Physik I Übung 11 - Lösungshinweise

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1 Physik I Übung 11 - Lösungshinweise Stefan Reutter SoSe 2012 Moritz Kütt Stand: Franz Fujara Aufgabe 1 Das Lied der Moreley Die shöne Moreley singe eine besondere Art von Welle, die ein sehr dünnes und starres Trägermedium hat, das wir hier mal als Äther bezeihnen wollen. Der Böse Professor Mihaelsson hat die Moreley in einen Käfig gesperrt und zwingt sie nun, ihm für physikalishe Experimente, die ihn seinem Ziel, die Weltherrshaft zu übernehmen, ein Stük näher bringen sollen, etwas vorzusingen. Die Moreley-Wellen (die übrigens wunderbar mit sih selbst interferieren) lässt Prof. Mihaelsson durh ein speziell dafür konstruiertes Mihaelsson-Interferometer laufen, das genauso funktioniert wie ein Mihelson-Interferometer, aber mit Moreley-Wellen statt mit Liht arbeiten kann. Nun bewegt sih Prof. Mihaelsson mit der armen Moreley in seinem hohgeheimen gepanzerten und äußerst rukelfrei gelagerten Eisenbahnwaggon im Vergleih zur Phasengeshwindigkeit der Welle langsam durh den Äther und beobahtet ein Interferenzmuster am Shirm des Spektrometers. Der eine Spektrometerarm a zeige in Fahrtrihtung, der andere b senkreht dazu. a) Berehne den Zeituntershied zwishen den Wellenwegen in beiden Spektrometerarmen. b) Um die Moreley-Phasengeshwindigkeit zu bestimmen dreht Mihaelsson nun sein Spektrometer um 90, sodass nun b in Fahrtrihtung und a senkreht dazu zeigt. Berehne den Zeituntershiedsuntershied zwishen den beiden Messungen (d.h. die Änderung des Interferenzbildes) Hinweis: Verwende, um ein shönes Endergebnis zu erhalten, die Binomialentwiklung (1 + x) n 1 + nx + n(n 1)x Lösungshinweise: a) Zuerst die Hinbewegung der Welle auf Arm a. Nah Aussenden der Welle bewegt diese sih mit Geshwindigkeit, der Spiegel bewegt sih allerdings von der Welle weg, sodass sih für den Shnittpunkt der Wellenfront und des Spiegels ergibt t a1,h = a + v t a1,h t a1,h = a v 1

2 Ganz ähnlih ist bei der Zurükbewegung die Welle shneller wieder am halbdurhlässigen Spiegel angekommen. t a1,z = a v t a1,z t a1,z = a + v Die Gesamtzeit ist die Summe dieser beiden Zeiten t a1 = t a1,h + t a1,z = a v + a + v = 2a v 2 = 2a 1 v 2 Für den Spektrometerarm b, in dem die Welle sih shräg gegenüber dem Äther bewegen muss, ergibt sih t b1,h = b 2 + v t b1,h 2 t 2 b1,h = b2 + v 2 t 2 b1,h b t b1,h = v 2 Wobei die Hin- und Rükreise in diesem Fall aus Symmetriegründen gleih lang dauern müssen Insgesamt ergibt sih als Zeitdifferenz t b1,z = t b1,h 2b t b1 = 1 v 2 2b t 1 = t b1 t a1 = 1 v 2 2b v 2 2a Betrahtet man den instruktiven Fall a = b ergibt sih t 1 av 2 3 2a 1 v v 2 2

3 b) Man muss lediglih die Faktoren im Nenner vertaushen, wie man sih leiht überlegen kann t 2 = t b2 t a2 = 2b Als Differenz der Differenzen ergibt sih damit 2b 2a 1 v 2 1 v v 2 2a v 2 t = t 2 t 1 = a + b Das Drehen des Aufbaus beim Mihelson-Morley-Experiment ist also tatsählih eine intelligente Methode. Das Vernahlässigen der zweiten Ordnung ist übrigens vollkommen gerehtfertigt weil v 2 bei Lihtgeshwindigkeit shon so extrem klein ist. Aufgabe 2 Du bist doh niht etwa invariant? a) Zeige, dass die Größe s 2 = x 2 + y 2 + z 2 (t) 2 unter Lorenztransformationen invariant ist. b) Zeige, dass der Betrag der Lihtgeshwindigkeit bzw. ihr Quadrat = x + 2 y + 2 z ebenfalls unter Lorentztransformationen konstant ist. Hinweis (b): Denk daran, dass x = 2 y 2 z ist v 2 Lösung: a) Wir starten bei s 2 = x 2 + y 2 + z 2 (t ) 2 Wir können der Einfahheit annehmen, dass sih System S entlang der x-ahse bewegt, es lässt sih immer so ein Koordinatensystem finden. Dann setzen wir die Lorentz-Transformationen ein. s 2 =γ 2 (x v t) 2 + y 2 + z 2 γ 2 t v x 2 =γ 2 x 2 2γ 2 xv t + γ 2 v 2 t 2 γ 2 t γ 2 t v x = γ 2 v 2 γ2 (t) 2 + γ 2 γ 2 v 2 x 2 + y 2 + z 2 =x 2 + y 2 + z 2 (t) 2 = s 2 2 γ 2 v 2 x y 2 + z 2 3

4 Dabei wurde folgendes verwendet: γ 2 = 1 1 v 2 b) Wir nehmen wieder Bewegung in x-rihtung an. Geshwindigkeiten sind nun definiert als dx = u dt x, u deswegen um sie niht mit der Relativgeshwindigkeit zwishen den beiden Bezugsystemen zu verwehseln. Für die einzelnen Komponenten einer Geshwindigkeit gelten folgende Transformationen: u x =dx γ(dx v dt) = dt γ(dt v dx = u y =dy dt = u z = u z γ 1 v u x Wir suhen nun die Transformation von. dy γ dt v dx = dx dt v 1 v dx dt u y γ 1 v u x = u x v 1 v x 2 = 2 x + 2 y + 2 z = ( x v ) 2 1 v x 2 + x 2 xv + v 2 + = y γ 2 1 v x 2 + z γ 2 1 v x 2 1 v 2 y + 1 v x v + 2 x v 2 4 z = 2 x + 2 y + 2 z 2 xv + v 2 y 2 z 2 x v + 2 x v 2 = 2 2 x v + v 2 x 2 x v + 2 x v 2 = Aufgabe 3 Diskussion: Einstein war es niht alleine Die spezielle Relativitätstheorie wird oft Einstein zugeshrieben. Er hatte großen Anteil daran, doh gab es viele weitere Wissenshaftler in seiner Zeit, die auh wihtige Arbeiten geleistet hatten. Wer war das? Was haben sie gemaht? Was kannst du über die Geshihte der SRT sagen? 4

5 Lösungshinweise: Zentrale Akteure vor der Publikation der Theorie von Einstein waren u.a. Lorentz und Poinaré. Viele weitere Wissenshaftler beshäftigten sih auh shon im 19. Jahrhundert mit der Geshwindigkeit des Lihtes. Sie stellten wie Mihelson und Morley Widersprühe zu existierenden Theorien fest, die dann die Grundlage für die Arbeit Einsteins bildeten. Eine sehr shöne historishe Zusammenfassung gibt tatsählih der Wikipedia-Artikel zur Geshihte der SRT Aufgabe 4 Ein kurzer Jet Ein shnelles Flugzeug fliegt mit einer Geshwindigkeit von v f = 3240 km/h. a) Um wieviel Prozent sieht ein Beobahter ein so an ihm vorbei fliegendes Flugzeug kontrahiert? b) Wieviel Zeit vergeht auf der Uhr des Piloten, wenn für den Beobahter ein Jahr vergeht? ( ) ) Zeihne ein Minkowski-Diagramm, anhand dessen du die Längenkontraktion verdeutlihen kannst. Lösungshinweise: a) Ein ruhender Beobahter sieht das Flugzeug mit der Länge l = l. Die Verkürzung beträgt γ dann l l l = 1 1 v 2 = = % b) Die Zeit, die auf der Uhr des Piloten vergeht ist t = t λ = t 1 v 2 t(1 1 v 2 2 = π 107 s s Das ist ein sehr kleiner Zeituntershied. ) Das kann man z.b. so mahen 5

6 t t' s i s 1 x' L' 1 L 1 x Dabei ist eine Länge L in S gemessen und nah S transformiert wobei sie kürzer wird. Wihtig ist, dass man bei Minkowski-Diagrammen immer darauf ahten muss, dass die Ahsenskalierung sih durh die Lorentztransformation ändert. Um herauszufinden, wie die Einheiten in S sind, muss man die Lorentz-Invariante s 2 = x 2 (t) 2 einzeihnen und damit die S -Ahsen neu skalieren. Diese Funktion ist die Wurzel aus einer Hyperbel bzw. Parabel je nah Vorzeihen von s 2 ; für große Zeiten oder Orte geht die Funktion jeweils gegen die Winkelhalbierende, also den Lihtkegel. Um die Längenkontraktion zu sehen, muss man die Weltlinien der Enden des Maßstabes so lange verfolgen, bis sie auf einer Linie der Gleihzeitigkeit in S landen (z.b. der x -Ahse), denn eine Längenmessung würde man so definieren, dass man zur gleihen Zeit beide Enden misst, was für die ursprünglihe Längenmessung in S von S aus gesehen ja niht der Fall ist. Man kann nun einfah die x-koordinaten der zwei Punkte ablesen und ist fertig. Aufgabe 5 Max und Moritz gemeinsam auf großer Fahrt Max und Moritz verlassen, gemeinsam damit kein Altersuntershied aufklafft, mit ihrem Raumshiff BolteWitwe die Erde auf dem Weg zum Stern Alpha Centauri. Dieser ist vier Lihtjahre entfernt. Ihr Raumshiff kann eine Geshwindigkeit von v wb = 0.75 erreihen. Wie lange brauhen sie bis zum Stern a) im Ruhesystem der Erde? b) im Ruhesystem der Astronauten im Raumshiff? ) Zeihne ein Minkowski-Diagramm, anhand dessen du die Zeitdilation erläutern kannst. Lösungshinweise: 6

7 a) Im Bezugssystem der Erde beträgt die Geshwindigkeit des Raumshiffes v wb = Damit ist die Zeit bis zu Alpha Centauri: t = s = 4 a v wb a b) Die Entfernung im Bezugssystem des Raumshiffs verändert sih. l = l γ t = l v = l γv = l v 1 v 2 = 3.5 a ) Für die Zeitdilatation maht man etwas ähnlihes wie für die Längenkontraktion. Wir betrahten eine Zeitmessung am Ursprung von S. In S bewegt sih der Ursprung auf seiner Weltlinie (der t -Ahse), somit finden die beiden Ereignisse zu t = 0 auf die Uhr shauen und zu t = 1 auf die Uhr shauen niht mehr am gleihen Ort statt. Um die Zeitdifferenz in S festzustellen muss man lediglih die t-koordinaten der Anfangs- und Endereignisse ablesen. t t' s i s 1 x' t1 t' 1 x Aufgabe 6 Diskussion: Zwillingsparadoxon Löse das Zwillingsparadoxon! Zur Erinnerung: Zwei Zwillinge leben auf der Erde. Einer, Moritz, fliegt in seinem Raumshiff WitweBolte mit einer Geshwindigkeit von 0.6 in Rihtung eines 3 Lihtjahre in x-rihtung entfernten Planeten, dreht dann shnell um und fliegt mit der gleihen Geshwindigkeit in entgegengesetzte Rihtung zurük. Der andere, Max, bleibt stur in seinem Inertialsystem sitzen (auh wenn die Erde eigentlih keines ist). 7

8 Die Zeitdilatation sagt Max dann, dass Moritz jünger geblieben ist, da er sih ja mit hoher Geshwindigkeit bewegt. Aber Moritz, dessen Bezugssystem doh gleihberehtigt ist, würde das gleihe von Max behaupten. Wer hat Reht und warum? Hinweis: Am besten geht das, indem man Linien der Gleihzeitigkeit für den bewegten Zwilling Moritz in ein Minkowski-Diagramm für den ruhenden Zwilling Max einzeihnet. Alternativ und äquivalent kann man sih den Empfang von Lihtimpulsen überlegen, die jeder der Zwillinge exakt einmal im Jahr in seiner eigenen Zeit losshikt. Lösungshinweise: Die Lösung des Problems liegt darin, dass Moritz bei der Umkehr beshleunigt wird und dabei sein Inertialsystem wehselt. Das führt dazu, dass die beiden Zwillinge niht mehr symmetrish behandelt werden können. Das Minkowski-Diagramm unten zeigt die Linien der Gleihzeitigkeit für Moritz auf dem Hinflug (rot) bzw. dem Rükflug (blau) sowie mit shwarzen Punkten die Jahre in Eigenzeit markiert. Für Moritz brauht der im Erdsystem 3 Lihtjahre entfernt Stern auf ihn zu wegen der Längenkontraktion nur eine Streke von L = L = 2.4 (γ = 10 ) Lihtjahren zurükzulegen. Dazu γ 8 brauht er dementsprehend L v = Jahre = 4 Jahre, hin und zurük also 8. Für Max vergeht während dieser Reise allerdings eine Zeit von 10 Jahren (5 Jahre auf Hin- und Rükreise) wie man durh L = 3 Jahre = 5 Jahre leiht ausrehnen kann. v 0.6 Wie man an den Gleihzeitigkeitslinien sieht, altert Max von Moritz Warte aus betrahtet auf dem Hin- und Rükflug nur γt = 3.2 Jahre. Die restlihen 3.6 Jahre altert Max während des symmetriebrehenden Beshleunigungsvorganges. Außerdem wird Moritz nah der Beshleunigung feststellen, dass die Uhren in seinem Bezugssystem durh die Beshleunigungsphase desynhronisiert wurden, was u.a. auh dazu führt, dass an Orten, die hinter dem Zielstern liegen, die Zeit während der Beshleunigungsphase rükwärts zu verlaufen sheint. Dabei handelt 8

9 es sih allerdings nur um sheinbare Effekte, die dem Wehseln der Inertialsysteme geshuldet sind. Betrahtet man das Ganze mit Lihtblitzen gibt sih ein ähnlihes Bild. Liht verfolgt im Minkowski-Diagramm immer Parallelen zu einer der Winkelhalbierenden. Betrahten wir das Ganze erstmal in Moritz Bezugssystem Da sih Max auf dem Hinweg von Moritz wegbewegt wird das Liht jeweils eine Entfernung v nt zurüklegen müssen um ihn zu erreihen. Außerdem muss Moritz noh berüksihtigen, dass Max wegen der Zeitdilatation niht jedes Jahr sondern nur alle T = γt = 1.25 Jahre einen Impuls aussendet. Damit erhält er den ersten Lihtimpuls nah t = v T + T = Jahren und dann nah weiteren zwei Jahren noh einen (analog zum Dopplereffekt). 1+ v 1 v T = 2 Nun ist er auh shon am Stern angekommen und dreht um. Max und das von ihm vorher abgestrahlte Liht bewegen sih jetzt auf ihn zu und Moritz sieht nun die halbe Periode (in der Formel oben v durh v ersetzen) also jedes halbe Jahr ein Signal. Auf dem Rükflug erhält er damit also noh 8 Signale, was zusammen 10 ergibt. Daraus shließt er, dass Max 10 Jahre gealtert ist. Interessanterweise könnte Moritz zurükrehnen und herausfinden, dass drei der Signale während der kurzen Zeit seiner Beshleunigung losgeshikt wurden, obwohl er sie erst später empfängt. Das würde er auf das Problem mit seiner Uhrensynhronisation shieben. Für Max sieht das etwas anders aus 9

10 Er sieht zunähst ebenfalls analogerweise jedes halbe Jahr ein Signal. Da sih die Signale aber mit Lihtgeshwindigkeit bewegen, brauhen sie noh drei Jahre bis zur Erde. Er sieht also noh bis drei Jahre nah dem zurükgerehneten Umkehrpunkt von Moritz bei t = 5 Jahren die langsame Frequenz, insgesamt also für 8 Jahre was vier Signalen entspriht. Danah erhält er noh für zwei Jahre Signale doppelter Frequenz die während Moritz Rükflug ausgesandt wurden. Der Symmetriebruh zeigt sih hier ganz deutlih darin, dass Moritz sofort nah dem Umdrehen Signale mit höherer Frequenz sieht. Das wäre in einem Inertialsystem unmöglih. Aufgabe 7 Diskussion: Wie passt der Baum ins Haus? Ein alter Mann sitzt im für ihn ruhenden System S und hat sih dort ein Haus gebaut. Mit Shreken stellt er fest, dass sih ein Baum mit nahezu Lihtgeshwindigkeit auf seine Vordertür zubewegt. Er würde ihn ja durhsausen lassen, aber aus Siherheitsgründen kann er immer nur eine Tür gleihzeitig aufmahen. Die zur Vordertür parallele Hintertür kann er also nur öffnen, wenn die beiden Türen wenigstens einen Moment lang geshlossen waren. Shnell berehnet der Alte aus dem Lihtweg und den ihm bekannten Gleihungen der speziellen Relativitätstheorie die Länge des Baumes und kommt auf das Ergebnis, dass die Ruhelänge des Baumes größer als die Länge seines Hauses ist. Glükliherweise ist dieser aber durh die Längenkontraktion so weit verkürzt, dass er doh gerade so mit einigen Zentimetern Spiel in das Haus reinpassen würde. Kann der Mann seine Türen retten indem er den Baum kurzzeitig ins Haus einsperrt? Wie sieht das für den Baum aus? Lösungshinweise: Die Aufgabenstellung ist etwas unglüklih formuliert. Die beiden Türen sind so gedaht, dass sie zeitgesteuert sind, sodass sie im System des Hauses kurz gleihzeitig zu sind. Dabei wird keine 10

11 Information von der ersten Tür zur zweiten übertragen, sodass sih im System des Baumes kein Problem mit der Kausalität ergibt, wenn die Ereignisse nun in anderer Reihenfolge geshehen. Der Baum kann tatsählih aus Siht des Alten kurz ins Haus eingesperrt werden, denn er ist ja kurz genug dazu. Die Längenkontraktion ist shließlih niht nur ein sheinbarer Effekt! Sehr interessant wird das Ganze, wenn man es aus dem System des Baums betrahtet, in dem ja der Baum seine größere Ruhelänge hat, dafür das Haus längenkontrahiert kürzer ist (was die Situation sheinbar nur noh shlimmer maht)! Wir transformieren mal die beiden Ereignisse aus dem Alten-System S ins Baum-System S. Das erste Ereignis ist ein Messen des hinteren Ende des Baumes bei x 1 = 0, t = 0 in dem Moment wo die Vordertür im Ursprung nah der Passage zugeht, das zweite das gleihzeitige Messen des vorderen Ende des Baumes bei x 2 = L, t = 0 x 1 = γ (0 v 0) = 0 t 1 = γ 0 v 0 = 0 x 2 = γ x 2 t 2 = γ v x 2 Das Messen des vorderen Ende des Baumes findet also im Baumsystem vor dem Messen des hinteren Endes statt. Für den Baum sieht es also so aus, als ob erst die Hintertür zugeht, wenn seine Vorderkante in ihre Nähe kommt, dann geht sie wieder auf, lässt ihn weiterfliegen und erst irgendwann später geht die Vordertür hinter der Hinterkante des Baumes zu. Somit ist es in beiden Systemen so, dass der Baum das Haus wieder verlässt ohne Shaden zu verrihten. Nur gehen die Türen eben im Baumsystem niht gleihzeitig zu. Bei einer gleihzeitigen Messung im Baumsystem würde der Baum also auh niht ins Haus passen und auh wenn beide im gleihen Ruhesystem oder mit ausreihend niedriger Geshwindigkeit unterwegs wären würde das niht gehen, der Alte hat also Glük gehabt, dass der Baum so shnell fliegt. Außerdem könnte er den Hersteller seiner Siherheitsanlage verklagen weil dieser Versprehungen gemaht hat, die er niht halten kann. Man muss sih nur shnell bewegen und die Gleihzeitigkeit des Türen zugehens ist futsh! Aufgabe 8 Energie-Impuls-Beziehung a) Berehne das Vielfahe seiner Ruheenergie das notwendig ist, um ein Teilhen aus der Ruhe auf eine Geshwindigkeit von (i) 0.6, (ii) 0.9 und (iii) zu beshleunigen. Rehne ein Zahlenbeispiel für einen Würfel der Masse m = 1 kg b) Berehne für die drei Fälle jeweils den Impuls, den das Teilhen nahher hat, als Vielfahes des klassishen Impulses m 0 v und für das Zahlenbeispiel. ) Leite die relativistishe Energie-Impuls-Beziehung E 2 = (p) 2 + E 2 ruh her. d) Ist das Ergebnis, das man aus b) und ) erhält das gleihe wie dasjenige aus a)? 11

12 Lösungshinweise: a) Die relativistishe Energie ist E = m = γm 0 = γe ruh (1) Der gesuhte Faktor ist also gerade γ 1 da E kin = E E ruh. (i) γ = 10, (ii) γ = 2.3, (iii) γ = Für ein Kilogramm ergibt sih eine Ruheenergie von J, das heißt für die Beshleunigung sind notwendig (i) J, (ii) J, (iii) J. Um also von 90% auf 99.8% der Lihtgeshwindigkeit zu beshleunigen benötigt man eine Größenordnung mehr Energie als für die gesamte Beshleunigung vorher. b) Der relativistishe Impuls ist p = mv = γm 0 v (2) Es ergeben sih als Faktoren jeweils die γ-werte da der Anfangsimpuls 0 ist. Zahlen: (i) mkg/s, (ii) mkg/s, (iii) mkg/s ) Man verwende die beiden obigen Gleihungen und eliminiere v aus γ. Das kann man z.b. mahen indem man (1) nah v 2 auflöst und in (2) einsetzt m 0 E = 1 v 2 v 2 m0 2 = 1 p 2 = m2 0 v 2 = E v m ( m 0 ) 2 (m 0 ) 2 E 2 = E2 m2 0 2 E 2 E 2 = p 2 + m0 2 d) Das ist nah Herleitung klar dasselbe und es kommt auh das gleihe raus wenn man die Zahlenwerte nahrehnet. 12

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