Rotierende Bezugssysteme

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Rainer Gerber
vor 6 Jahren
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1 Rotierende Bezugssysteme David Graß Problematik Fährt ein Auto in eine Kurve, so werden die Innsassen nach außen gedrückt, denn scheinbar wirkt eine Kraft auf die Personen im Innern des Fahrzeuges. Ein außenstehender, ruhenden Beobachter sieht jedoch keine solche Kraft, bzw. Beschleunigung. Für Ihn bewegen sich die Insassen einfach geradlinig weiter bis sie von der Innenwand des Fahrzeuges gebremst werden. Woher kommt diese Kraft und warum und ist sie vom Standpunkt des Beobachters abhängig? dp Wir betrachten die Newton sche Axiome (gelten nur in Inertialsystemen, = m r, dt F 12 = F 21 ). Die Vorraussetzung, dass die Newton sche Axiome nur in Inertialsystemem gelten, ist eine sehr starke Einschränkung, da zum Beispiel weder das Auto, dass um die Kurve fährt, noch die Erde Inertialsysteme sind. Wir wollen nun die Bewegung eines Teilchens in einem Nicht-Inertialsystem diskutieren und eine Vorschrift ableiten, mit der man von einem Inertialsystemen in ein Nicht- Inertialsystem und umgekehrt wechseln kann. 2 Beliebig beschleunigte Bezugssysteme Betrachten zwei beliebig zueinander beschleunigte Bezugssysteme K und K mit den Koordinatenachsen e 1, e 2, e 3 und e 1, e 2, e 3. K sei ein Inertialsystem. Die gesamte Bewegung eines Massenpunktes m in K kann durch eine Translation des Ursprungs von 1

2 K und einer Roation um den Ursprung von K zusammengesetzt werden. r = R + r = R + x i e i Da es sich bei K nicht um ein Inertialsystem handelt, müssen wir die Zeitableitung explizit berechenen r = R + = R + ( x i e i + x ) i e i Betrachten nun die 3 auftertenden Terme: 1. R Relativgeschwindigkeit der Koordinatenursprünge x i e i Geschwindigkeit des Massenpunktes in K x i e i Geschwindigkeit eines in K ortsfesten, mitrotierendem Massenpunktes (d.h. Achsenrichtungen ändern sich, jedoch nicht die Komponente x i) von K aus gesehen. Wir betrachten den 3. Term nun etwas genauer. Wenn ω die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Koordinatensystem K ist, gilt für die infinitesimale Änderung d e i: d e i = e i sin α ω dt = e i ω dt e i = ω e i x i e i = ω r Also gilt insgesamt r = R + + ω r 2

3 r und R sind Größen bezüglich K und und r sind Größen aus K. Trennt man nach den Bezugssystem auf, so erhält man eine allgemeine Ableitungsvorschrift für beliebig beschleunigte Bezugssysteme: d dt = d in K dt + ω (1) in K Diese Formel besagt, dass Größen die sich auf K beziehen normal abegeleitet werden und Größen die sich auf K beziehen zur normalen Zeitableitung noch einen zusätzlichen Term mit ω liefern. Wir interessieren uns nun für die Beschleunigung in dem Bezugssystem K. Da wir die Geschwindigkeit bereits ausgerechnet haben, müssen wir noch einmal die Ableitungsvorschrift (1) anwenden: r = R + r + ω r + ω + ω + ω ω r Die auftretenden Terme heißen 1. = R + r + ω ω r + 2( ω r ) + ω r ω ω r Coriolis-Beschleunigung 2. 2( ω r ) Zentrifugalbeschleunigung 3. ω r beschleunigte Rotation Die resultierende Kräfte nennt man auch Scheinkräfte. Sie müssen eingeführt werden, wenn man K als Inertialsystem annimmt. Wird die selbe Bewegung in einem wirklichen Inertialsystem beschrieben, treten diese Kräfte nicht auf. Sie heißen Scheinkräfte weil sie strenggenommen keine Kräfte sind. Kräfte sind normalerweise nur zwischen zwei Körper definiert. 3 Ostabweichung beim freien Fall In der klassischen Mechanik rechnet man bei einfachen Problemen (freier Fall, schräger Wurf, Stöße, u.s.w.) fast immer mit F = m r obwohl die Erde strenggenommen kein Inertalsystem bildet, da sie rotiert. Wie gut ist die Näherung, dass die Erde (also eigentlich das Labor auf der Erdoberfläche), ein Inertialsystem bildet? Dazu betrachten wir den freien Fall eines Gegenstandes vom Wiener Riesenrad. Das Riesenrad ist h = 64, 75m hoch. Sein Standort liegt bei α = nördlicher Breite. Bei dieser Rechnung wird Lufreibung und die schräge Erdachse vernachlässigt. Wir nehmen eine Schwerebeschleunigung von g = 9, 81 m an. Als erstes muss man sich ein günstiges Bezugssystem s 2 wählen. Wir setzte den Koordinatenursprung eines mit der Erde mitrotierenden Bezugssystemes auf den Wiener Prater. Dort muss man sich nun zuerst die resultierende 3

4 Winkelgeschwindigkeit berechnen. Den Winkel α erhält man durch Umwandlung der Sexagesimaldarstellung in Dezimaldarstellung α = , 216 Die z-achse des Koordinatensystemes steht senkrecht auf der Erdoberfläche, die y-achse zeigt noch Norden und die x-achse nach Osten. Wie man leicht erkennt, verschwindet damit die x-komponente der Winkelgeschwindigkeit: ω = ω cos α sin α ω selbst lässt sich ganz einfach aus der Dauer eines Tages berechnen ω = 2π = 24 36s 7, s 1. Wir nehmen unser gewähltes Bezugssystem nun als Inertialsystem an und müssen somit die oben hergeleiteten Scheinkräfte einführen. Des weiteren existiert natürlich die Schwerkraft, diese hat jedoch nur eine z-komponente. Es gilt somit folgende Bewegungsgleichung: m r = m g m( ω ω r ) 2m( ω r ) Die Zentrifugalkraft geht mit ω 2 ein und da ω schon sehr klein ist, können wir die Zentrifugalkraft vernachlässigen. Es gilt also nun folgendes Gleichungssystem zu lösen: x = 2ω z cos α + 2ω y sin α y = 2ω x sin α z = g + 2ω x cos α Um das Gleichungssystem noch weiter zu vereinfachen, nehmen wir an dass x, y << z bzw. x, y =. Damit vereinfacht sich das System zu x = 2ω z cos α y = z = g 4

5 Man kann diese Gleichungen nun einfach ausintegrieren. Berechne zuerst die z-komponente y-komponente x-komponente dv z dt = g x = 2ω z cos α dv z = v z (t) = gt dt g z(t) = z() 1 2 gt2 y = y(t) = dv x dt = 2ω z cos α dv x = 2ω cos α dtv z v x (t) v x () = 2ω cos α dt gt v x (t) = gω cos α t 2 x(t) = 1 3 gω cos α t3 Hier wurden passende Anfangsbedingungen gewählt. Der Gegenstand ruht bei t= und wird bei h = 64, 75m = z() losgelassen. Mit Hilfer der z-komponente lässt sich die Fallzeit ausrechnen: z(t) =! 2h t = g = 3.63s Setzt man diese Fallzeit in die Formel für die x-komponente ein, so ergibt sich folgende Ostabweichung: x(3, 63) = 7, m Wenn man bei diesem Experiment die Corioliskraft vernachlässigt, macht man einen Fehler von ungefähr 7,6 mm. 5

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