Formelzusammenstellung

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1 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite 4 ormelzusammenstellung. Grundbegriffe Harmonische Schwingung Sinusschwingung: (t) sin ( t + ϕ) Schwingungsamplitude: Kreisfrequenz: Phasenwinkel: requenz: f Schwingungsdauer, Periode: Cosinusschwingung: (t) cos ( t + ϑ) ϑ ϕ - π T π π f. Überlagerung von Schwingungen. gleichfrequente Schwingungen ( t + ϑ ) + cos ( t + ϑ ) cos ( t + ) cos ϑ wobei + + cos ( ϑ - ϑ ) und ϑ arctan sin ϑ cos ϑ + + sin ϑ cos ϑ

2 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite 43. verschiedenfrequente Schwingungen ohne Phasenwinkel + cos ( t) + cos ( t) ( t) cos t + ϑ() t wobei () t + + cos ( - )t - + und tan ϑ() t tan t - 3. edern Parallelschaltung ( c c )f + Hintereinanderschaltung c c c + c f

3 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite reie ungedämpfte Schwingung mit einem reiheitsgrad Normierte Differentialgleichung: Lösung: ( ) + ( t) && t () t C cos ( t) + C sin ( t) Eigenkreisfrequenz: Integrationskonstanten: C, C 5. reie gedämpfte Schwingung mit einem reiheitsgrad 5. Dämpfung durch trockene Reibung Normierte Differentialgleichung: c R && m m () t + () t + Beispiel: Gleitreibungskraft: edersteifigkeit: Umformung: R µ G N c c R && m c () t + () t + Lösung durch Koordinatentransformation: Differentialgleichung: R c () t () t + ; () t & () t && t && ( ) + ( t) Lösungsansatz (siehe 4.) jeweils für eine Halbschwingung, da R die Richtung wechselt.

4 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite Geschwindigkeitsproportionale Dämpfung Normierte Differentialgleichung: () + D & ( t) + ( t) && t Lehrsches Dämpfungsmaß: D z.b. bei Einmassenschwinger, Translation: Dämpfungskonstante: d D d m llgemeine Lösung der DGL für 3 älle 5.. Schwache Dämpfung (D < ) [ C cos ( υt) + C sin ( t) ] -D t υ (t) e Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung: υ - D s [ ] Verhältnis zweier aufeinanderfolgender mplituden gleichen Vorzeichens: x x() t ( t + T ) e D T π D ϑ - D e e Logarithmisches Dekrement: x( t) ( t + T ) ϑ ln D T x Lehrsches Dämpfungsmaß: D 4 π ϑ + ϑ

5 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite Starke Dämpfung (D > ) ( t) e -D t ( C cosh ( υt) + C sinh ( υ t) ) υ D mit periodischer Grenzfall (D ) - t () (C + C t) e t 6. Erzwungene ungedämpfte Schwingung mit einem reiheitsgrad Harmonische Erregung: z.b. (t) u(t) u cos ( Ω t) cos ( Ω t) Erregeramplitude:, u Erregerkreisfrequenz: Ω Ω Normierte Differentialgleichung: + a cos ( t) mplitude der Erregerbeschleunigung : a Partikularlösung: (stationärer Zustand) sp (t) cos ( Ω t) && mplitude: a V a Stat - Ω Statische uslenkung (infolge ): Stat a requenzverhältnis: η Ω

6 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite 47 - η Vergrößerungsfunktion: a V 7. Erzwungene geschwindigkeitsproportional gedämpfte Schwingung mit einem reiheitsgrad Ω Normierte Differentialgleichung: D + a cos ( t) && + & Partikularlösung: (stationärer Zustand): sp (t) cos ( Ω t - ϕ) mplitude: Va Stat Statische uslenkung: Stat a Vergrößerungsfunktion: V a ( - η ) + 4 D η D η ϕ arctan - η Nacheilwinkel:

7 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite 48

8 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite reie ungedämpfte Schwingungen mit mehreren reiheitsgraden Voraussetzungen: - gleiche Phase ϕ - gleiche requenz - kleine mplituden Man erhält ein System von n Differentialgleichungen (n: nzahl der reiheitsgrade) Die Lösungsansätze lauten: n (t) (t) (t) C C... C n sin ( t - ϕ) sin ( t - ϕ) sin ( t - ϕ) Setzt man die Lösungsansätze in das DGL-System ein, erhält man durch Nullsetzen der Koeffizientendeterminante die requenzgleichung, deren Lösung die unbekannten Kreisfrequenzen sind. 9. Mit Einzelmassen belegte Stäbe 9. reie Schwingung Voraussetzung: Gleichfrequente Schwingungen mit kleinen mplituden Gleichungssystem zur Berechnung der requenz. ( reiheitsgrade) - m m ausgewertet:, B ± B - wobei: m m ( - ) ; B ( m + m )

9 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite 5 Statische Belastungsgleichwerte: m m (bei Rotation tritt Θ i an Stelle von m i ) y, y : Durchbiegung der Schwingungsgrenzlinie ik : Einflußgrößen y y 9. Erzwungene Schwingung Harmonische Erregung: sin ( Ω t) mplitude der Schwingungsgrenzlinie: y i i + i in n + i mplituden der Partikularlösung ( reiheitsgrade): m Ω - m Ω. Schwinger mit unendlich vielen reiheitsgraden Massenbelegung: µ dm d

10 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite 5. reie Längsschwingungen von Stäben & Partielle Differentialgleichung: E u - µ u Bernnoulli-nsatz: u(,t) φ( t) U( ) Gewöhnliche Differentialgleichungen: Lösungsansätze: Konstante: & φ + U + α U C φ φ sin α ( t) B cos ( t) ( α ) C cos ( α ) sin µ E. reie Torsionsschwingungen von Stäben ϕ & Partielle Differentialgleichung: GJ T - Θ ϕ Bernoulli-nsatz: ϕ (,t) ϕ ( )[ sin( t) + B cos( t) ] ϕ Gewöhnliche Differentialgleichung: GJT + Θ ϕ Lösungsansatz: ϕ ( ) C sin( α ) + C cos( α ) Konstante: α Θ GJ T.3 reie Biegeschwingung von Stäben + & IV T Partielle Differentialgleichung: EJ w µ w Bernoulli-nsatz: (,t) w ( )[ sin( t) + B cos( t) ] w

11 Übung zu Mechanik 4 - ormelsammlung Seite 5 IV Gewöhnliche Differentialgleichung: EJ w - µ w Lösungsansatz: w ( ) C sin( α ) + C cos( α ) + C sinh( α ) + C cosh( α ) 3 4 Konstante: α 4 µ EJ ür alle Gleichungen gilt: EJ, E, GJ T sind konstant..4 Näherungslösung (Rayleigh-Quotient) für die niedrigste Eigenkreisfrequenz llgemein: IV EJ w ~ l µ w ~ l w ~ d w ~ ( ): einparametriger nsatz für w ( ) (z.b. Biegelinie infolge Streckenlast). d