21 Spezielle Relativitätstheorie

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1 Spezielle Relativitätstheorie Hofer 1 21 Spezielle Relativitätstheorie Raum und Zeit Die Relativitätstheorie ist neben der Quantentheorie eine der beiden großen Revolutionen der Physik des 20. Jahrhunderts. a Auswirkungen auf die Physik A1: Diskutiere mit deinem Lehrer welhe Auswirkung die RT (Relativitätstheorie) auf die Physik hat und notiere diese. b Auswirkungen auf das täglihe Leben A2: Diskutiere mit deinem Lehrer welhe Auswirkung die RT auf das täglihe Leben hat und notiere diese Mihelson und Morley Experiment Liht ist eine elektromagnetishe Welle. Shallwellen breiten sih nur materiellen Körpern aus, niht im Vakuum. So wusste man im 19 Jhdt. niht in welhem Medium sih Liht ausbreitet. Man nahm an das der Weltraum mit einem Stoff ausgefüllt ist dem Äther. Im Äther sollte sih das Liht nah allen Rihtungen mit ( ,458km/s) ausbreiten. Mihelson und Morley wollten diesen Äther mit einem Experiment nahweisen. Dazu verwendeten Mihelson und Morley einen Interferometer der die Geshwindigkeit der Erde relativ zum Äther messen sollte.

2 Spezielle Relativitätstheorie Hofer 2 Abb.1: Versuhsaufbau des Mihelson-Interferometer A3: Beshreibe den Versuhsaufbau! A4: Erarbeite gemeinsam mit dem Lehrer die Versuhsdurhführung!

3 Spezielle Relativitätstheorie Hofer Grundlagen der Relativitätstheorie A1: Wann ruht ein Körper? A2: Nenne die Axiome von Newton! A3: Was ist ein Inertialsystem? Nahdem Mihelson und Morley im Jahre 1886 die Existenz des Äthers niht feststellen konnte, wurden zahlreihe Hypothesen entworfen um das Ergebnis zu erklären! Im Jahre 1905 trat Albert Einstein mit seinem Artikel Zu Elektrodynamik bewegter Körper an die Öffentlihkeit. Er sagte der Äther existiert gar niht. Man hat früher angenommen, dass es ein ausgezeihnetes Inertialsystem gibt das es im Äther ruht. Nur in diesem sollten die physikalishen Gesetze eine besonders einfahe Form annehmen. Aus der Annahme, dass es keinen Äther gibt folgerte Einstein, dass kein ausgezeihnetes Inertialsystem gibt. Einstein postulierte: Relativitätsprinzip Alle Inertialsysteme sind gleihberehtigt. Die Naturgesetze werden in allen Inertialsysteme durh dieselben Gleihungen beshrieben. Abb1: Der unbeshleunigter Eisenbahnwaggon und die Wiese sind beide Inertialsysteme. In beiden nehmen die Naturgesetze die gleihe Form an.

4 Spezielle Relativitätstheorie Hofer 4 Konstanz der Lihtgeshwindigkeit Die Lihtgeshwindigkeit im Vakuum hat immer den Wert = ,46 km/s unabhängig von der Bewegung der Lihtquelle und des Beobahters. Abb.2: Die drei Beobahter weisen bezüglih der Lihtquelle untershiedlihe Geshwindigkeiten auf. Dennoh messen alle denselben Wert für die Vakuumlihtgeshwindigkeit auf. A4: Erkläre den Ausgang des Versuhs von Mihelson und Morley unter Verwendung des Prinzips der Lihtgeshwindigkeit. Die beiden Prinzipien der speziellen RT sheinen unspektakulär. Tatsählih ergeben sih aber weitreihende Konsequenzen: 1. Ob zwei Ereignisse gleihzeitig stattfinden hängt vom Bewegungszustand ab. 2. Bewegte Uhren gehen (für einen ruhenden Beobahter) langsamer. 3. Bewegte Maßstäbe sind (für einen ruhenden Beobahter) kürzer. 4. Bewegte Massen sind (für einen ruhenden Beobahter) shwerer. 5. Die Vakuumlihtgeshwindigkeit kann von Teilhen niht übershritten werden. 6. Raum und Zeit können niht unabhängig voneinander betrahtet werden.

5 Spezielle Relativitätstheorie Hofer Relativität der Gleihzeitigkeit A1: Wann spriht man im Alltag von gleihzeitigen Ereignissen. Abb.1: Wir bliken in die Vergangenheit. Ereignisse die gleihzeitig in unser Auge treffen müssen keineswegs gleihzeitig stattgefunden haben. A2: Beshreibe die Abb.1 und überlege wie man festlegen könnte, dass zwei Ereignisse gleihzeitig sind! Definition der Gleihzeitigkeit: Zwei Ereignisse sind gleihzeitig, wenn sie von einer in der Mitte zwishen den Orten der Ereignisse liegenden Lihtquellen gestartet werden. Relativität der Gleihzeitigkeit: Ob zwei Ereignisse gleihzeitig ablaufen oder niht, hängt vom Bewegungszustand des Beobahters ab. Gedankenexperiment: Abb2: Ruhender Beobahter B im Inertialsystem I

6 Spezielle Relativitätstheorie Hofer 6 A3: Beshreibe das Gedankenexperiment der Abb.1! Abb3: Ein Beobahter B im Inertialsystem I beobahtet den gleihen Vorgang. A4: Begründe, warum aus der Siht des Beobahters B die beiden Ereignisse E 1 und E 2 im obigen Gedankenexperiment niht gleihzeitig stattfinden! welhes der Ereignisse findet im System I vor dem andern statt? A5: Erfinde eine Anordnung, der die Reihenfolge der Ereignisse E 1 und E 2 umkehrt Zeitdilatation (dilataión (la) del tiempo) Wir wollen in der Folge den Gang einer bewegten Uhr untersuhen. Wir konstruieren uns dazu in Gedanken eine möglihst eine einfahe Uhr, die Lihtuhr. A1: Konstruiere und beshreibe in Zusammenarbeit mit dem Lehrer eine Lihtuhr! Wir betrahten nun zwei in einem Inertialsystem ruhenden Uhren A und B. Diese Uhren sollen synhronisiert sein, indem sie z.b. vom Liht einer Blitzlampe in Gang gesetzt wurden, die man genau in der Mitte zwishen den beiden Uhren gezündet hat. Eine dritte Uhr C bewegt sih relativ zu A und B mit der Geshwindigkeit v von links nah rehts. Von der ruhenden Uhr aus läuft das Liht in der bewegten Uhr shräg auf und ab. Es legt daher einen längern Weg zurük. Diesen Effekt nennt man Zeitdilatation.

7 Spezielle Relativitätstheorie Hofer 7 A2: Berehne mit Hilfe der Skizze die Zeitdilatation. Bewegt sih eine Uhren an einem Satz synhronisierter Uhren vorbei, der in einem Inertialsystem ruht, so geht sie im Vergleih zu diesen Uhren langsamer. Dies meinen wir, wenn wir kurz sagen: Eine bewegte Uhr geht langsamer Zeigt die bewegte Uhr die Zeit t und der Uhrensatz die Zeit t an, so gilt der Zusammenhang 2 v t = t 1, 2 wobei v die Relativgeshwindigkeit zwishen der bewegten Uhr und dem Uhrensatz ist. Diese Überlegung gilt niht nur für Lihtuhren, sondern auh für elektrishe, mehanishe, biologishe und natürlih auh für Atomuhren. Wäre das niht so, so würde sih ein Widerspruh zum Relativitätsprinzip.

8 Spezielle Relativitätstheorie Hofer 8 A1: Der nähste Fixstern ist Alph-Centauri am südlihen Sternenhimmel. Seine Entfernung beträgt 4,5 Lihtjahre. a b Wie lange bräuhte ein Raumshiff, um zum Stern und wieder zurük zur Erde zu gelangen, wenn seine Geshwindigkeit v = 0,5 beträgt? Wie lange würde der Flug für den Astronauten an Bord dauern? Welhe Geshwindigkeit müsste das Raumshiff haben, damit für die Besatzung während der Reise nur ein Jahr vergeht? A2: Ein Astronaut tritt mit 25 Jahren eine Weltraumreise an, die ihn mit v = (12/13) durh das All führt. Bei der Rükkehr ist der Zwillingsbruder 69Jahre alt. Wie alt ist der Astronaut? A3: Myonen werden in 20km Höhe durh die Höhenstrahlung erzeugt. Diese Teilhen haben nur eine Halbwertszeit T 1/2 = 1,52 µs. Bewegen sie sih mit einer Geshwindigkeit v = 0,999 42, dann ändert sih die Halbwertszeit für einen ruhenden Beobahter. Wie groß ist die Halbwertszeit für einen ruhenden Beobahter? 21.5 Längenkontraktion Die Längen eines fahrenden Eisenbahnwaggons soll gemessen werden. Für einen im Zug mitfahrenden Beobahter ist dies kein Problem. Er misst den Waggon einfah mit einem Maßband ab. Für einen Beobahter ist die Aufgabe gelöst, wenn gelingt festzustellen, wo sih Anfang und Ende des Waggons zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden. Der Abstand der Punkte ist dann die Länge des Waggons. Wir stellen uns vor, dass entlang des Bahndamms Beobahter mit synhronisierten Uhren aufgestellt sind, die den Zeitpunkt notieren, zu dem der Anfang bzw. das Ende des Waggons ihre jeweilige Position passieren. Die Länge des Waggons ist dann gleih dem Abstand derjenigen Beobahter, an denen Anfang und Ende zu einem bestimmten Zeitpunkt vorbeigekommen sind. Abb1.: Bestimmung der Waggonlänge

9 Spezielle Relativitätstheorie Hofer 9 Der Beobahter im Waggon wird gegen diese Längenmessung protestieren. Wegen der Relativität der Gleihzeitigkeit haben nämlih die Positionsbestimmungen der beiden Enden des Waggons, die im System des Bahndamms gleihzeitig waren, im System des Waggons niht gleihzeitig stattgefunden. Der mitfahrende Beobahter wird sagen: Ihr habt das vordere Ende des Waggons früher gemessen als das hintere Ende. Die Länge die ihr gemessen habt ist zu klein! A1: Versuhe die Aussage des mitfahrenden Beobahters zu erklären! Längenkontraktion Aus Siht eines ruhenden Beobahters ersheint eine ein bewegter Gegenstand in seiner Bewegungsrihtung verkürzt! v 2 l = l 1 2 l Länge im bewegten System I l Länge im ruhenden System I v Geshwindigkeit des I in I Vakuumlihtgeshwindigkeit A2: Leite aus der Formel der Zeitdilatation die Formel der Längenkontraktion her! A3: Myonen werden in 20km Höhe durh die Höhenstrahlung erzeugt. Mit der Geshwindigkeit v = 0,9998 fliegen sie auf die Erde zu. Wie stark ist im Ruhsytem der Myonen die Höhe H = 20 km kontrahiert? A4: In einem Linearbeshleuniger wird ein Elektron auf die Geshwindigkeit v = 0,6 beshleunigt. Anshleißend durhfliegt es mit konstanter Geshwindigkeit eine Streke AB von 9m Länge. a b Wie lange brauht das Elektron, um diese Streke zu durhfliegen? Wie lang ist die Streke im Ruhsystem des Elektrons? Welhe Zeit vergeht im Ruhsystem des Elektrons, bis die Streke vorbei geflogen ist?

10 Spezielle Relativitätstheorie Hofer 10 A5: Ein Formel 1 Rennwagen fährt für zwei Stunden die Geshwindigkeit von 300 km/h. Berehne die Zeitdilatation! 21.6 Relativistisher Doppler-Effekt A1: Wiederhole den Doppler-Effekt! Das Liht, das von vershiedenen kosmishen Objekten zu uns gelangt, weist je nah Relativgeshwindigkeit zwishen Erde und Strahlungsquelle eine entsprehende Dopplervershiebung auf. (Rotvershiebung) A2: Warum nennt man die Frequenzvershiebung des Lihts Rotvershiebung? Extrem weit entfernte Himmelskörper entfernen sih besonders shnell von der Erde. (Hubble-Effekt) A3: Versuh de Hubble-Effekt mit Hilfe des Aufblasens eines Luftballons zu erklären! Relativistishe Dopplervershiebung bei zunehmender Entfernung zwishen Quelle und Beobahter: f = f. v 1 v 1+ f Frequenz der Welle mit Dopplervershiebung f Frequenz der Welle ohne Dopplervershiebung v Relativgeshwindigkeit zwishen Quelle und Beobahter Vakuumlihtgeshwindigkeit A4: Begründe, warum beim relativistishen Dopplereffekt niht untershieden wird, ob sih die Quelle bewegt oder der Beobahter! A5: Eine Galaxie entfernt sih von der Erde mit 60% der Vakuumlihtgeshwindigkeit. Welhe Wellenlänge misst man auf der Erde für eine Strahlung, die auf der Galaxie im grünblauen Bereih (λ = 500nm) emittiert wurde?

11 Spezielle Relativitätstheorie Hofer Äquivalenz von Masse und Energie A1: Gib Beispiele an, wo zur Umwandlung zwishen Materie und Strahlung kommt! Die Grundlage für die Umwandlungen von Strahlung in Materie und umgekehrt liegt in einer Gleihwertigkeit (Äquivalenz) von Masse und Energie. Diese Äquivalenz führt dazu, dass man aus der Masse eines Systems seine Energie (und umgekehrt) berehnen kann. Im Rahmen der SRT kann man zeigen, dass zwishen der Energie eines Körpers und seiner Masse folgender Zusammenhang gilt: E = m. 2 E Energie m Masse Vakuumlihtgeshwindigkeit A2: In Österreih wird pro Jahr ungefähr eine Energie von J umgesetzt. Welher Masse entspriht das? A3: Ein Elektron hat eine Masse von kg. Berehne, welher Energie diese Masse entspriht! Drüke dies Energie in kev aus! A4: Wiederhole die Bestandteile der Atome! Beispiel: Massendefekt Betrahten wir als Beispiel den shweren Wasserstoff (Deuterium). Die Masse eines Protons beträgt 1, kg, die Masse eines Neutrons 1, kg. Ein Deuteriumkern sollte daher 3, kg wiegen. In Wirklihkeit hat er aber nur 3, kg. Wie lässt sih das erklären? Das ergibt eine Massendifferenz von 3, kg. (Massendefekt) Abb.1: Massendefekt A5: Versuhe anhand der Abbildung zu beshreiben was hier passiert!

12 Spezielle Relativitätstheorie Hofer 12 A6: Berehne die Energie die beim oben beshriebenen Vorgang frei wird! A7: Vergleihe die Bindungsenergie eines Deuteron mit der Bindungsenergie von Molekülen, die im Elektronenvoltbereih liegt! Welhe Shlussfolgerungen ziehst du? A8: Die Strahlungsleistung der Sonne beträgt W. Berehne die Abnahme der Masse der Sonne pro Sekunde! 21.8 Dynamishe Masse A1: Berehne klassish die Geshwindigkeit eines Körpers, der 1 Jahr lang mit 10m.s -2 beshleunigt wird! Überlege, was eintreten muss damit ein Körper, der dauernd beshleunigt wird, niht auf Überlihtgeshwindigkeit kommt! Ähnlih wie Zeiten und Längen kommt der Masse eines Körpers kein absoluter Wert zu. Bei steigender Geshwindigkeit nimmt auh die Masse eines Körpers zu. Dynamishe Masse m = m o v A2: Zeihne ein Diagramm m/m 0 v- Diagramm! m dynamishe Masse m 0 Ruhemasse v Geshwindigkeit o Vakuumlihtgeshwindigkeit A3: Berehne die dynamishe Masse eines Elektrons, das sih 99% der Lihtgeshwindigkeit bewegt! Welhe Energie kommt diesem Elektron zu? A4: Ein Astronaut soll sih mit einer so hohen Geshwindigkeit bewegen, dass die Zeitdilatation den Faktor 10 ausmaht. Wie groß ist dann die Masse des Astronauten, wenn seine Ruhemasse 70 kg beträgt? Berehne die Energie die notwendig ist um den Astronauten auf diese Geshwindigkeit zu bringen! (Weltenergiekonsum: J) A5: Wie groß ist Massenzunahme eines Autos von 1000 kg, wenn es mit einer Geshwindigkeit von 144 km/h fährt?