A02 Schwingung Resonanz Dämpfung

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1 A Schwingung Resonanz Dämpfung (A) x t t A Schwingung Resonanz Dämpfung Ziele In diesem Versuch untersuchen Sie Schwingungsphänomene und deren Gesetzmäßigkeiten mit einem Drehschwingsystem ein Beispiel für die unzählig vielen Oszillatorsysteme, die Ihnen noch begegnen werden. In diesem Versuch geht es speziell um Resonanz und Dämpfung. Praktische Anwendungen: Wie kann man ungewollte Schwingungen unterdrücken? Wann kommt es zu einer Resonanzkatastrophe und wie kann man sie vermeiden? Was bestimmt die charakteristische Klangfarbe eines Musikinstrumentes? Wie misst man die Stärke von Erdbebenwellen? Wie beschreibt man die Zustände von Photonen im Laser-Strahlungsfeld? Daneben lernen Sie, wie man mechanische Bewegungen elektrisch erfassen kann und wie sich die Messwerte mit einem Computer auswerten und grafisch darstellen lassen. Stichpunkte und Fragen zur Vorbereitung Mit diesen Begriffen sollten Sie vertraut sein: Harmonischer Oszillator, Frequenz, Kreisfrequenz, harmonische-, gedämpfte-, erzwungene Schwingung, Schwingfall/Kriechfall/aperiodischer Grenzfall, Resonanz, Phasenverschiebung, Trägheitsmoment, Drehmoment, Struktur und Lösung der Bewegungsgleichungen, logarithmisches Dekrement. Mit diesen Fragen müssen Sie rechnen: Welche mathematischen Funktionen beschreiben harmonische Schwingungen? Von welchen vier Größen hängt die Amplitude einer erzwungenen Schwingung ab? Resonanzkurve: Erklären Sie den qualitativen Verlauf von Amplitude und Phasenverschiebung einer erzwungenen Schwingung möglichst anschaulich, ohne Formeln. Wie lautet die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung einer erzwungenen Schwingung und wie lange muss man danach in etwa warten, bis sich ein stationärer Zustand eingeschwungen hat? Dr. Rüdiger Scholz, Leibniz Universität Hannover April 1 1

2 A Schwingung Resonanz Dämpfung (A) Berechnen Sie den Energieübertrag bei einer erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz ab; diskutieren Sie Sonderfälle. Welche Rolle spielt für den Energieübertrag die Phasendifferenz zwischen Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit. Die Auslenkungswinkel von Pendel und Erreger werden im Versuch mit Hallsensoren erfasst. Wie würden Sie experimentell prüfen, dass U H (Hallspannung) ist und was ist der Halleffekt? Wie funktioniert eine Wirbelstrombremse? Warum ist die Bremskraft annähernd geschwindigkeitsproportional? Diese Aufgaben müssen Sie zur Vorbereitung lösen: Verifizieren Sie die Lösungen der Bewegungsgleichung durch Einsetzen. Erklären Sie Verschiebung der Resonanzfrequenz bei der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von der Stärke der Dämpfung. Wie lautet für den aperiodischen Grenzfall ( = ) mit den Anfangsbedingungen (t = ) = und t die Schwingungsgleichung für (t)? Bei welcher Frequenz liegt das Resonanzmaximum einer erzwungenen Schwingung? Der Unterschied zur Frequenz des gedämpften Systems ist meist nicht groß (Gl. 6). Die harmonische Schwingung Ein lineares Kraftgesetz F = kx führt auf die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators: mx kx x k x t x cos t sin t ;. m (1a) x() und x v() sind die Anfangswerte, f = /() ist die Oszillatorfrequenz (Übung: Schreiben Sie die Lösung auf komplexe Darstellung um: exp(iz) = cosz + isinz). Die Übertragung auf eine Drehbewegung führt auf eine formal identische Gleichung: Ersetzen Sie die Kraft F durch das Drehmoment M, die Masse m durch das Trägheitsmoment J und die Auslenkung x durch den Drehwinkel : D J D mit der Lösung t cos t sin t ;. (1b) J Aufgaben: (1) Bestätigen Sie die Lösung durch einsetzen. () Auf welche triviale Lösung führen die Anfangswerte x() = v() =? Was bedeutet diese Lösung anschaulich? Wo immer eine Gleichung dieses Typs erscheint, haben Sie es mit einer harmonischen Schwingung zu tun und können die Lösung (im Prinzip) direkt angeben. Zusätzliche Kräfte (Momente) durch Reibung oder von außen aufgeprägte Störungen führen auf zusätzliche Terme in der Bewegungsgleichung und damit zu zusätzlichen Eigenschaften: Dämpfung, Resonanz und Anharmonizität. Einfache Anfangswerte führen auf übersichtliche Gleichungen, z. B. v() =. Oszillogramm einer harmonischen Schwingung Dr. Rüdiger Scholz, Leibniz Universität Hannover April 1

3 A Schwingung Resonanz Dämpfung (A) Versuchsaufbau Das Drehpendel (auch Pohlsches Pendel) besteht aus einem flachen Kupferring K, der auf der Achse drehbar gelagert ist, und einer Spiralfeder S, die einerseits an K, andererseits an dem ebenfalls um die Pendelachse drehbaren und zunächst feststehenden Hebel befestigt ist (Abb. 1). Der Hebel kann durch die Schubstange, die mit einem Elektromotor variabler Drehzahl verbunden ist, in eine Schwingbewegung versetzt werden. Dadurch wird das eine Ende der Spiralfeder periodisch hin und her bewegt und über die Feder auf den Kupferring ein periodisches Drehmoment ausgeübt. Das System lässt sich durch eine Wirbelstrombremse dämpfen. Dazu läuft der Kupferring zwischen den Polschuhen W eines Elektromagneten. 1 Das Pohlsche Pendel Die Winkel = Pendel und e = Erreger werden über Hallsensoren gemessen, mit einem Messsystem (CassyLab) zeitlich erfasst und können mit einem PC graphisch dargestellt und ausgewertet werden. Physikalische Grundlagen Durch Feder und Reibung wirken auf das Pendel die rücktreibenden Drehmomente M 1 (nach dem Hookeschen Gesetz) und M (durch die Wirbestrombremse): 1 e M D und M R. (1) Darin sind D das das Richtmoment der Feder, e (t) die (möglicherweise zeitlich veränderliche) Auslenkung durch die Schubstange und die Winkelgeschwindigkeit des Pendels. Die Winkelbeschleunigung des Pendels ergibt sich aus dem resultierenden Drehmoment M 1 + M und dem Trägheitsmoment J: M1 M J D e R J () R D D e. J J J Gehen Sie von einer harmonischen Anregung mit der Kreisfrequenz e e (t) = e ()cos(t) aus. Damit erhalten Sie die Bewegungsgleichung, die das Experiment gut beschreibt: Kcos t (3) e Spezialfälle 1. Ungedämpft und ohne Anregung ( = K = ) ergibt die einfache harmonische Schwingung: mit der Lösung: (t) = ()cos( t). Dr. Rüdiger Scholz, Leibniz Universität Hannover April 1 3

4 A Schwingung Resonanz Dämpfung (A). Gedämpft und ohne Antrieb (K = ; > ); + In diesem Fall hängt die Lösung von der Stärke der Dämpfung ab. Hier werden die drei Fälle <, = und > unterschieden. Die Lösungen sind 1 eine exponentiell abnehmende Schwingung im Fall schwacher Dämpfung, eine Kriechbewegung in die Ruhelage bei starker Dämpfung und der aperiodische Grenzfall im Übergang zwischen diesen Grenzfällen. Für die Randbedingung ( () = ) werden die Lösungen einigermaßen übersichtlich, Die gedämpfte Schwingung: Schwach bedämpft, 3 kritisch bedämpft (blau) und überdämpft (rot) Gedämpfte Schwingung ( < ; Abb. ): (t) = () exp( t) cos( t); = ; aperiodischer Grenzfall ( = ; Abb. 3): t 1 t exp t Kriechfall ( > ; Abb. 3): Das Pendel nähert sich asymptotisch der Ruhelage t exp t cosh t sinh t ; =. ist die so genante Abkling- oder Dämpfungskonstante, 1/ st die Zeit, in der im Schwingfall die Amplitude auf 1/e abgeklungen ist. Erzwungene Schwingung, Resonanz Greift an dem schwingungsfähigen System ein periodisch veränderliches Drehmoment an, so stellt sich nach einer gewissen Eigenschwingzeit ein stationärer Zustand ein, bei dem innerhalb jeder Schwingungsdauer gerade soviel Energie zugeführt, wie durch Reibung abgegeben wird. Das System schwingt erzwungen mit der Frequenz des Erregers e, allerdings phasenverschoben und mit einer konstanten Amplitude, die, je nach Erregerfrequenz, größer oder kleiner als die Erregeramplitude ist: t cos e ; tan e 4 e e e e. (7) 4 1 Vgl. Lehrbuch von Demtröder Dr. Rüdiger Scholz, Leibniz Universität Hannover April 1 4 Amplitude / e und Phase der erzwungenen Schwingung mit Dämpfung,

5 A Schwingung Resonanz Dämpfung (A) Die zeitlich konstante Amplitude in Gl. 7 als auch die Phasendifferenz zwischen Anregung und Pendel hängen von der Anregungsfrequenz ab: Die Amplitude hat ihr Maximum (Resonanzamplitude) nahe. Mit wachsender Dämpfung verschiebt sich dieses Maximum zu kleineren Frequenzen (Abb. 4). Die Phasenverschiebung zwischen der Auslenkung des Pendels (t) und der des Erregers e (t), variiert nach Gl. 7 zwischen = und = : e «: ; e = : /; e» :. Messungen Resonanz: Bestimmung der Eigenfrequenz Bei auf Nullmarke stehender Erregerstange wird das Drehpendel mit der Hand ausgelenkt und die Zeit mit der Stoppuhr für 1 gleichsinnige Nulldurchgänge 5mal abgestoppt. Daraus ist die mittlere Periodendauer T, die Messabweichung T und die Eigenfrequenz zu berechnen. Bestimmen Sie anschließend T mit dem Messsystem CassyLab; vergleichen die Werte (kein Ausdruck!). Dämpfung: Bestimmung des logarithmischen Dekrements Bei Stellung der Erregerstange auf Null wird die Wirbelstromdämpfung eingeschaltet und das Drehpendel maximal ausgelenkt ( ). Erzeugen Sie eine gedämpfte Schwingung (t) wie in Abb. (Dämpfungsstromstärke am Arbeitsplatz) und drucken Sie den Graphen aus. Auswertung: Ermitteln Sie aus dem Graphen das logarithmische Dekrement nt exp nt ln ln T und die Dämpfungskonstante. n1 T exp n1 T Warum hat sich die Periodendauer T gegenüber T nicht merklich geändert? Wie groß ist der relative Energieverlust pro Periode? Ermittlung der Einstellzeit für Schwingfall, aperiodischer Grenzfall und Kriechfall Für Dämpfungsstromstärken I in Schritten von,1 A ist nach maximaler Auslenkung die Einstellzeit (= Zeit, in der die Amplitude kleiner als,4 Skt. geworden ist) aus der graphischen Darstellung auf dem Bildschirm zu bestimmen. Kein Ausdruck. Notieren Sie Dämpfungsstromstärken I und die zugehörigen Einstellzeiten. Auswertung: Überlegen Sie sich den qualitativen Verlauf der Abhängigkeit = (I). Bestimmen Sie aus der graphischen Darstellung = (I) Ihrer gemessenen Werte den aperiodischen Grenzfall. Ermittlung der Resonanzkurven und der Phasenverschiebung Für Schwingungsdauern von ca. 1,54, s ist der zeitliche Verlauf von Pendel- und Erregerauslenkung mit dem Messsystem zu erfassen (Anleitung und Dämpfungsstromstärken am Arbeitsplatz). Sinnvolle Messergebnisse erhalten Sie in diesem Versuchsteil nur, wenn Sie den Einschwingvorgang abwarten und erst dann den Messprozess starten. Die Messungen sind daher etwas zeitaufwendig. Messen Sie Amplitude, Periodendauer und bestimmen Sie auch den zeitlichen Abstand zwischen benachbarten Pendel- und Erregermaxima, um die Phasenverschiebung in der Auswertung ermitteln zu können. Auswertung: Stellen Sie die Amplituden des Drehpendels sowie die Phasenverschiebungen für jede Dämpfung als Funktion der Frequenz e graphisch dar (s. Abb. 4). Für die Halbwertsbreite der Resonanzkurve gilt näherungsweise 3 (s. z. B. Demtröder). Wie gut stimmt das mit Ihrer Messung in für die Dämpfungskonstante überein? Dr. Rüdiger Scholz, Leibniz Universität Hannover April 1 5