Trägheitsmoment - Steinerscher Satz

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1 Trägheitsmoment - Steinerscher Satz Gruppe 4: Daniela Poppinga, Jan Christoph Bernack Betreuerin: Natalia Podlaszewski 13. Januar

2 Inhaltsverzeichnis 1 Theorieteil Frage Trägheitsmoment - Steinerscher Satz Trägheitsmoment einer Kreisscheibe Bestimmung der Lage eines Schwerpunktes eines unregelmäßig geformten Körpers 7 2

3 1 Theorieteil 1.1 Frage 2 Das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe lässt sich wie folgt herleiten: Allgemein gilt für ein Trägheitsmoment: I = r 2 dm (1) dm entspricht in diesem Fall einem infinitesimal kleinem Volumenteil der Kreisscheibe, sodass gilt: dv = r dφ dr dz. Somit gilt für das allgemeine Integral: I = ρ r d 2π I = ρ r 2 r dφ dz dr (2) r 0 2πdr 3 dr (3) I = 1 4 r4 2πdρ (4) Für die Masse M gilt M = πr 2 dρ, sodass letztlich für das Trägheitsmoment einer Kreisscheibe gilt: I = 1 2 mr2 (5) 2 Trägheitsmoment - Steinerscher Satz 2.1 Trägheitsmoment einer Kreisscheibe In diesem Versuchsteil soll das Trägheitsmoment einer Messingkreisscheibe mit folgendem Versuchsaufbau gemessen werden: Der Aufbau besteht aus einem Drehteller an dem mit einem Faden ein Massestück befestigt ist. Wird das Massestück am Faden fallen gelassen, dreht es durch seine Gewichtskraft die Drehscheibe. Für die Vermessung des Trägheitsmoment werden fünf verschiedene Gewichte an einem Faden hängend fallen gelassen und jeweils die Zeit t (gemittelt über vier Einzelmessungen) gemessen, die das Massestück für eine bestimmte Länge l benötigt. Die Messung geschieht mit einer Lichtschranke am unteren Ende der Strecke und einem Magneten der die Drehscheibe zunächst blockiert. Wird der Magnet gelößt, beginnt die Zeitmessung und das Massestück fällt zu Boden. In dem Moment, wo es die Lichtschranke passiert, stoppt die Messung. 3

4 Abbildung 1: Versuchsaufbau der Drehscheibe. Es besteht weiterhin folgender formaler Zusammenhang: F 1 := mg (m + m e )a = I 2l r 2 t 2 + F rd (6) wobei m e = 2,2g und a = 2l t. 2 Alle Größen dieser Gleichung außer dem Trägheitsmoment I und der an der Drehachse wirkenden Reibungskraft F rd sind bekannt, sodass als Auswertung 2l ein Graph von F 1 über r 2 t gezeichnet werden kann. Die Steigung der entstehenden Ausgleichsgerade ist dann genau das Trägheitsmoment I und der 2 y-achsenabschnitt die Reibungskraft F rd. Um also schließlich das Trägheitsmoment einer Messingkreisscheibe zu bestimmen wird der Versuch einmal mit der leeren Drehscheibe durchgeführt und einmal mit der auf der Drehscheibe liegenden Messingdrehscheibe. Die Differenz der berechneten Trägheitsmomente entspricht dabei dem Trägheitsmoment der Messingscheibe. In diesem Versuch ergaben sich dabei folgende Messwerte, wobei bei der Messung ohne Messingscheibe 4 Einzelmessungen masikert wurden und somit nicht in die Auswertung miteingehen: Masse m / g Länge l / cm Zeit t / s 6,08 64,9 1,99 4,87 65,6 2,04 3,97 66,39 2,29 3,05 66,9 2,71 1,97 67,37 3,42 Tabelle 1: Messwerte bei einer leeren Drehscheibe, Messwerte für t jeweils aus 4 Einzelmessungen gemittelt. 4

5 Masse m / g Länge l / cm Zeit t / s 6,08 64,9 2,06 4,87 65,6 2,24 3,97 66,39 2,45 3,05 66,9 2,85 1,97 67,37 3,60 Tabelle 2: Messwerte bei aufliegender Messingscheibe, Messwerte für t jeweils aus 4 Einzelmessungen gemittelt. Es ergeben sich somit folgender Graph mit jeweiligem Fitergebnis: 0,060 0,055 F1 (leer) F1 (Messing) Lineare Anpassung von F1 (Messing) Lineare Anpassung von F1 (leer) 0,050 0,045 Kraft F1 / N 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0, (2l) / (r²t²) / 1/(ms²) Abbildung 2: Kraft F 1 über 2l r 2 t 2 aufgetragen für die Werte ohne und mit aufliegender Messingscheibe. Zusätzlich linear gefittet. 5

6 A B C D 1 Gleichung y = a + b*x 2 Gewichtung Keine Gewichtung 3 Fehler der 5,12158E-5 Summe der Quadrate 4 Kor. R-Quadrat 0, Wert Standardfehler 6 Schnittpunkt m -8,01018E-5 0,00576 F1 (leer) it der Y-Achse 7 Steigung 1,41283E-4 2,04944E-5 Abbildung 3: Ergebnis der linearen Regression ohne Messingscheibe. A B C D 1 Gleichung y = a + b*x 2 Gewichtung Keine Gewichtung 3 Fehler der 1,01305E-5 Summe der Quadrate 4 Kor. R-Quadrat 0, Wert Standardfehler 6 Schnittpunkt m -0, ,00256 F1 (Messing) it der Y-Achse 7 Steigung 1,64844E-4 1,03152E-5 Abbildung 4: Ergebnis der linearen Regression mit Messingscheibe. Wie man in Abb. 6 erkennen kann, ergibt sich der erwartete lineare Zusammenhang. Allerdings zeigt sich ebenfalls, dass der lineare Fit bei der leeren Drehscheibe mit einem R 2 = 0,92 nicht gut ist. Dies lässt sich durch anfängliche Probleme mit der Zeitmessung erklären. Die Lichtschranke muss exakt ausgerichtet sein, da sonst das Massestück nicht erkannt wird, wenn es die Schranke passiert, sondern dafür der Faden oder ähnliches. Nach dieser Messung ergeben sich jedoch folgende Trägheitsmomente (I = Gesamtes Trägeheitsmoment, I D = Trägheitsmoment der Drehscheibe, K = Trägheitsmoment des Körpers): I = 1, kg m 2 (7) I D = 1, kg m 2 (8) I K = I I D = 0, kg m 2 (9) Es ergibt sich also ein Trägheitsmoment der Messingscheibe von 0, kg m 2. 6

7 2.2 Bestimmung der Lage eines Schwerpunktes eines unregelmäßig geformten Körpers Nachdem im vorherigen Versuchsteil das Trägheitsmoment einer Scheibe bestimmt wurde, geht es in diesem Teil darum, den Schwerpunkt eines unregelmäßig geformten Körpers zu bestimmen. Dazu wird dieser auf der Drehscheibe befestigt und es wird erneut ein Massestück fallen gelassen. Es wird wiederum aus vier Einzelmessungen die Zeit t bestimmt, die das Massestück benötigt, abhängig von der Position des Körpers auf der Drehscheibe. Zur Befestigung dienen Löcher in der Drehachse, sodass die Zeit für verschiedene Positionen des Körpers gemessen werden kann (s. Skizze). Dabei ist zu bemerken, dass jeweils der längere Stift im Probekörper die Position P angibt. Abbildung 5: Versuchsaufbau zur Bestimmung des Schwerpunkts eines unregelmäßig geformten Massestücks. Wird das äußerste Loch der Scheibe mit Nummer 1 bezeichnet, ergeben sich folgende Messwerte: 7

8 Loch Zeit t / s 3 3, , , , , , , , , ,22475 Tabelle 3: Messwerte zur Bestimmung des Schwerpunkts eines unregelmäßig geformten Körpers. Masse des Gewichtsstück: m = 3,97g Es ergibt sich folgender Graph: 3,3 mittlere Fallzeit t / s Polynomfit 2.Grades 3,2 3,1 mittlere Fallzeit t / s 3,0 2,9 2,8 2,7 2, Loch Abbildung 6: Mittlere Fallzeit t über das jeweilige Loch auf der Drehscheibe aufgetragen. 8

9 1 A B C D y = Intercept + B1*x^1 + B2*x^2 Gleichung 2 Keine Gewicht Gewichtung ung 3 Fehler der 4,37169E-4 Summe der Quadrate 4 Kor. R-Quadrat 0, Wert Standardfehler 6 Schnittpunkt mi 3, ,01793 mittlere Fallzeit t der Y-Achse 7 t / s B1-0, , B2 0, ,43921E-4 Abbildung 7: Ergebnisse des Polynomfits. Aus dem Fit ergibt sich somit folgende Parabelgleichung: t(l) = 0,026L 2 0,382L + 4,0 (10) Durch bilden der ersten Ableitung und Nullsetzen dieser, erhält man das Minimum der Parabel, was der minimalen Fallzeit t enstpricht und dem dazugehörige Lochabstand: t (L) = 0,052L 0,382 = L min = 7,35 (11) Geht man davon aus, dass der Lochabstand zweier Löcher 1cm beträgt und die Scheibe 14 Löcher besitzt, ist das Minimum 0,15cm vom Mittelpunkt entfernt. Entsprechend der Skizze ergibt sich so ein Y = 0,15cm. Wie im Skript beschrieben, wird auf die Berechnung des X-Abstands aus Zeitgründen verzichtet. 9