32. Lebensdauer von Myonen 5+5 = 10 Punkte

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1 PD. Dr. R. Klesse, Prof. Dr. A. Shadshneider S. Bittihn, C. von Krühten Wintersemester 2016/2017 Theoretishe Physik in 2 Semestern I Musterlösung zu den Übungen 9 und 10 rk/tpi 16.html Hinweis: Fragen zu den hier präsentierten Musterlösungen können in der nähsten Fragestunde am gestellt werden. Die restlihen Aufgaben der beiden Blätter werden in den Übungsstunden am Freitag, , besprohen. 32. Lebensdauer von Myonen 5+5 = 10 Punkte Das Myon ist ein Elementarteilhen, das in vielen Eigenshaften dem Elektron gleiht. Es ist allerdings etwa 200 mal shwerer und hat eine endlihe Lebensdauer von τ = 2, s. Myonen entstehen z.b. in der Atmosphäre in etwa 10 km Höhe als Folge der kosmishen Strahlung. a) Berehnen Sie klassish (ohne die Relativitätstheorie) die Streke, die ein Myon innerhalb einer Lebensdauer τ maximal zurüklegen kann. Bewegt sih das Myon mit Lihtgeshwindigkeit, so legt es in der Zeit τ die Streke l = τ = 660 m zurük und könnte daher die Erde niht erreihen. b) Trotz des Ergebnisses aus a) beobahtet man auf der Erde zahlreihe Myonen. Erklären Sie dieses Ergebnis mit Hilfe der Relativitätstheorie (i) aus Siht des Ruhesystems des Myons und (ii) aus Siht eines Beobahters auf der Erdoberflähe (Laborsystem)! Wie groß ist die Geshwindigkeit der auf der Erdoberflähe beobahteten Myonen mindestens? Die angegebene Lebensdauer gilt im Ruhesystem des Myons. Im Laborsystem ersheint die Lebensdauer auf Grund der Zeitdilatation um den Faktor 1/ 1 v 2 / 2 verlängert: τ(v) = τ 1 v 2 / 2. Alternativ kann man dies auh mit der Längenkontraktion (im Ruhesystem des Myons) erklären: Den Myonen ersheint der Weg zur Erdoberflähe um den Faktor 1 v 2 / 2 verkürzt. Damit sie die Erdoberflähe erreihen, muss sein, wobei l 0 = 10 km und l = 660 m. Somit ist und somit l = l 0 1 v 2 / 2 ( ) 1 v2 l 2 2 = l 0 ( ) l 2 v = l Zeitdilatation = 10 Punkte

2 In der Vorlesung wurde die Zeitdilatation am Beispiel eines senkreht zur Bewegungsrihtung laufenden Lihtstrahls hergeleitet. Nun betrahten wir Zeitmessung für den Fall, dass sih der Lihtstrahl parallel zur Bewegungsrihtung ausbreitet. Betrahten Sie einen Zug der Länge l (im Bezugssystem des Zuges S ), an dessen linken Ende sih eine Lihtquelle befindet. Der Zug bewege sih in positive x-rihtung. a) Bestimmen Sie die Laufzeit t 1 bzw. t 1 des Lihtstrahls (jeweils im Ruhesystem S und im bewegten System S ), die der Lihtstrahl benötigt, um vom linken Ende des Zuges bis zum anderen Ende zu gelangen. In S gilt: während in S t 1 = l, t 1 = l mit l = 1 v γ l, 1 ( ) v 2 l also t 1 = ( ) 1 v t 1 gilt, wobei wir den unten gegebenen Hinweise genutzt haben. Die im ortsfesten System beobahtete Laufzeit ist also größer. b) Der Lihtstrahl werde nun am rehten Ende des Zuges reflektiert. Bestimmen Sie die Laufzeit t 2 bzw. t 2, die der Strahl vom rehten bis zum linken Ende des Zuges benötigt. In S gilt: während in S t 2 = l, t 2 = l mit l = 1 + v γ l, 1 ( ) v 2 l also t 1 = ( ) 1 + v t 1 gilt. Die im ortsfesten System beobahtete Laufzeit ist also kleiner. ) Stehen die Ergebnisse aus a) oder b) im Widerspruh zu dem Ihnen bekannten Konzept der Zeitdilatation? Bestimmen Sie nun die Gesamtlaufzeit des Lihtstrahls t G bzw. t G und zeigen Sie, dass diese der bekannten Beziehung der Zeitdilatation genügen. Was folgern Sie daraus bezüglih Zeitmessungen in relativistishen Systemen?

3 Die beiden Ergebnisse stehen niht im Widerspruh zum Zeitdilatationskonzept. Für relativistishe Zeitmessungen muss man die Zeitdifferenz zwishen zwei Ereignissen am gleihen Ort betrahten. Sprih, die bekannte Formel für die Zeitdilatation stimmt auh nur, wenn man die Hin-und Rükflugzeiten des Lihtstrahls zusammen nimmt. Wenn man dies tut, erhält man in S : t G = 2l. Im System S erhält man dann durh Addition der beiden Ergebnisse aus a) und b) und Ausmultiplizieren: was der Erwartung entspriht. t G = t 1 + t 2 = γ 2l = γt G, Hinweis: Es gilt: und 1 ( a b 1 a b 1 ( a b 1 + a b ) 2 ) 2 > 1 für 0 a b 1 < 1 für 0 a b Relativistisher Doppler-Effekt = 8 Punkte Ein bewegter Sender sende periodish, im Abstand T S, Lihtimpulse aus, die sih mit der Geshwindigkeit zu einem Empfänger bewegen. Der Sender entferne sih dabei mit der Geshwindigkeit v vom Empfänger. a) Betrahten Sie dieses Problem zunähst niht-relativistish. In welhem Abstand T E kommen die ausgesendeten Signale beim Empfänger an? Durh die Bewegung des Senders müssen die Impulse (mit der Geshwindigkeit ) jeweils die zusätzlihe Streke v T S im Vergleih zum vorherigen Impuls zurüklegen. Dadurh gilt für den Empfänger T E = T S + vt S = ( 1 + v ) T S b) Welhen Effekt müssen Sie im Rahmen einer relativistishen Betrahtung des Problems nun berüksihtigen? Leiten Sie einen Ausdruk für den Abstand T E im relativistishen Fall her. Kann das Ergebnis auh für bewegte Empfänger angewendet werden?

4 Mit der Zeitdilatation ergibt sih T S T S = T S 1 v2 2 > T S Daraus folgt T E = T E = 1 + v 1 v2 2 T S 1 + v 1 v T S Das Ergebnis gilt auh für bewegte Empfänger, wobei v dann die Relativgeshwindigkeit angibt. ) Leiten Sie einen Ausdruk für die Beziehung zwishen ausgesandter und empfangener Wellenlänge her. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis für sih nähernde Sender (v > 0) und sih entfernende Sender (v < 0). Aus der Periodendauer T = λ folgt λ E = 1 + v 1 v λ S Es tritt eine Rotvershiebung bei v > 0 auf (entfernend) und eine Blauvershiebung bei v < 0 (nähernd). d) Betrahtet man die Galaxie Corona Borealis, findet man, dass die Absorptionslinie des Wasserstoffs von λ S = 394 nm auf λ E = 423 nm vershoben ist. Berehnen Sie die Geshwindigkeit dieser Galaxie und interpretieren Sie Ihr Ergebnis. λ E λ S = 1, 07 = 1 + v 1 v v = ( ) 2 λe λs 1 ( ) 2 = 0, 071 λe λs + 1 v = km s 38. Relativistishe Dynamik 5 Punkte Zwei identishe Teilhen mit der Ruhemasse m treffen mit gleih großer, entgegengesetzt gerihteter Geshwindigkeit v aufeinander. Bei dem vollkommen inelastishen Stoß entsteht ein einzelnes Teilhen, das sih in Ruhe befindet. Wie groß ist die Ruhemasse M des neuen Teil-

5 hens? Wieso könnte man annehmen, dass die Energieerhaltung bei diesem Prozess niht erfüllt ist? Begründen Sie, warum diese Annahme falsh ist. Energieerhaltung: E vorher = E nahher mit wobei p = γmv. Damit erhält man d.h. E vorher = 2 p m 2 4, E nahher = M 2 M 2 = 4γ 2 m 2 v m2 2 = M = 2γm. 4m2 1 v 2 / 2, Bem.: Alternativ könnte man auh direkt mit 2(E kin + m 2 ) = M 2 beginnen, wobei E kin = (γ 1)m 2 ist. Das wurde in der Vorlesung aber niht explizit angegeben. Warum die Annahme falsh ist: Die beiden Teilhen sind vor dem Stoß in Bewegung, das finale Teilhen in Ruhe. Vom klassishen Standpunkt könnte man meinen, die Energieerhaltung sei verletzt, weil die kinetishe Energie einfah vershwindet (wenn man vermutet, dass M = 2m). Allerdings geht hier ein Teil der Energie in Bindungsenergie über, daher der Massendefekt und die immer noh geltende Energieerhaltung.