Zum kritischen Verhalten eines invertierten Pendels

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1 Physik und Didaktik 14/1, 38 (1987) Zum kritishen Verhalten eines invertierten Pendels H. Joahim Shlihting, Bernd Rodewald Das Verhalten eines pendelnden Stabs kann sih in ungewohnter Weise ändern wenn man seine Aufhängung in shnelle Oszillation versetzt. Beispielsweise kann das Pendel dazu gebraht werden, auf dem Kopf stehend zu shwingen. Es wird gezeigt, daß dieses Verhalten weitgehende Analogien zum kritisher Verhalten von Vielteilhensystemen (Phasenübergänge 1. und. Art) aufweist und damit ein relativ einfahes Modell solher komplexen Vorgänge darstellt. Experimentell lassen sih die Phänomene zumindest qualitativ bereits mit einem Elektrorasierer realisieren. Problemstellung Normalerweise pendelt ein hängender Stab um eine senkreht unterhalb der Aufhängung liegende Ruhelage. Diese,,normale Situation kann sih jedoh drastish ändern, wenn man die Aufhängung einer shnellen periodishen Bewegung unterwirft: Wird die Aufhängung auf und abbewegt, so kann man erreihen, daß das Pendel auf dem Kopf stehend also um eine um 18 gedrehte neue Gleihgewihtslage shwingt ( Stehpendel ). Eine horizontale Hin und Herbewegung der Aufhängung kann zu einer shrägen" Shwingung führen. Die Gleihgewihtslage vershiebt sih nah links oder nah rehts aus der ursprünglihen Position heraus. Wenn die Aufhängung eine Oszillation relativ kleiner Amplitude und hoher Frequenz besitzt, ist sie vom Normalfall der ruhenden Aufhängung kaum zu untersheiden, und die obenan gegebenen Bewegungen werden zumeist als äußerst erstaunlih empfunden. Das mag einer der Gründe dafür sein, daß dieses sogenannte invertierte Pendel seit seiner erstmaligen mathematishen Beshreibung durh Kapitza [1] immer wieder Gegenstand didaktish motivierter Arbeiten [7] gewesen ist. In diesen Arbeiten ist jedoh die Frage kaum untersuht worden, wie die Oszillationen der Aufhängung beshaffen sein müssen, damit das Pendel sih noh normal oder shon invertiert verhält. Dieses Problem des Übergangs vom normalen zum invertierten Verhalten ist Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Es wird gezeigt, daß ein Pendel mit angetriebener" Aufhängung sieh auffallend ähnlih wie ein Vielteilhensystem verhält wenn dieses einen Phasenübergang durhmaht Man denke hierbei z.b. an einen Ferromagneten, der vom ungeordneten paramagnetishen in den geordneten ferromagnetishen Zustand übergeht. Diese Ähnlihkeit erweist sih als sehr weitgehend: Das Pendel weist sowohl ein dem kontinuierlihen Phasenübergang (Phasenübergang. Art) als auh ein dem diskontinuierlihen Phasenübergang (Phasenübergang I Art) entsprehendes Verhalten auf. Phasenübergänge Bevor wir auf die Ähnlihkeit eingehen, die das Verhalten des invertierten Pendels mit Phasenübergängen aufweist, seien kurz die wihtigsten Charakteristika solher Umwandlungen in Vielteilhensystemen skizziert. Einzelheiten entnehme man der einshlägigen Literatur (z.b. [81]). Von einem Phasenübergang spriht man, wenn ein Vielteilhensystern von einer Phase in eine andere übergeht. Dabei ist eine Phase ein Zustand der Materie mit räumlih konstanter Dihte des thermodynamishen Potentials. Beispiele: Ein Phasenübergang legt vor, wenn man Wasser soweit abkühlt, daß es vom flüssigen in den festen Zustand übergeht oder einen Ferromagneten so stark erwärmt, daß er unmagnetish (paramagnetish) wird. Dieser Übergang läßt sih quantitativ durh den sogenannten Ordnungsparameter beshreiben. Sein Wert hängt von den äußeren Bedingungen ab, denen das System unterworfen wird. Diese Bedingungen werden durh sog Kontrollparameter wie z.b. die Temperatur im genannten Beispiel erfaßt. Je nahdem, ob sih der Ordnungsparameter kontinuierlih oder diskontinuierlih verändert, spriht man vom Phasenübergang. Art oder 1 Art. Wie durh die Begriffsbildung an- 1

2 gedeutet, kann ein Phasenübergang als eine Art Ordnungsänderung des Systems angesehen werden, die sih in einer Symmetriebrehung bemerkbar maht. Geht z.b. Eisen vom unmagnetishen (paramagnetishen) in den ferromagnetishen Zustand über, so entsteht Ordnung, welhe sih im Modell der Elementarmagnete durh Ausrihtung derselben in eine Rihtung beshreiben läßt. Damit bekommt das Material eine ausgezeihnete Rihtung, und die vorher vorhandene Drehsymmetrie im Raum geht verloren (,,wird gebrohen ). Auffallend ist die sog Universalität, mit der sih völlig vershiedene physikalishe Systeme rnerkwürdig ähnlih verhalten Diese Ähnlihkeit geht sogar über den engen Bereih der Gleihgewihtsthermodynamik hinaus, in deren Rahmen die Phasenübergänge beshrieben werden. Es zeigt sih, daß vom thermodynamishen Gleihgewiht weit entfernte Systeme, die sogenannten dissipativen Strukturen [11]. ein Verhalten zeigen, das große Ähnlihkeiten mit Phasenübergängen aufweist. Dazu gehört das plötzlihe Entstehen der sogenannten Benardzellen und das Zünden eines Lasers ebenso wie das Auftreten von Wolkenstraßen oder gar die biologishe Evolution [1]. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es u.a. zu zeigen, daß selbst in einem äußerst einfahen offenen System wie dem invertierten Pendel phasenühergangsähnlihes Verhalten auftritt. Um diese Ähnlihkeit zu zeigen, untersuhen wir die effektive potentielle Energie des Pendels, welhe der freien Enthalpie von thermodynamishen Systemen entspriht. Aus ihr lassen sih alle relevanten Größen, wie etwa der Ordnungsparameter, gewinnen und der Vergleih bis in quantitative Details verfolgen. Physikalishes Modell des invertierten Pendels Wir betrahten der Einfahheit halber einen Pendelstab, dessen Shwerpunkt S den Abstand l zur Afhängung A habe. Diese liege im Punkt (X, Y O ) eines xykoordinatensystems (siehe Abb. 1). Die Ruhelage im antriebslosen Fall sei bei θ =. Die Bewegung des Shwerpunkts wird durh die r r in yrihtung wirkende Shwerkraft F g = mg und die auf den Antrieb ausgeübte, durh den starren Stab übertragene periodishe Kraft F v bestimmt. Der Drehimpulssatz liefert: v v v v D = ( F + F ) l & θ =. (1) g I S (I S und θ & sind Trägheitsmoment und Winkelbeshleunigung des Pendelstabs). In Komponentenshreibweise ergibt sih: I && θ = S = l ( Fx y Fy x) ( F sinθ F osθ ) y x () mit F x = m & x& und F y = m & y& mg. Die x und yortskoordinaten des Pendelshwerpunktes setzen sih aus zwei Anteilen zusammen: x = x y = y + l sinθ + l osθ (3) Abb. 1: Shematishe Darstellung des Pendels um den Winkel θ ausgelenkt und angetrieben durh eine periodishe Kraft F v, deren Rihtung um den Winkel α von der yahse abweiht. x und y werden durh den periodishen Antrieb F v bewirkt und haben folgende allgemeine Form: x y = Aost sinα = Aost osα. (4) Dabei sind A und Amplitude und Frequenz der periodishen Bewegung. Die Rihtungsabweihung des Antriebs von der vertikalen wird durh den Winkel α beshrieben. Setzt man Gleihung (3) und (4) in Gleihung () ein und benutzt die Abkürzung L := (I S + ml )/ml so erhält man: L & θ + A ost(osα sinθ sinα osθ ) + g sinθ = (5) Da wir uns im folgenden nur für das Verhalten des Pendels im zeitlihen Mittel interessieren, können wir darauf verzihten, die Bewegungsgleihung (5) zu lösen. Es genügt, θ(t) in Gleihung (5) durh seinen Mittelwert über Zeiten der Größe π/ zu ersetzen. Da im folgenden nur noh dieser Mittelwert vorkommt, können wir ihn der Ein-

3 fahheit halber ebenfalls mit θ bezeihnen. Dann gilt im Falle )) g/l und A/L << 1 näherungsweise & θ + U ( θ, ) = θ Dabei. ist A U ( θ, ) = sin 4L (6a) ( θ α) g osθ (6b) die sog. effektive potentielle Energie (Einzelheiten entnehme man z.b. [1]) Anhand von U läßt sih das Verhalten der Gleihgewihtslagen θ des Pendels unter vershiedenen Bedingungen studieren. Analogie zum kontinuierlihen Phasenübergang Es liegt auf der Hand, die jeweils vom Pendel eingenommene Gleihgewihtslage θ, um die das Pendel shwingt, als die dem Ordnungsparameter entsprehende Größe anzusehen. θ = bedeutet eine Position des Pendels, welhe bezüglih Spiegelungen des Systems an der yahse symmetrish liegt und entspriht der ungeordneten Phase eines Vielteilhensystems θ entspriht der geordneten Phase; die angesprohene LinksRehts- Symmetrie des Systems ist hier gebrohen. In der geordneten Phase befindet sih das Pendel niht mehr im (thermodynamishen) Gleihgewiht Sie kann daher nur durh Energieaustaush mit der Umgebung (aufgrund des Antriebs des Aufhängepunktes) aufrehterhalten werden Ein Phasenübergang ist daher in diesem Fall niht nur mit einer Symmetriebrehung verbunden (siehe unten), sondern auh mit einer En4ernung des Systems aus dem thermodynamishen Gleihgewiht. Die jeweilige Gleihgewihtslage θ des Pendels kann durh Berehnung der Minima des effektiven Potentials (6b) bestimmt werden. Demnah verhält sih das Pendel solange normal, d.h. das Minimum liegt bei θ =, wie die Frequenz unterhalb eines durh die übrigen Systemparameter festgelegten Werts bleibt: Lg <. (7) A Oberhalb dieses Wertes besitzt das Pendel eine durh = A 4gLsinθ sin ( θ α) gegebene Gleihgewihtslage θ =. Wenn es diese einnimmt (s.u.), befindet es sih im geordneten (invertierten) Zustand. Dazwishen liegt der sogenannte kritishe Punkt = Lg A, (9) bei dem die Symmetriebrehung und damit der Phasenübergang erfolgt. Um zu konkreten Aussagen zukommen, betrahten wir im folgenden einige Spezialfälle die durh die Festlegung der Shwingungsebene für den Antrieb gegeben sind. Horizontaler Antrieb Für den horizontalen Antrieb α = 9 nimmt das effektive Potential (6b) die Form U A ( θ, ) = os θ osθ (1) 4L 9 g an. Wähst über den kritishen Wert hinaus, so geht die Gleihgewihtslage von θ = in einen durh osθ = (11) festgelegten Wert und damit das Pendel vom ungeordneten normalen in den geordneten invertierten Zustand über. Dieser,,Phasenübergang läßt sih anhand von Abbildung verflogen, in der U 9 = 1/gU 9 als Funktion der Auslenkung θ für wahsende aufgetragen wurde. Für = weist das Potential U bzw. U ein absolutes Minimum bei θ = auf, das mit zunehmendem flaher wird. Oberhalb des kritishen Punktes > wähst in der Mitte des Minimums ein Maximum heraus, das zwei neu entste- hende Minima voneinander trennt Dadurh wird die Symmetrie gebrohen. Zwar sind beide Gleihgewihtslagen, die durh die Minima festgelegt werden, gleihberehtigt. Aber nur eine von beiden kann aktuell vom Pendel eingenommen werden. Es liegt eine ehte Bifurkation vor: Das Pendel muß sih sozusagen für eine Gleihgewihtslage entsheiden Mit anderen Worten: Es hängt vom Zufall ab, welhe Gleihgewihtslage jeweils verwirkliht wird. In der Nähe von reihen noh kleine Störungen aus, um das Pendel von einer in die andere Gleihgewihtslage springen zu lassen Mit zunehmender Entfernung vom kritishen Punkt > wird das Maximum bei θ = shließlih so groß, daß die einmal gewonnene Gleihgewihtslage stabilisiert und der Zu- 3

4 fall sozusagen konserviert wird. Mit wahsendem streben die beiden Minima zunehmend auseinander, um mit die Grenzwerte ±9 einzunehmen Dieses Verhalten läßt sih auh direkt der GL. (11) entnehmen. In Abbildung 3 ist das Verhalten des Gleihgewihtswinkels in Abhängigkeit von noh einmal gesondert aufgetragen worden. Vertikaler Antrieb Nah demselben Shema wie beim horizontalen Antrieb läßt sih der vertikale Antrieb untersuhen. Als effektives Potential ergibt sih Abb. : Effektives Potential U (θ, / 9 ) als Funktion des Auslenkungswinkel θ für vershiedene Parameter /. Der Übersihtlihkeit halber wurden die Kurven mit wahsendem / jeweils um.3 nah oben vershoben, ohne daß die dazugehörige neue θahse eingezeihnet wurde. Verbindet man die Minima (gestrihelte Kurve), so erhält die durh Gleihung (11) gegebene Kurve, deren positiver Ast in Abbildung 3 dargestellt ist. Hier, wie in den folgender Abbildungen, wurden dimensionslose Größen statt U also U = 1/g U benutzt. Abb. 3: Der als Ordnungsparameter fungierende Gleihgewihtswinkel θ als Funktion des Kontrollparameters /. Es wurde nur der positive Ast aufgetragen. Die Ähnlihkeit zur bekannten Kurve der Magnetisierung als Funktion der absoluten Temperatur beim Ferrornagneten ist auffallend. U A ( θ, ) = sin θ osθ (1) 4L g Läßt man über den kritishen Punkt hinaus wahsen, so wird wiederum die Symmetrie gebrohen Es besteht jedoh ein qualitativer Untershied zum Spezialfall des horizontalen Antriebs. Dazu shauen wir uns den Potentialverlauf von U = 1/g U als Funktion des Auslenkungswinkels θ für wahsendes an (Abb. 4) Das Minimum bei θ = bleibt bestehen, die Flanken werden eher noh steiler. Denn oberhalb von entsteht bei θ = 18 zusätzlih ein lokales Minimum. Dieses ist vorn Minimum bei θ = durh ein durh osθ = - / festgelegtes Maximum getrennt, dessen Lage bezüglih θ mit gegen ±9 strebt. Das heißt aber, daß ein Pendel, das um den Gleihgewihtszustand θ = shwingt, auh bei Übershreiten des kritishen Punktes niht ohne weiteres in ein davon vershiedenes θ übergeht. Es findet also niht automatish ein Phasenübergang statt. Erst wenn man das Pendel stark stört - indem man es veranlaßt, das Maximum zu übershreiten -,,fällt es in das neue Minimum, und das System nimmt den geordneten Zustand ein. Eine hierzu analoge Situation liegt beim inflationären Universum vor. Das höherliegende Minimum von u entspriht dem falshen Vakuum", das absolute Minimum dem,,wahren Vakuum". (Diesen Hinweis verdanken wir Prof. Dr. J. Ehlers (als Gutahter)) Kritisher Exponent Es ist üblih, das Verhalten eines Vielteilhensystems in der Nähe des kritishen Punktes durh den sog. kritishen Exponenten zu harakterisieren [8] Im vorliegenden Fall gewinnt man ihn dadurh, daß man beispielsweise für den Fall α = 9 die Gleihung (11) durh Reihenentwiklung des Kosinus nah θ auflösen kann, wenn man durh einen nur wenig von abweihenden 4

5 Wir haben bereits oben (Gleihung (9)) gesehen, daß normales und invertiertes Verhalten des Pendels vom Verhältnis von zu einer von g abhängigen Größe = Lg/A abhängen. Wird jetzt statt jedoh g variiert, so erreiht man nur dann ein phasenübergangsähnlihes Verhalten, wenn (bei γ = ) vom ungeordneten Zustand < L/A ausgegangen wird. Denn g kann durh die Drehung nur verkleinert werden. Die tatsählih wirkende Shwerebeshleunigungskomponente nimmt jetzt die Rolle des Kontrollparameters ein. Shräger Antrieb Dieser Übergang soll an dem Spezialfall α = 45 etwas näher betrahtet werden. Das effektive Potential nimmt nun die Form Abb. 4: Effektives Potential U (θ, / ) als Funktion des Auslenkungswinkels θ für vershiedene Para- meter /. Der Übersihtlihkeit halber wurden die Kurven mit wahsendem / jeweils um.3 nah oben vershoben. Wert ε = ( - )/ ersetzt. Man erhält auf diese Weise θ ε 1/ (13) Der kritishe Exponent beträgt also ½ und ist damit übrigens identish mit dem kritishen Exponenten eines Ferromagneten, wie er sih im Rahmen der Weißshen Molekularfeldtheorie [8] ergibt. Analogie zum diskontinuierlihen Phasenübergang Entsheidend für das Invertierte Verhalten des Pendels ist, daß de durh den periodishen Antrieb des Pendels bedingte Kraft nah Gleihung (6) Im Mittel die Shwerkraft überwiegt und ihr entgegengerihtet ist. Ein Übergang vom normalen bzw. ungeordneten Zustand müßte demnah auh dann zu erreihen sein, wenn es gelänge, statt an der Frequenz an der Shwerkraft zu,,drehen. Praktish läßt sih eine Variation der Shwerebeshleunigung dadurh simulieren, daß man das Pendel um die horizontale x-ahse dreht. Bei einer Drehung um einen Drehwinkel γ kommt nämlih nur eine Shwerebeshleunigung von g = g osγ zur Wirkung Eine Volldrehung kommt damit einer Variation von g - g g gleih, ohne daß (im Idealfall) dadurh andere Größen beeinflußt werden. U ( θ, G) = (1 sin θ ) osθ (14) 4 45 G an, so daß die Gleihgewihtslage durh os θ G = (15) sinθ festgelegt ist. Dabei übernimmt nunmehr G = g /g die Rolle des früheren Kontrollparameters. Variiert man nämlih G, so tritt plötzlih zusätzlih zum bereits vorhandenen Minimum ein weiteres Minimum auf, und zwar bei θ = 9 wenn G den Wert G = - / übershreitet bzw. bei θ = 9, wenn G den Wert G = / untershreitet. Beim Durhlaufen der Werte von G in umgekehrter Rihtung vershwindet dieses Minimum in entsprehender Weise. Damit hat man ein qualitativ anderes Verhalten als beim kontinuierlihen Phasenübergang, bei dem die beiden Minima gleihzeitig beim kritishen Punkt aus einem Minimum kontinuierlih herauswahsen bzw. wieder darin aufgehen Dieser Untershied läßt sih durh Vergleih von Abbildung und Abbildung 5 veranshaulihen. Im vorliegenden Fall (Abb. 5) gehen wir vom ungeordneten Zustand =,9 aus. Verringen man G von 1 beginnend, so vershiebt sih das Minimum von θ = leiht hinzu größeren Winkeln und wird immer flaher. Gleihzeitig deformiert sih die linke Flanke, um shließlih ab G =,45 an der Stelle θ = 9O ein neues Minimum entstehen zu lassen. Dieses Minimum kann jedoh von großen Störungen abgesehen zunähst vom Pendel niht eingenommen werden. Verkleinert man θ in den negativen Bereih hinein, so vershwindet bei dem kritishen Wert G =,45 die vom Pendel eingenommene Gleihgewihtslage 5

6 Abb. 6: Der als Ordnungsparameter fungierende Gleihgewihtswinkel θ als Funktion des Kontrollparameters G. Deutlih zu erkennen die diskontinuierlihen Phasenübergänge bei G = ±,45. Abb. 5: Effektives Potential U (θ, G) als Funktion 45 des Auslenkungswinkels θ für vershiedene Parameter G. Der Übersihtlihkeit halber wurden die Kurven mit abnehmendem θ jeweils um 1/3 nah oben vershoben plötzlih ganz, und dem Pendel bleibt nihts anderes übrig, als augenbliklih, also sprunghaft, in die inzwishen gut ausgebildete andere Gleihgewihtslage überzuwehseln Durhläuft man anshließend den Wertebereih von G in umgekehrter Rihtung. So vershwindet auh dieses Minimum wieder mit der Folge, daß das Pendel in die alte Gleihgewihtslage zurükspringt. Dies passiert jedoh zu einem späteren Zeitpunkt, also bei größerem Wert von G als beim zuerst geshilderten Übergang. Man hat es also im Grunde mit zwei Phasenübergangspunkten G = ±G zu tun. Dieses sogenannte Hysteresisverhalten ist harakteristish für einen diskontinuierlihen Phasenübergang (1. Art). In Abbildung 6 haben wir den als Ordnungsparameter fungierenden Gleihgewihtswinkel θ in Abhängigkeit vom Kontrollparameter aufgetragen Die soeben anhand von Abbildung 5 beshriebene Beobahtung, daß das Pendel auf je zwei vershiedenen Wegen von der einen in die andere Gleihgewihtslage gelangt, je nahdem, aus welher Rihtung man den kritishen Punkt übershreitet, findet hier ihren anshaulihen Ausdruk. Auh die Diskontinuität, das sprunghafte Verhalten des Ordnungsparameters θ ist unmittelbar der Abbildung 6 zu entnehmen. Potentiale und Responsefunktionen Um die Analogie zwishen dem,,kritishen" Verhalten des invertierten Pendels und kontinuierlihen und diskontinuierlihen Phasenübergängen in Vielteilhensystemen weiter verfolgen zu können, betrahten wir die für das knirshe Verhalten harakteristishen Funktionen. Dies sind normalerweise die Freie Enthalpie und ihre Ableitung nah dem Kontrollparameter. Der Freien Enthalpie entspriht im Falle unseres Pendels das effektive Potential In Abbildung 7a haben wir das Potential U = 1/g U 9 9 (Gl. 1) als Beispiel für einen kontinuierlihen und das Potential U = 1/g 45 U 45 (Gl. 14) als Beispiel für einen diskontinuierlihen Phasenübergang als Funktion des jeweiligen Ordnungsparameters aufgetragen Der Untershied zwishen den beiden Arten des Phasenübergangs zeigt sih darin, daß im diskontinuierlihen Fall bei G ein Sprung auftritt. Die Entropie (bzw. genauer: die Entropiedihte) spielt bei Phasenübergängen eine wihtige Rolle. Je nahdem, ob sie sih kontinuierlih oder diskontinuierlih ändert, hat man es mit einem kontinuierlihen Phasenübergang oder diskontinuierlihen Phasenübergang zu tun. Man erhält die Entropie formal durh Ableitung der Freien Enthalpie nah der absoluten Temperatur als Kontrollparameter. Analog dazu hat man beim Pendel U 9 (θ, ) bzw. U 45 (θ, )nah θ bzw. G abzuleiten. Wir betrahten hier exemplarish zunähst den Fall horizontaler Anregung (α = 9 ). Für diesen ergibt sih eine Funktion, S 9 (θ, ), deren Vorhalten am kritishen Punkt durh S S 9 9 U : = U : = = g, θ = g = 4 θ (16) 6

7 Abb. 7: Gegenüberstellung der effektiven Potentiale und einiger Responsefunktionen für den kontinuierlihen (α = 9 ) und diskontinuierlihen (α = 45 ) Phasenübergang als Funktion des jeweiligen Kontrollparameters. gegeben ist, je nahdem, ob man für sih von,,unten" oder oben" (θ durh Gl. (11) gegeben) an den kritishen Punkt annähert. Man erhält auf diese Weise eine Funktion mit sehr steiler Tangente am kritishen Punkt (Abb. 7b). Vergleiht man damit die entsprehende Größe S 45 (θ, G) für den diskontinuierlihen Spezialfall (α = 45 ) so erhält man an der entsprehenden Stelle einen Sprung, wie man aufgrund des Sprungs im effektiven Potential auh erwarten mußte. Zum Shluß sei. noh gezeigt. daß auh die zweite Ableitung der Freien Enthalpie. die spezifishe Wärme, bei unserem Pendel eine Entsprehung findet. Sie ist durh die zweite Ableitung des Potentials gegeben, beider jetzt auh im kontinuierlihen Fall am kritishen Punkt ein Sprung auftritt (Abb. 7), weshalb man auh von Phasenübergängen. Art spriht. Man erhält: 9 S : = 9 θ = = C, S9 3 C 9 : = =. 6 θ (17) Dabei sind die Symbole entsprehend Gleihung (16) zu interpretieren. Freihandversuhe Die hier diskutierte Analogie zwishen dem kritishen Verhalten des invertierten Pendels und Phasenübergängen wäre von rein akademishem Wert, wenn es niht einfahe Möglihkeiten gäbe, sih dieses Verhalten an einem konkreten Model 7

8 anzushauen und selbst zu erleben. Die einfahste Möglihkeit - nur diese soll hier kurz skizziert werden - besteht darin, einen elektrishen Rasierapparat mit Shwinganker als Antriebsaggregat zu benutzen. Man nimmt den Sherkopf durh Lösen eines Sprengrings ab, shiebt einen mit einer passenden Bohrung versehenen Pendelstab (aus Plastik, Pappe oder Bleh) über den Zapfen und arretiert ihn durh erneutes Anbringen des Sprengringes. Jetzt gibt man durh Drehen des Rasierers die gewünshte Shwingrihtung vor und shaltet das Gerät ein. Ob das Pendel invertiert wird oder niht hängt - wie wir gesehen haben - maßgeblih davon ab, wie sih die Antriebsfrequenz zu = Lg/A, eine aus effektiver Pen- dellänge, Erdbeshleunigung und Antriebsamplitude zusammengesetzten Größe verhält. Da bis auf L, das bei gegebenem Material von der Größe des Pendelstabs abhängt, alles andere vorgegeben ist (die Antriebsfrequenz ν = /π beträgt 5 Hz, die Amplitude etwa mm), kann man durh die Größe des Pendels festlegen. ob die Frequenz ausreiht. die geordnete Phase einzunehmen. Für ein l m breites Pappende wird das bis zu einer Länge von 1m stets der Fall sein, wenn man niht z.b. durh Plastillin den Shwerpunkt des Pendels gezielt vershiebt. Ist also >, so wird man beispielsweise bei horizontalem Antrieb beobahten, daß sofort nah Einshalten des Geräts die Symmetrie gebrohen wird. Das Pendel shwingt nun um eine neue Gleihgewihtslage links oder rehts von der alten und nimmt auf diese Weise den geordneten Zustand ein. Je kürzer das Pendel, desto näher reiht diese an θ = 9 heran. Davon, daß es von zufälligen Störungen abhängt, ob das Pendel nah links oder rehts geht, kann man sih überzeugen, indem man das Gerät häufiger anshaltet. Dabei stellt man außerdem etwa gleihe Wahrsheinlihkeit für den Übergang nah links und rehts fest. was deutlih maht, daß die Minima des effektiven Potentials gleih tief liegen. Bei vertikal orientiertem Antrieb bleibt das Pendeln der Ruhelage θ =. Es sei denn, man hält es beim Einshalten des Antriebs in der Kopfstandposition (θ = 18 ). Dann shwingt es um θ = 18 (Stehpendel) und leistet umso stärkeren Widerstand gegen ein Herausdrehen aus dieser Position je kürzer es ist, d.h. je stärker die Größe übertrifft. Auh der diskontinuierlihe Phasenübergang läßt sih mit diesem einfahen Gerät simulieren. Dazu fertigt man sih ein Pendel an, bei dem leiht unterhalb liegt, d.h. von kleinen Shwankungen abgesehen das Pendel noh in der Ruhelage θ = verbleibt. Läßt man jetzt den Antrieb in einem Winkel von etwa α = 45 wirken und dreht dabei den Rasierer um die horizontale x-ahse, so daß die Pendelebene langsam aus der Vertikalen in die Horizontale überführt wird, dann erzielt man einen Effekt, der der Verminderung der Erdbeshleunigung äquivalent ist. Damit nimmt man aber Einfluß auf und erreiht, daß dieses das vorgegebene untershreitet und die Bedingungen für einen Über gang in die geordnete Phase vorliegen Davor kann man sih überzeugen, wenn man etwas mit der Hand nahhilft und das Pendel auf diese Weise in eine neue Gleihgewihtslage θ befördern. Von selbst erfolgt dieser Übergang sehr viel später, aber dann sprunghaft. Man muß den Rasierer über 9, also über den Wert G = hinaus zu negativem Wert von G drehen bis dieser Phasensprung erfolgt. Dreht man den Rasierer zurük, so fällt umgekehrt das Pendel niht etwa an derselben Stelle in den ursprünglihen ungeordneten Zustand zurük, sondern erst später, wenn man sih bereits bei Werten von G befindet, bei denen das Pendel vorher noh keine Anstalten mahte zu invertieren. Man bekommt auf diese Weise einen reht anshaulihen, ja mit eigenen Händen erfühlbaren, Eindruk vom Hysterese- Verhalten, welhes für den diskontinuierlihen Phasenübergang typish ist. Mit diesen Andeutungen zu Freihandversuhen. mit denen man die oben entwikelten theoretishen Vorstellungen zum phasenübergangsähnlihen Verhalten des Pendels qualitativ überprüfen und veranshaulihen kann, wollen wir es bewenden lassen. Weitere Experimente liegen auf der Hand Zu einer Präzisierung der experimentellen Untersuhung kann man durh Verbesserung des Geräts, insbesondere der Aufhängung des Pendels, gelangen Ersetzt man shließlih den Rasierer beispielsweise durh eine elektronish regelbare Stihsäge, so verfügt man sogar über die Möglihkeit einer kontinuierlihen Variation der Antriebsfrequenz. Dadurh ist natürlih wenn auh mit etwas größerem Aufwand eine sehr viel direktere und gegebenenfalls über das rein Qualitative hinausgehende Überprüfung der theoretishen Ergebnisse gegeben. Shlußbemerkung Das invertierte Pendel ist ein einfahes mehanishes System, welhes ein kritishes Verhalten aufweist. das den Phasenübergängen in Vielteilhensystemen analog ist. Im Untershied zu anderen mehanishen Beispielen, z.b. dem,,vogel im Ei" [13,14], kann man am invertierten Pendel sowohl Phasenübergänge 1. Art als auh Art studieren. Interessant und faszinierend wird dieses System vor allem dadurh, daß es für qualitative 8

9 Belange einfah realisiert werden kann und somit die Möglihkeit bietet, Phasenübergängen auh einen sinnlihen Erfahrungsaspekt abzugewinnen: Wenn man den Rasierer in den Händen hält, spürt man beispielsweise, wie die Shwingungsmoden weih werden und den Phasenübergang einleiten. Dies kann für das Verständnis von Phänomenen wihtig sein, die in anderen Bereihen häufig nur über komplizierte und abstrakte Überlegungen zugänglih sind (Anshrift der Verfasser: Priv. Doz. Dr. H Joahim Shlihting, Dr. Bernd Rodewald, FB Physik der Universität, Barbarastr. 7, 45 Osnabrük) Literatur [1] Kapitza, P.L. In: Tor Haar (ed.): Colleted Papers of P.L. Kapitza, Vol., London: Pergamon 1965, S siebe auh: Landau, L. D., Lifshitz, E. M. Lehrbuh der theoretishen Physik Bd.I, Berlin: Akademie-Verlag 1967,S. 17ff. []King, R. E.: The inverted pendulum. In: Am. J. Phys. 33, 855 (1965) [3] Blitzer, L.: Inverted Pendulum, In: Am. J. Phys. 33,176(1965) [4] Phelbs, F. M., Hunter, J. H.: An Analytial Solution of the Inverted Pendulum, In: Am J. Phys. 33, 85(1965) [5] Kalmus, H. P.: The lnverted Pendulum, In: Am. J. Phys. 38, 874 (197) [6] Yorke, E. D.: Square-wave model for a pendulum with osillating Suspension, In: Am. J. Phys. 46, 85 (1978) [7] Ness, D. J.: Small Osillations of a Stabilized, lnverted Pendulum, In: Am. J Phys. 35, 964 (1967) [8] Stanley, H. E.: lntrodution to Phase Transitions and Critial Phenomena: Oxford; Clarendon Press 1971 [9] Stierstadt, K.: Phasenumwandlungen I und II, In: Phys. Bl. 3/1, 3, 9, 16 (1974) [1] Stierstadt, K.: Phasenübergänge in Physik und Biologie 1 und II, In: Phys. Bl. 37, 7, 8, 315, 358 (1978) [11] Prigogine, I., Stengers, I.: Dialog mit der Natur: Münhen: Piper 1983,515 [1] Haken H.: Synergetik. Berlin et.: Springer 1983 [13]Rodewald, B., Shlihting, H. J.: Ein Spielzeug zur Veranshaulihung von Katastrophen in Ökosystemen. In: NiU-P/C 33/8, 94 (1984) [14] Rodewald, B., Shlihting, H. J.: A atastrophi toy. In: Am. J. Phys. 53/l, ll7 (l985) 9