösung: α = α 0 cosωt (Newton II), F = -F Faden Bogenstrecke dx = l α, d x d α =l dt dt Einsetzen in obige Differenzialgleichung ergibt: ω= g l Die Schwingungsdauer T = π/ω =π hängt also nicht von der Masse ab, nur von der Fadenlänge. l g

6 Gedämpfte Schwingung Zusätzlich zur Rückstellkraft (-D x) wirkt eine Reibungskraft (-γ v=-γ dx/dt) z.b. Stokesche Reibung bei Schwingung in Flüssigkeit oder Gas. Kräftegleichung (Differentialgleichung) d x dt M dx + γ + Dx dt = 0 Ansatz: x(t) = A 0 e -δt cos(ω t + φ 0 ) Diese Funktion erfüllt die Gleichung und ergibt δ=γ/(m) und ω = δ = ω δ Im Vergleich mit der ungedämpften Schwingung (s.o., ω = ω 0 = D / M ) ist die Schwingung langsamer und nimmt exponentiell ab. D M 0 Versuch Sandpendel mit Styroporplatte Einhüllende e -δt mit Dämpfungsfaktor δ

7 Starke Dämpfung Obige Lösung gilt für schwache Dämpfung (ω 0 > δ). Bei stärkerer Dämpfung schwingt das System nicht mehr, sondern kriecht zum Nullpunkt. Kriechfall D m δ < 0 Anwendungen des aperiodischen Grenzfalls: Stoßdämpfer, Anzeigegeräte D δ = m 0 D δ > m 0 (gedämpfte Schwingung)

8 Erzwungene (gedämpfte) Schwingung Treibende periodische Kraft mit Kreisfrequenz ω x 1 (t) x 1 (t) x(t) x(t) Bewegungsgleichung: d x dx + γ Dx = F cos( ωt) + dt dt M 1

9 Lösung x(t) = A cos(ωt φ ) für t >> Einschwingzeit Nach Einschwingvorgang verblüffend einfach: Schwingung mit anregender Frequenz ω Amplitude und Phase abhängig von relativer Anregungsfrequenz (und Dämpfung) Maximale Auslenkung Phasenverschiebung φ gegenüber der Auslenkung der Anregung γω tan ϕ = ω ω 0 kleine Dämpfung große Dämpfung

10 Das Phänomen Resonanz Bei erzwungenen Schwingungen reichen kleine Kräfte aus, um mit der Zeit sehr große Amplituden zu erzeugen. Voraussetzung: Antriebsfrequenz ganz nahe an Resonanzfrequenz ω 0 (erreicht durch genaues Einstellen oder durch Rückkopplung) und schwache Dämpfung. Auto mit kaputten Stoßdämpfern

11 Anharmonische periodische Vorgänge Viele periodische Vorgänge kann man nicht durch eine einzelne Sinus- oder Kosinusfunktion beschreiben, obwohl die Bewegung einen definierte Periode (T = 1/f 0 = π/ω 0 ) besitzt. Mathematisch kann man aber beweisen (Fourier-Theorem), dass ein periodischer Vorgang durch eine Summe (Überlagerung) von (i. A.) sehr vielen harmonischen Teilschwingungen (sin(ω n t), cos(ω n t) mit ω n =n ω 0 ) beschrieben werden kann: x( t)= a 0 + a 1 cos( ω 0 t)+ a cos( ω 0 t)+... b 1 sin ( ω 0 t)+ b sin ( ω 0 t)+... Fourieranalyse: Zerlegung einer periodischen Funktion in diese Teilschwingungen

12 Überlagerung von Schwingungen ähnlicher Frequenz führt zu Amplitudenmodulationen bzw. Schwebungen 5 Perioden 5.5 Perioden

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14 Gekoppelte Oszillatoren z.b. Schwerependel mit zwischengespannter Feder. Es gibt zwei Schwingungsmoden ( Eigenschwingungen ): Überlagerung beider Schwingungsmoden ergibt Schwebung: Oszillation wechselt von einem Pendel zum anderen Bei Kette aus N Pendeln: N longitudinale Eigenschwingungen + N transversale Eigenschwingungen