S1 Bestimmung von Trägheitsmomenten

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1 Christian Müller Jan Philipp Dietrich S1 Bestimmung von Trägheitsmomenten Versuch 1: a) Versuchserläuterung b) Messwerte c) Berechnung der Messunsicherheit ud u Versuch 2: a) Erläuterungen zum Versuchsaufbau b) Werte für die Schwingungsdauer und Berechnung des Trägheitsmomentes JT J c) Berechnung der Messunsicherheit Versuch 3: a) Berechnung des Trägheitsmomentes JZ J eines Zylinders b) Berechnung der Messunsicherheit Versuch 4: a) Erläuterung zum Versuchsaufbau b) Messwerte für die Radien s0 s s6 und die Periodendauer c) Satz von Steiner d) Berechnung der Messunsicherheit des Direktionsmomentes e) Neuberechnung der Trägheitsmomente f) Messunsicherheit des Trägheitsmomentes Jz J Versuch 1: a) Versuchserläuterung

2 Bei diesem Versuch hatten wir auf einem Stativ eine Kreisscheibe, welche drehbar gelagert mit einer Blattfeder verbunden war, welche für eine Schwingung sorgte. An der Tischkante wurde ein Stativ mit einem Rädchen befestigt. An der Kreisscheibe wurde ein Faden befestigt, dieser wurde in einer Rille um die Kreisscheibe gewickelt. Wir haben den Faden dann über das Rädchen gelegt und eine Masse von 5 g daran gehengt, was für eine Spannung des Fadens sorgte. Mit diesen 5 g haben wir dann den Nullpunkt bestimmt, welchen man an der Anzeigenadel mit Hilfe der gekennzeichneten Gradlinien auf der Kreisscheibe bestimmen konnte. An den Faden haben wir danach Massestücke gehängt und die Auslenkung vom neu bestimmten Nullpunkt ermittelt. Mit diesen Werten, können wir nun das Direktionsmoment des Tisches bestimmen. b) Messwerte Masse [kg] Auslenkung ϕ 0, , , , , , , , , , Die weiter aufgeführten Werte wurden nicht benutzt, da die benutzten Formeln nur für kleine Auslenkwinkel gelten. Masse [kg] Auslenkung ϕ 0, , , Mit den Werten der Auslenkung und der Masse, lässt sich nun das Direktionsmoment berechnen. c) Berechnung des Direktionsmomentes D des Drehtisches und Graphik Bei der Berechnung des Direktionsmomentes D gilt für das Drehmoment M: MS = - D ϕ Hierbei setzen wir das Drehmoment mit dem Äußeren Drehmoment gleich. = Ma MS = M Ma = r x F Da bei unserem Versuch der Radius orthogonal zur Kraft steht, wobei F = mg ist, kann man für Ma schreiben: Ma = rmg Eingesetzt in die Gleichung für das Direktionsmoment und umgestellt nach D ergibt dies: D = rmg / ϕ

3 Der Radius r ist hierbei genau 10 cm, welcher in einem späteren Versuch noch zu bestimmen war. Die Masse m steht für das jeweilig angehangene Massestück im Versuch 1 und g = 9,81 m/s 2. Werte für die Berechnung des Direktionsmomentes D: Masse [kg] m*r*g [Nm] ϕ [rad] D [Nm] 0,007 0, , ,0358 0,009 0, , ,0202 0,01 0, , ,0187 0,012 0, , ,0161 0,014 0, , ,0143 0,015 0, , ,0126 0,017 0, , ,0121 0,019 0, , ,0110 0,02 0, , ,0110 0,022 0, , ,0100 Als Beziehung zwischen dem Auslenkwinkel ϕ (in Rad) und dem Drehmoment Ma ergibt sich aus den Messwerten folgende Grafik: 0,025 0,02 Ma [Nm] 0,015 0,01 0, ,5 1 1,5 2 2,5 Phi [Rad] Zur Bestimmung des Direktionsmomentes der Drehscheibe berechnen wir nun den Mittelwert. Somit ergibt sich für D: D = 0,0162 Nm c) Berechnung der Messunsicherheit Um die Messunsicherheit des Direktionsmomentes bestimmen zu können, müssen wir zunächst die Messunsicherheiten der einzelnen Faktoren der Formel bestimmen: D = rmg / ϕ Den Radius r der Scheibe haben wir mithilfe eines Mess-Schiebers gemessen. Die Skalenstriche waren jeweils 1mm voneinander entfernt. Dies ergibt eine Ableseungenauigkeit von 0,5mm.

4 Die Masse der Massenstücke war vorgegeben. Eine Unsicherheit war hierbei nicht angegeben. ϕ haben wir an der Scheibe abgelesen. Der Abstand zwischen 2 Skalenstrichen betrug 5. Somit ergibt sich eine Ableseungenauigkeit von 2,5. Mit den so gewonnenen Messunsicherheiten und des Fehlerfortpflanzungsgesetztes, dass in diesem Fall U D = D ( U r /r + U ϕ /ϕ ) lautet, können wir nun die Messunsicherheit des Direktionsmomentes der Schreibe bestimmen: U D = 0,0008Nm Somit erhalten wir als Endergebnis für das Direktionsmoment: D = (16,2 ± 0,8) 10-3 Nm Versuch 2: a) Erläuterungen zum Versuchsaufbau Bei diesem Versuch haben wir die Drehscheibe ohne weitere Masseanhänge oder Fadenverbindungen schwingen lassen um die Schwingungsdauer zu bestimmen. Dabei haben wir 10 Messungen vorgenommen und jeweils 5 Schwingungen gemessen. Messwerte der Schwingungsdauer und Berechnung des Trägheitsmomentes 5T [s] T [s] 6,75 1,35 6,75 1,35 6,75 1,35 6,25 1,25 Bei unserem Versuch haben wir jeweils die Zeit für 5 Schwingungen gestoppt (5T). Dementsprechend ergeben sich die Werte für die Periodendauer T. Mit diesen Werten und dem im ersten Versuchen bestimmten Direktionsmoment der Kreisscheibe können wir nun das Trägheitsmoment J berechnen. Hierbei gilt: T = 2π ( 2 ( J/D ) 1/2

5 Nach J umgestellt ergibt dies: J = (T/2π)² )² D Somit ergibt sich für das Trägheitsmoment: T [s] J [kgm²] 1,35 0, ,35 0, ,35 0, ,25 0, Und als Mittelwert für das Trägheitsmoment der Drehscheibe folgt somit: J = 0, kgm² b) Berechnung der Messunsicherheit des Trägheitsmomentes Zur Berechnung der Messunsicherheit des Trägheitsmomentes schauen wir uns zunächst wieder die Formel an: J = (T/2π)² )² D Die Messunsicherheit für D haben wir bereits bestimmt: UD = 0, Nm. Als Messunsicherheit der Umlaufzeit können wir die Reaktionszeit eines Menschen nehmen, da diese wesentlich größer ist als der systematische Fehler der Stoppuhr an sich. Man benutzt in der Regel einen Wert von 0,1s für die Reaktionszeit eines Menschen beim Stoppen. Setzen wir nun diese Werte in unsere Formel für die Fehlerfortpflanzung U J = J ( 2U T /T + UD/D ) D ) ein, erhalten wir: UJ = 0, kgm² Wir erhalten somit für das Trägheitsmoment als Ergebnis: J = (0,7±0,2) 0,2) 10-3 kgm²

6 Versuch 3: a) Berechnung des Trägheitsmomentes JZ J eines Zylinders Das Trägheitsmoment eines Zylinders berechnet sich über die Formel Jz = mr²/2 In unserem Versuch haben wir zunächst die Durchmesser der beiden zu untersuchenden Zylinder jeweils 5 mal gemessen und danach die Masse mithilfe einer elektronischen Waage gewogen. Unsere Messungen ergaben folgende Werte: Durchmesser [m] 0,063 0,063 0,063 0,063 0,063 Masse für unsere Zylinder: mzk = 243,4g +/- 0,1g mzg = 487,5g +/- 0,1g Wenn wir nun diese Werte in unsere Formel für das Trägheitsmoment einsetzen, erhalten wir: zk = 1,21 *10-4 kgm² Jzk zg = 2,42 *10-4 kgm² Jzg Wobei Zk der kleinere Zylinder und Zg der größere Zylinder ist. b) Berechnung der Messunsicherheiten Aus der Formel für das Trägheitsmoment eines Zylinders Jz = mr²/2 Und aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz ergibt sich folgende Formel für die Messunsicherheit: U J = J z ( U m /m + 2Ur/r ) r ) Als Messunsicherheit der Waage war ein Wert von 0,1g angegeben und als Messunsicherheit des Radius ergibt sich aufgrund derselben Ergebnisse in allen Messungen die Ableseungenauigkeit, welche bei dem verwendeten Messschieber 0,5mm beträgt.

7 Somit erhalten wir folgende Messunsicherheiten: UJk = 3,89 *10-6 UJg = 7,73 *10-6 Als Endergebnis erhalten wir somit: J zk = (1,21 ± 0,04) *10-4 kgm² J zg = (2,42 ± 0,08)*10-4 kgm² Versuch 4: a) Erläuterung zum Versuchsaufbau Mit Hilfe dieses Versuchsaufbaus ermitteln wir die Periodendauer der Kreisscheibe, wenn an den jeweilig angegebenen Strecken s0 s6 die beiden Zylinder unterschiedlicher Masse befestigt werden. Hierbei messen wir wieder 5 Perioden und das pro Zylinder und Strecke je drei mal. Dadurch ergeben sich die bei b angezeigeten Werte. Hierbei wollen wir das Trägheitsmoment auf andere Weise bestimmen, damit wird verglichen, welche der beiden Messmethoden die Bessere und genauere ist.

8 b) Messwerte für die Radien s0 s s6 und die Periodendauer Messungen mit großem Zylinder, m = 487,5g +/- 0,1g S t1 [s] t2 [s] t3 [s] Mittelwert 5T [s] Mittelwert T [s] s0 8,2 8,4 7,8 8,13 1,63 s ,1 9,03 1,81 s2 10,2 10,4 10,6 10,40 2,08 s3 13,2 13, ,20 2,64 s ,2 15,07 3,01 s5 17,8 18,2 17,9 17,97 3,59 s , ,27 4,05 Messungen mit kleinem Zylinder, m = 243,4g +/- 0,1g S t1 [s] t2 [s] t3 [s] Mittelwert 5T [s] Mittelwert T [s] s0 7,5 7,3 7,2 7,33 1,47 s1 8 7,7 7,9 7,87 1,57 s2 8,8 8,7 8,8 8,77 1,75 s3 10,4 10,5 10,4 10,43 2,09 s4 12, ,1 12,07 2,41 s5 14,2 13, ,33 2,87 s6 16,3 16,2 16,4 16,30 3,26 c) Satz von Steiner Die Steinersche Formel in einer für unseren Versuch modifizierten Form lautet: J = Jt + Jz + ms² Dies bedeutet, dass man das Gesamtträgheitsmoment des Systems Scheibe + Zylinder berechnen kann, wenn man die einzelnen Trägheitsmomente, die Masse des Zylinders m und den Abstand des Zylinderschwerpunktes zur Drehachse s kennt. Wenn wir nun noch das Gesamtträgheitsmoment nach dem Quadrat der Umlaufzeit T auflösen, so erhalten wir: T² = 4π²/D (Jt + Jz + ms²) Da in dieser Formel nur noch T und s variabel sind, können wir nun jeweils eine Gerade für jeden Zylinder aufstellen, die die Beziehung T²(s²) wiedergibt. Gleichzeitig können wir dann diese über den Steinerschen Satz hergeleitete Gerade mit unseren Messwerten für T² und s² vergleichen. Stimmen diese überein, so hat unser Versuch den Steinerschen Satz bestätigt:

9 T² [1/s²] ,002 0,004 0,006 0,008 0,01 s² [m²] (rot: kleiner Zylinder blau: großer Zylinder ) Die Geraden entsprechen in etwa den erwarteten Werten, allerdings scheint das zuvor bestimmte Direktionsmoment sehr ungenau zu sein, sodass die Geradenanstiege der gemessenen Werte mit den Geradenanstiegen der berechneten Werte differieren. Da das Anstiegsverhältnis zwischen berechneten und gemessenen Anstiegen in etwa gleich ist, scheint der Steinersche Satz trotzdem bewiesen zu sein. Mithilfe der so berechneten Geraden können wir nun das Direktionsmoment D erneut berechnen, dazu nutzen wir wiederum die Formel der Geraden: T² = (Jt + Jz + ms²)4π²/d Aus dieser Formel lässt sich ablesen, dass die Steigung der Geraden gerade a = 4π²m/D beträgt. Somit ergibt sich als Formel für das Direktionsmoment: D = 4π²m/a Dk = 0,0098 Nm Dg = 0,0121 Nm Als Mittelwert für D erhalten wir somit: D = 0,0109 Nm d) Berechnung der Messunsicherheit des s Direktionsmomentes

10 Als Messunsicherheit für a erhalten wir: U a = a( 2U T /T + 2U s /s ) U a = 404,3 Somit ergibt sich wiederum über das Lineare Fortpflanzungsgesetz für U D : U D = D( U a /a + U m /m ) U D = 4,5 *10-4 Somit ergibt sich ein Endergebnis von: D = (1,09 ± 0,05) *10 2 Nm e) Neuberechnung der Trägheitsmomente Über das neu bestimmte Direktionsmoment können wir nun auch die Trägheitsmomente neu berechnen., zunächst das Trägheitsmoment der Scheibe Jt: Zur Berechnung verwenden wir wiederum die Formel aus Versuch 2 Jt = (T/2π)² D Und den gemessenen Mittelwert für T aus Versuch 2. Somit erhalten wir für Jt: Jt = 0,00047 kgm² Nun sind wir auch in der Lage die Trägheitsmomente der einzelnen Zylinder über den Steinerschen Satz zu bestimmen: Jz = T²D/4π² - ms² - Jt Wobei hier T wiederum für die in Versuch 4 bestimmten Umlaufzeiten steht. Wir erhalten somit folgende Ergebnisse: Mittelwert T T²*D/4*Pi² s mg*s² T²*D/4*Pi²-Jt Jzg 1,63 0, , , , ,81 0, ,018 0, , , ,08 0, ,032 0, , , ,64 0, ,049 0, , , ,01 0, ,064 0, , , ,59 0, ,079 0, , , ,05 0, ,098 0, , ,

11 mk*s² Jzk 1,47 0, , , , ,57 0, ,018 0, , , ,75 0, ,032 0, , , ,09 0, ,049 0, , , ,41 0, ,064 0, , , ,87 0, ,079 0, , , ,26 0, ,098 0, , , Die hierfür errechneten Mittelwerte der Trägheitsmomente für die beiden Zylinder lssen sich nun mit den Werten aus Aufgabe 3 vergleichen. DerMittelwert für die jeweiligen Zylinder sind: Zk = 0, kgm² JZk Zg = 0, kgm² JZg Vergleicht man diese Werte mit den in Aufgabe 3 berechneten Werten, so sieht man, dass sie in etwa miteinander übereinstimmen. Insbesondere ist das Verhältnis zwischen JZg und JZk erhalten geblieben ( 1:2 ). f) Messunsicherheit des Trägheitsmomentes Jz J Für die Messunsicherheit von Jz erhalten wir folgende Formel: U J = ( J/ T) U T + ( J/ D) U D + ( J/ m) U m + ( J/ s) U s + ( J/ J t ) U Jt U J = TD/2π² U T + T²/4π² U D + s² U m + 2ms U s + U Jt Rechnen wir dies für den kleineren Zylinder aus, so erhalten wir: U J = 0,00004 Zk= = (1,6 ± 0,4 )*10 4 kgm² JZk Christian Müller Jan Philipp Dietrich

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