S4 Erzwungene Schwingung Protokoll

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1 Christian Müller Jan Philipp Dietrich S4 Erzwungene Schwingung Protokoll I. Freie Schwingung a) Erläuterung b) Bestimmung der Eigenkreisfrequenz c) Bestimmung des Dämpfungsmaß β II. Erzwungene Schwingung a) Bestimmung der Resonanzkreisfrequenz b) Darstellung der Resonanzkurve c) Bestimmung der Phasendifferenz III. Chaotische Schwingung I. Freie Schwingung a) Erläuterung Bei unserem Versuch der erzwungenen Schwingung, hatten wir ein Schwungrad, welches mit einer Blattfeder verbunden war, hierbei geriet die Blattfeder in Schwingung, was sich direkt auf unser Laufrad übertrug. Mit Hilfe einer Skala, welche von null bis zwanzig in beiden Richtung um das Laufrad herumverlief, konnte man den Ausschlag mit einer in Ruhe nach oben zeigenden Anzeigenadel ablesen. An unserer Blattfeder war über ein Gestänge ein Servomotor angeschlossen, welcher in Betrieb mit Hilfe der Blattfeder eine Schwingung auf unser Laufrad übertrug. Eine Spule erzeugte, wenn in Betrieb genommen, eine Bremswirkung, da die Kraft dem durch einen bewegten Leiter erzeugten Magnetfeld entgegenwirkte. Mit Hilfe des PC's, wurden die Daten gesammelt und in Diagramme für dieschwingung und den Phasenraum aufgezeichnet. Die Aufzeichnung des Phasenraums sollte aber erst beim letzten Experiment entscheidend sein. Hierbei befestigte man zwei starre Körper, vorzugsweise Magneten von bestimmter Masse am Laufrad. Das sollte dazu führen, dass das Laufrad entweder in dem linken oder dem rechten Potentialtopf schwingt und zwischendurch zufällig die Potentialtöpfe wechselt.

2 b) Bestimmung der Eigenkreisfrequenz Hierbei sollten die Eigenkreisfrequenzen ermittelt werden. Wir sollten 5 Schwingungen betrachten und davon die Zeit stoppen, was bedeutet, dass unsere Periodendauer unsere ermittelte Zeit geteilt durch fünf entspricht.somit ergibt sich für unsere Eigenkreisfrequenz ω0: ω 0 = 5 2π / T 0 Wobei TE unserer gemessenen fünfachen Periodendauer entspricht. Da wir das bei 5 verschiedenen Messungen machen sollten, wiederholen wir die Rechnung für alle fünf Messergebnisse und bilden den Mittelwert: T E [s] ω 0 [s -1 ] 8,8 3,5700 9,0 3,4907 8,6 3,6530 9,2 3,4148 9,0 3,4907 Und als Mittelwert erhalten wir: ω 0 = 3,52 s -1 c) Bestimmung des Dämpfungsmaß β Die Schwingung des Pendels ist selbst bei ausgeschalteter Wirbelstrombremse aufgrund von Reibungskräften, wie unter anderem Luftreibung aber vor allem auch Reibung mit der Aufhängung, gedämpft. Um das Dämpfungsmaß β in Abhängigkeit von der Auslenkung zu ermitteln haben wir das Pendel bei ca. 20 verschiedenen Auslenkungen ϕ1 starten lassen und dann nach jeweils 10 bzw. 20 Perioden die übrig gebliebene Maximalauslenkung ϕ2 bestimmt. Zur Berechnung des Dämpfungsmaßes β haben wir nun die Definition des sog. Logarithmischen Dekrements benutzt, welche die Dämpfung einer Schwingung charakterisiert: δ := ln(ϕ 1 /ϕ 2 ) = βt 0 Wobei T0 für die Periodendauer der Eigenschwingung steht. Umgestellt nach β und unter Berücksichtigung, dass wir über mehrere Perioden hinweg gemessen haben, erhalten wir: β = ln(ϕ 1 /ϕ 2 )/(nt 0 )

3 wobei n für die Anzahl der Perioden steht. Es ergibt sich folgende Tabelle: ϕ 1 ϕ 2 n β 18,0 16,5 10 0, ,0 14,8 10 0, ,0 12,8 10 0, ,0 11,0 10 0, ,0 9,0 10 0, ,5 8,6 10 0, ,0 8,2 10 0, ,5 7,7 10 0, ,0 7,0 10 0, ,5 6,2 10 0, ,0 5,8 10 0, ,5 5,4 10 0, ,0 5,0 10 0, ,5 4,5 10 0, ,0 3,4 20 0, ,5 2,4 20 0, ,0 2,2 20 0, ,5 1,2 20 0, ,0 0,4 20 0, ,5 0,3 20 0, ,0 0,3 20 0, ,5 0,1 20 0, ,0 0,1 18 0, ,5 0,1 10 0, Das Dämpfungsmaß nimmt bei sinkender Auslenkung zu. Der Grund da für ist in den Formeln der kinetischen Engergie und der Reibung zu finden. Während die kinetische Energie E kin = Jω²/2 proportional zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit ω ansteigt, steigt die Reibungskraft nur linear proportional zur Winkelgeschwindigkeit an: F R = Cω Somit fällt der Energieverlust durch die Reibungskraft bei großen Amplituden (und damit größeren Winkelgeschwindigkeiten) weniger ins Gewicht als bei kleinen Auslenkungen. Während das Dämpfungsmaß bei sinkenden Auslenkungen stark ansteigt, nimmt es bei größeren Auslenkungen einen nahezu konstanten Wert an:

4 0,1 0,09 Dämpfungsmaß (1/s) 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Auslenkung (Skalenteilen) In unserem Versuch haben wir, wie im Graph zu erkennen ist, ab einer Auslenkung von ca. 5 Skalenteilen (ca 45 Grad) ein relativ konstantes Dämpfungsmaß erreicht. II. Erzwungene Schwingung a) Bestimmung der Resonanzfrequenz Zur Bestimmung der Resonanzfrequenz stellten wir den Elektromotor auf eine Frequenz nahe der Eigenkreisfrequenz des Pendels ein und beobachteten den Ausschlag. Den größten Ausschlag konnten wir bei einer Dauer von 8,8s für 5 Perioden ermitteln. Dies entspricht einer Erregerkreisfrequenz von ωe = 3,57s -1. Das entspricht einer Differenz von 0,05s -1 zwischen Erregerresonanzfrequenz und Eigenfrequenz des Pendels. Dieser Effekt ist abhängig von dem Grade der Dämpfung: Je größer die Dämpfung, desto niedriger liegt die Erregerresonanzfrequenz über der Eigenfrequenz des Pendels. Beschrieben wird dieser Effekt durch folgende Formel: ω R = ω 0 2-2β² In unserem Fall liegt die gemessene Erregerresonanzfrequenz über der Eigenfrequenz des Pendels, dies kann jedoch eigentlich nicht sein. Da wir mit einer sehr geringen Dämpfung

5 (U = 1,5V) gearbeitet haben und die Ermittlung der Frequenz mittels Stoppuhr nicht unbedingt sehr genau ausfällt ist die Wahrscheinlichkeit eines Messfehlers recht groß. b) Darstellung der Resonanzkurve Für die Darstellung der Resonanzkurve haben wir weitere Messungen der Auslenkung bei verschiedenen Erregerfrequenzen (jeweils 10 unterhalb und oberhalb der Resonanzfrequenz) durchgeführt: 14 Auslenkung (Skalenteilen) Erregerkreisfrequenz (1/s) Zur Verdeutlichung des Verhaltens der Resonanzkurve bei größerer Dämpfung (kleinere Amplituden, Verschiebung der Resonanzerregerfrequenz zu tieferen Frequenzen) haben wir folgende Grafik erstellt, welche die theoretische Kurve mit höherer Dämpfung mit unserer gemessenen Kurve vergleicht:

6 14 Auslenkung (Skalenteilen) Erregerfrequenz (1/s) (rot: fiktive Kurve schwarz: gemessene Kurve) c) Bestimmung der Phasendifferenz Für die Bestimmung der Phasendifferenz mussten wir zuerst das Dämpfungsmaß β der erzwungenen Messung bestimmen. Dazu benutzen wir die Formel für die Resonanzüberhöhung A: A := ϕ 0m /γ 0 ω 0 /2β Wobei ϕ0m der Maximalamplitude der erzwungenen Schwingung, γ0 der Maximalamplitude und ω0 der Eigenkreisfrequenz entspricht. Zu beachten ist bei dieser Formel, dass die einzelnen Verhätnisse nur dann gleichzusetzen sind, wenn die Erregerfrequenz in etwa der Eigenkreisfrequenz entspricht. Wir stellen die Formel nun nach β um: β = ω 0 γ 0 /2ϕ 0m Nach Einsetzen unserer experimentell bestimmen Werte (γ0 = 0,6 Skalenteile ϕ0m = 13,0 Skalenteile ω0 = 3,52s -1 ) erhalten wir β = 0,08 Mithilfe des Dämpfungsmaß β können wir nun die Phasenverschiebung ψ berechnen: ψ = arctan[2βω E /(ω 0 ²-ω² E )]

7 Erregerfrequenz ω E (s -1 ) Phasenverschiebung ψ 7, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Aus diese Werten ergibt sich folgende Grafik: 1,5 1 Phasenverschiebung 0,5 0-0,5-1 -1, Erregerfrequenz Somit kann man in Kombination mit den Verhältnissen zwischen Erregerfrequenz und Frequenz des Drehpendels sehr schön das Verhältnis zwischen Phasenverschiebung und Frequenz des Drehpendels ablesen:

8 Bei hohen und niedrigen Erregerschwingungen passt sich das Drehpendel von der Phase her an, die Phasenverschiebung beträgt in diesen Fällen ungefähr 0. Je näher man sich nun jedoch dem Resonanzfall nähert, desto größer wird die Phasenverschiebung, bis sie im Falle der Resonanz den Wert π/2 einnimmt, somit also um einen viertel Umlauf Verschoben ist. Dieses Ergebnis erscheint auch logisch, da die Schwingung bereits nach dem Durchgang durch den Nullpunkt wieder in entgegengesetzter Richtung beschleunigt wird und somit eine Phasenverschiebung um π/2 diese Beschleunigung am effektivsten (also ohne der Eigenbeschleunigung zu irgendeinem Zeitpunkt entgegenzuwirken) verstärkt. III. Chaotische Schwingung Auf dem ersten Diagramm erkennen wir eine erzwungene Schwingung, diese ist leicht abgebremst, deswegen wird die Amplitude auch geringer, es stellt sich jedoch zum Schluss ein Gleichgewicht ein. Auf dem zweiten Diagramm erkennen wir den zum ersten Diagramm passenden Phasemraum leicht zur Mitte hin (spätere Umläufe) abgeschwächt, doch dann laufen die Bahnen fast kongruent. Hierbei lässt sich auch erkennen, dass eine perfekte sinus oder cosinus- Funktion eine perfekte Ellipse im Phasenraum ergeben würde. Im 3. Diagramm, lässt sich eine scheinbar abnorme Schwingung erkennen, dabei handelt es sich um den Versuch mit der zusätzlichen Schwingmasse, diese erzeugt zwei Schwingungen, einmal auf der rechten und dann auf der linken Seite der Skalenmitte. Vom Zeitindex 2,5 s aus betrachten steigt die Schwingung zuerst bis zu ihrer maximalen Auslenkung, schwingt zurück und wird dann schwächer, deshalb flacht die Kurve ab und die Ellipse wird kleiner. Danach springt die Nadel auf die entgegengesetzte Seite und es beginnt von vorn. In handelt sich um eine Schwingung in zwei verschiedenen Potentialtöpfen. Dies kann man im Vergleich auch wunderbar im 4. Diagramm sehen, ein positiver Potentialtopf rechts, mit einer positiven Auslenkung, diese wird geringer, das schwungrad springt über die Nullmarke und es folgt der negative Potentialtopf. Christian Müller Jan Philipp Dietrich

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