Protokoll zum Versuch M7: Das Trägheitsmoment bei der Drehbewegung Bestimmung von J experimentell und theoretisch

Transkript

1 Protokoll zum Versuch M7: Das Trägheitsmoment bei der Drehbewegung Bestimmung von J experimentell und theoretisch Jan Christoph M Tobias F Abgabedatum: 24. April 2007

2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Das Trägheitsmoment bei der Drehbewegung Klärung des physikalischen Zusammenhangs Gleichförmige und Gleichförmig Beschleunigte Bewegung Gravitation und die Newtonschen Axiome Trägheitskräfte Herleitung des Trägheitsmoments J über die Translation Translation und Rotation - Zusammenhänge Der Steinersche Satz Versuchsaufbau Durchführung Messwerte und Angabe der Fehler Auswertung Genauigkeit der Messung Fehlerrechnung Theoretische Bestimmung von J Zusammenfassung Literaturverzeichnis Quellennachweis Bilder und Tabellen Anhang Diagramme in A

3 1 DAS TRÄGHEITSMOMENT BEI DER DREHBEWEGUNG 2 1 Das Trägheitsmoment bei der Drehbewegung Das Trägheitsmoment ist eine physikalische Größe, der bei Drehbewegungen von Körpern eine wesentliche Bedeutung zukommt. Es entspricht der Masse bei einer geradlinigen Bewegung. Ähnlich schwer wie eine große Masse zu beschleunigen ist, sind Körper mit großem Trägheitsmoment in Drehung zu versetzen. 1.1 Klärung des physikalischen Zusammenhangs Als Grundlagen für den Versuch dienen die Prinzipien der gleichförmigen und der beschleunigten Bewegung bei der Translation. Diese werden für den Versuch der Drehbewegung auf die Rotation übertragen, da die Rotation in diesem Fall nichts anderes ist als Translation auf der Kreisbahn. Des weiteren werden die drei Newtonschen Axiome verwendet, um die Formel für das Drehmoment J herzuleiten Gleichförmige und Gleichförmig Beschleunigte Bewegung Um die Bewegung von Massepunkten zu verstehen, muss man Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Beziehung zueinander setzen. Die Geschwindigkeit v ist die Ortsänderung r über einen Zeitraum t 0, also r(t + t) r(t) v(t) := lim = d r t 0 t dt = r. (1) Nach demselben Prinzip ist die Beschleunigung a als Ableitung der Geschwindigkeit v definiert: Insgesamt gilt also v(t + t) v(t) a(t) := lim = d v t 0 t dt = v. (2) a = d v dt = v = d2 r dt = r. (3) In unserem Fallexperiment haben wir es mit einer eindimensionalen Bewegung zu tun, was eine Betrachtung der reinen Beträge der gemessenen Beschleunigungen rechtfertigt. Mit diesen Beziehungen ist es leicht, gleichförmige Bewegung als Bewegung mit v = const und gleichförmig beschleunigte Bewegung durch a = const zu definieren. Legt man ein Bezugssystem zu Grunde, in welchem x(t = 0) = x 0 = 0 und v(t = 0) = v 0 = 0, so ergibt sich nach einfacher bzw. zweifacher Aufleitung von a für die Geschwindigkeit v(t) = a t und für den Ort x(t) = 1 2 a t2. [vp05] Gravitation und die Newtonschen Axiome Jeder Massepunkt hat ein radiales, konservatives Kraftfeld, welches bewirkt, dass zwischen allen Massepaaren m, M eine anziehende Kraft wirkt. Das grundsätzliche Verständnis erfordert nun den Begriff der Kraft. Am brauchbarsten sind die Newtonschen Axiome (nach Sir Isaac Newton, ), welche die Basisdefinition der Wirkung von Kräften liefern. Das erste Axiom (Trägheitsprinzip) besagt, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers konstant ist, wenn die Summe aller Kräfte F gleich 0 ist. Das ist im theoretischen Bild mit Massepunkten erst der Fall, wenn sämtliche Massen sich zu einer einzigen vereint haben, da hier Massen keine Ausdehnung haben. Wenn wir allerdings das

4 1 DAS TRÄGHEITSMOMENT BEI DER DREHBEWEGUNG 3 Beispiel des freien Falls im Gravitationsfeld betrachten, sehen wir, dass, solange wir die Verformung der Körper außer Acht lassen, dieses Kräftegleichgewicht (Equilibrium) eingetreten ist, wenn der sprichwörtliche Apfel die Erde berührt. Nach dem zweiten Axiom sind Richtung der Kraft F und der Beschleunigung a gleich, ihr Betrag proportional und der Betrag von Masse und Kraft ebenfalls proportional, experimental hat Newton ermittelt, dass jenes Verhältnis F m a (4) gilt. Dieses Axiom werden wir im Experiment für ein Massestück und dessen Erdanziehung nachweisen können. Im SI gilt dann sogar F = m a. Das dritte Axiom, auch Actio-Reactio-Prinzip genannt, sagt, dass die Kraft, welche ein Massepunkt A auf den anderen Massepunkt B ausübt, auch von letzterem auf ersteren Körper wirkt. Also gilt F A B = F B A. Dadurch erst tritt die Gravitation zwischen Erde und den vielfach masseärmeren Körpern auf ihr ein Trägheitskräfte Abb. 1: Rasante Kurvenfahrt [Sp05] Trägheitskräfte sind die Folge von Beschleunigungen. Ihre Richtung ist der Beschleunigung entgegengesetzt. Man erkennt Trägheitskräfte nur in einem beschleunigten Bezugssystem; sie sind nur»scheinkräfte«. Kräfte und Trägheitskräfte als Ursache und Wirkung ein und derselben Beschleunigung sind stets gleich groß und entgegengesetzt. Jeder kennt das Beispiel einer scharfen Kurve oder starken Abbremsung beim Autofahren: Die Insassen fühlen sich beschleunigt, in Wirklichkeit werden sie aber nur durch ihre Trägheit in einer Bewegung gehalten, die wegen der Zentripetal- bzw. Bremsbeschleunigung des Wagens nicht mehr möglich ist. Darum rutschen sie im Extremfall vom Sitz - wenn sie nicht angeschnallt sind (siehe Abb. 1).

5 1 DAS TRÄGHEITSMOMENT BEI DER DREHBEWEGUNG Herleitung des Trägheitsmoments J über die Translation Abb. 2: Skizze zur Rotation [UU05] Abb. 3: Skizze zur Bestimmung von J [UU05] Man kann sich zunächst Abb. 2 anschauen, um die Situation zu erkennen. Zunächst ergibt sich für die Winkelgeschwindigkeit analog zur Translation die Formel ω = θ (5) θ steht für den Drehwinkel. Des weiteren ergibt sich für die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit die Winkelbeschleunigung α = ω = θ (6)

6 1 DAS TRÄGHEITSMOMENT BEI DER DREHBEWEGUNG 5 Diese beiden Größen sind im allgemeinen Vektorgrößen. Da eine Kraft an einem äußeren Punkt angreifen muss, um die Scheiben in Bewegung zu setzten, betrachten wir als nächstes die Tangentialgeschwindigkeit sowie die Tangentialbeschleunigung. Erstere ergibt sich aus der Multiplikation der Winkelgeschwindigkeit mit dem Radius r. Des weiteren ergibt sich für die Tangentialbeschleunigung v t = r ω (7) a t = r α (8) Zudem erfährt jeder Massepunkt zusätzlich noch eine Zentripetalbeschleunigung, die sich durch a z = r ω 2 (9) darstellen lässt. Um nun auf das eigentliche Trägheitsmoment zu kommen, betrachten wir den Drehimpuls: L = p r = m v t = m r ω (10) Aus der Kraft F = ṗ für die Rotation ergibt sich nun das Drehmoment als zeitliche Ableitung des Drehimpulses: D = L = p r = F r (11) Solange keine Kraft einwirkt, ist M = 0 und L = const. Das Trägheitsmoment wirkt der durch das Drehmoment verursachten Beschleunigung entgegen. Aus dem 2. Newtonschen Axiom ergibt sich analog zu F = m a D = J α (12) J = D α (13) Für D sprechen wir in diesem speziellen Fall von D = r (m g m a) (siehe Abb. 3), da das Drehmoment der Gewichtskraft entgegen wirkt. Also ergibt sich durch Umformen und Einsetzten für das Trägheitsmoment J folgende Formel, wobei in unserem Fall m a zur Gewichtskraft m g gleich gerichtet ist: J = r2 m ( g a) a (14) Translation und Rotation - Zusammenhänge Die Zusammenhänge zwischen den beiden Bewegungsvorgänge lassen sich sehr schön wie in Tabelle 1 darstellen Der Steinersche Satz Der Steinersche Satz liefert eine einfache Formel für die Berechnung des Trägheitsmoments eines Körpers um eine beliebige zur Schwerpunktachse parallele Achse unter der Voraussetzung, dass das Trägheitsmoment des Körpers bei Drehung um seinen Schwerpunkt bekannt ist. Die Herleitung ist einfach nachvollziehbar, wenn

7 1 DAS TRÄGHEITSMOMENT BEI DER DREHBEWEGUNG 6 Translation Rotation Lage Ortsvektor r Drehachse & Drehwinkel θ Geschwindigkeit v = r ω = θ Beschleunigung a = v = r α = ω = θ Masse m Trägheitsmoment J = mr i 2 1 Kin. Energie 2 mv2 1 2 Jω2 Impuls p = m v Drehimpuls L = J ω Kraft F Drehmoment D = r F Bewegungsgleichung p = F L = D Tab. 1: Analogietabelle zur Translation und Rotation [Ge93] Abb. 4: Illustration zum steinerschen Satz [rwth05] wir Abb. 4 betrachten. J A = = = r i 2 dm = ( r i d) 2 dm (15) r 2 i dm 2d r i dm + d 2 dm (16) }{{}}{{}}{{} (1) (2) (3) r 2 i dm + M d 2 (17) = J S + M d 2 (18) Hier ist mit S die Schwerpunktachse bezeichnet, und A ist eine beliebige Parallele dazu. A darf natürlich auch außerhalb des Körpers liegen, der Satz gilt dann immer noch. (1) ist das ursprüngliche J S mit Drehachse S, (2) fällt bei S als Ursprung des Systems weg und (3) ist das zusätzliche Trägheitsmoment, welches der rotierende Körper durch die Achsenänderung d erhält. 1.2 Versuchsaufbau Wie auf dem ersten Blick in Abb. 5 nicht zu erkennen ist, hängen die Scheiben alle zusammen, das heißt, dass der ganze Apparat in eine Drehbewegung übergeht und nicht nur eine einzelne Scheibe.

8 1 DAS TRÄGHEITSMOMENT BEI DER DREHBEWEGUNG 7 Abb. 5: Versuchsaufbau [PP05]

9 1 DAS TRÄGHEITSMOMENT BEI DER DREHBEWEGUNG 8 Bei diesem Versuch kann der Wert für J experimentell bestimmt werden. Es ergibt sich durch die obenstehende Gleichung für J die Möglichkeit, a mit Hilfe der Messdaten zu bestimmen, indem man aus dem Diagramm die Steigung der Ausgleichsgerade abliest. Diese resultiert daraus, dass man die Fallhöhe s gegen die gemessene Zeit t zum Quadrat aufträgt. 1.3 Durchführung Bei diesem Versuch haben wir zunächst einmal eine Masse mit m = 200 g an die kleinste der 3 Scheiben gehängt und dann die Fallzeiten zwischen den verschiedenen Abständen von 10 cm bis 70 cm (in 10-cm-Schritten) gemessen und notiert. Danach haben wir die selbe Prozedur für m = 100 g wiederholt. Das selbe haben wir bei der mittleren Scheibe gemacht. Bei der größten Scheibe haben wir jedoch das 50-Gramm- und 100-Gramm-Gewicht genommen, da sonst die Fallzeit zu ungenau zu bestimmen gewesen wäre. 1.4 Messwerte und Angabe der Fehler Scheibe 2 Radius: 1.9cm Scheibe 4 Radius: 2.9 cm Scheibe 6 Radius: 3.9 cm m/kg Fallhöhe s/m Fallzeit t/s Tab. 2: Messwertetabelle M7, Abschrift des Originals Scheibe 1 Scheibe 2 Scheibe 3 Scheibe 4 Scheibe 5 Scheibe 6 Scheibe 7 Scheibe 8 Radius/m Höhe/m Tab. 3: Messwertetabelle M7, Abschrift des Originals - Abmessungen des rotierenden Körpers zur Volumenbestimmung Die Messwerte ergaben sich genau wie in den Tabellen 2 und 3. Als Dichte des Drehkörpers war ρ = 2.68 g cm angegeben Auswertung Mittels Gleichung 14 können wir aus den experimentellen Werten J berechnen. Die halbe Geradensteigung der Ausgleichsgeraden (siehe Diagramme im Anhang bzw. oben) a 2 haben wir mit Gnuplot berechnet (siehe Tab. 4) Genauigkeit der Messung Als Messgenauigkeiten bei Radius und Höhe der Teilzylinder des Rotationskörpers haben wir, da wir eine Schieblehre benutzten, jeweils r = 0.05 mm und

10 1 DAS TRÄGHEITSMOMENT BEI DER DREHBEWEGUNG 9 Abb. 6: Messwerte von Scheibe 2, m = 200g Abb. 7: Messwerte von Scheibe 2, m = 100g

13 1 DAS TRÄGHEITSMOMENT BEI DER DREHBEWEGUNG 12 g/ m s [tip04] r/m m/kg a 2 / m s J/kg m Tab. 4: Berechnung von J aus den Messwerten h = 0.05mm bestimmt. Die Fallhöhe s hatte die Genauigkeit s = 0.5mm, da am Rand eine Millimeterskala angebracht war. Die Fallzeit konnten wir mit der Stoppuhr zu einer Genauigkeit t = 0.005s bestimmen, dies war die Genauigkeit der digitalen Stoppuhr. Vernachlässigen kann man die Dichteänderung wegen der Temperatur des Körpers. Auch die Reibung des Körpers mit der Aufhängungsachse und die Luftreibung können wir nicht bestimmen. Der rotierende Körper war auch kein exakter Zylinder, er hatte Bohrungen und die Aufhängung drehte sich nicht mit. Zuletzt haben wir uns über die Masse des Fadens Gedanken gemacht, aber auch diese kann man wegen seiner geringen Dichte vernachlässigen Fehlerrechnung Berechne zunächst den Mittelwert J: J = 1 6 ( )kg m (19) 59.48kg m (20) Berechne nun die Streuung S der Ergebnisse (Formel siehe [PP05]): S = 1 n ( n 1 J J i ) 2 (21) i=1 1 = 5 ( )kg m (22) 2.51kg m (23) Jetzt können wir den Vertrauensbereich J für p = 0.95 berechnen. t entnehme ich der Tabelle im Fehlerrechnungsskript [PP05]. Für m = 5 ist t = 2.6. J kg m (24) 2.66kg m (25) Also liegt der Wert für J mit mehr als 95%iger Wahrscheinlichkeit bei 59(3)kg m Theoretische Bestimmung von J Aus der Physikvorlesung wissen wir, dass das Trägheitsmoment von Körpern kontinuierlicher Dichte schreiben können als J = r 2 dm (26) wobei r der Abstand jedes Masseteilchens von der Drehachse ist. Die Formel für das Trägheitsmoment eines Zylinders können wir nun zeigen über die Annäherung,

14 2 LITERATURVERZEICHNIS 13 Scheibe 1 Sch. 2 Sch. 3 Sch. 4 Sch. 5 Sch. 6 Sch. 7 Sch. 8 Σ Volumen/cm Masse/kg Radius/m J/kg m Tab. 5: Berechnung des Trägheitsmoments des Körpers anhand seiner Abmessungen dass ein Zylinder eine Aneinanderreihung infinitesimaler Kreisscheiben ist. Eine Kreisscheibe hat konstante Masseverteilung, wir nennen sie σ = M A, wobei A die Fläche der Scheibe sei. Die Fläche eines jeden Masseteilchens ist da = 2πr dr, die Masse jedes Teilchens ist Also gilt J = = 2πM A dm = σ da = M 2πr dr (27) A r 2 dm = R 0 r 2 σ2πr dr = 2πσ R 0 r 3 dr (28) R 4 4 = πm 2πR 2 R4 = 1 2 MR2 (29) Mit dieser Formel können wir die Trägheitsmomente der Teilscheiben des Körpers aufsummieren und addieren und erhalten so das Trägheitsmoment J aus den Abmessungen des betrachteten Körpers (s. Tab. 5). 1.7 Zusammenfassung Das Ergebnis der Fehlerrechnung überzeugt: Der in Tabelle 5 theoretisch berechnete Wert liegt erwartungsgemäß im 95-prozentigen Vertrauensbereich für J. Die beiden Ergebnisse bestätigen sich gegenseitig. Das spricht für die Qualität des Versuchsaufbaus. 2 Literaturverzeichnis 2.1 Quellennachweis Ge93: Gerthsen/Vogel: Physik, Springer-Lehrbuch 1993 PP05: Die Webseite des Phys. Praktikums der Universität Paderborn: Sp05: Die Webseite der Zeitschrift»Der Spiegel«: Tip04: Tipler/Mosca: Physics for Scientists and Engineers EE, Freeman 2004 vp05: Schmidt/Sohler: Vorlesung Physik A der Uni Paderborn im WS 2005/06 UU05: Die Webseite der Physik der Universität Ulm: Bilder und Tabellen Abbildungsverzeichnis 1 Rasante Kurvenfahrt [Sp05]

15 TABELLENVERZEICHNIS 14 2 Skizze zur Rotation [UU05] Skizze zur Bestimmung von J [UU05] Illustration zum steinerschen Satz [rwth05] Versuchsaufbau [PP05] Messwerte von Scheibe 2, m = 200g Messwerte von Scheibe 2, m = 100g Messwerte von Scheibe 4, m = 200g Messwerte von Scheibe 4, m = 100g Messwerte von Scheibe 6, m = 100g Messwerte von Scheibe 6, m = 50g Messwerte von Scheibe 2, m = 200g Messwerte von Scheibe 2, m = 100g Messwerte von Scheibe 4, m = 200g Messwerte von Scheibe 4, m = 100g Messwerte von Scheibe 6, m = 100g Messwerte von Scheibe 6, m = 50g Tabellenverzeichnis 1 Analogietabelle zur Translation und Rotation [Ge93] Messwertetabelle M7, Abschrift des Originals Messwertetabelle M7, Abschrift des Originals - Abmessungen des rotierenden Körpers zur Volumenbestimmung Berechnung von J aus den Messwerten Berechnung des Trägheitsmoments des Körpers anhand seiner Abmessungen

16 3 ANHANG 15 3 Anhang 3.1 Diagramme in A4

17 3 ANHANG 16 Abb. 12: Messwerte von Scheibe 2, m = 200g