7.5 Relativistische Bewegungsgleichung

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1 7.5. RELATIVISTISCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG Relativistishe Bewegungsgleihung Das Ziel ieses Abshnittes ist es, ie Bewegungsgleihung er Klassishen Mehanik an ie relativistishe Kinematik anzupassen. Ausgangspunkt ist azu ie niht-relativistishe Bewegungsgleihung, ie wir ja mit em ritten Newtonshen Axiom formuliert haben in er Form F m v, (7.47 t mit F er Kraft, ie auf ein Punktteilhen er Masse m un er Geshwinigkeit v wirkt. Auf beien Seiten ieser Gleihung steht ein Vektor es reiimensionalen Raumes er Ortsvektoren, er urh Koorinaten in x, y un z Rihtung eines gewählten kartesishen Koorinatensystems efiniert ist. Will man iese Bewegungsgleihung in einem aneren Koorinatensystem arstellen, as z.b. im Vergleih zum ersten urh eine Drehung erzeugt ist, so weren ie Vektoren für ie Kraft un ie Geshwinigkeit urh neue Koorinaten, bezogen auf ie gerehten Koorinatenahsen, efiniert. Diese Koorinatentransformation wir urh eine 3 3 Matrix A D beshrieben, wobei ie Darstellung es Vektors F in em gerehten System urh ie Matrixmultiplikation F A D F berehnet weren kann. Multiplizieren wir also ie linke un rehte Seite er Gl.(7.47 mit er Matrix A D, so ergibt sih F A D F AD t m v t m A D v t m v. (7.48 Die Newtonshe Bewegungsgleihung gilt also auh für ie Vektoren F un v, ie Darstellung er Kraft un er Geshwinigkeit im gerehten Koorinatensystem. Man sagt ie Newtonshen Bewegungsgleihung ist kovariant unter einer orthogonalen Transformation, sie änert ihre Form niht, ganz gleih ob ih sie im ursprünglihen oer im gerehten Koorinatensystem formuliere. Dies ersheint uns selbstverstänlih, enn sonst müsste man ja as Koorinatensystem angeben, in em ie Bewegungsgleihung gültig ist. Man beahte aber, ass er Übergang von er ersten zur zweiten Zeile in (7.48 nur eshalb gültig ist, weil ie Masse es betrahteten Teilhens, m, un ie Variable Zeit, t, skalare Größen sin, sih bei einer Rotation niht änern. Diese Kovarianz er Newtonshen Bewegungsgleihung gilt also nur unter er Voraussetzung, ass Masse un Zeit skalare Größen sin. Damit sehen wir aber auh sofort, ass ie Newtonshe Bewegungsgleihung in er Form (7.47 niht kovariant unter einer Lorentz Transformation ist. Bei einer solhen Lorentz Transformation muss ja im allgemeinen Fall auh ie Zeit transformiert weren, soass ie Rehnung (7.48 niht mehr möglih ist. Um also ie Bewegungsgleihung in eine Form zu bringen, ie auh unter Lorentz Transformationen kovariant ist, müssen wir zunähst einmal Vektoren im 4-imensionalen Minkowski Raum efinieren, ie ie Funktion er Kraft un er Geshwinigkeit übernehmen.

2 7 KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Für en Fall er Geshwinigkeit ist ies relativ einfah. Wir efinieren eine Geshwinigkeit als Vektor im Minkowski Raum aurh, ass wir en Vektor x α eines Raumzeitpunktes nah einer zeitartigen Größe ableiten. Damit as Ergebnis as Transformationsverhaltens eines Vektors aufweist, muss ie Größe nah er wir ableiten selbst ein Skalar unter Lorentz Transformation sein. Wie wir im letzten Abshnitt gesehen haben besitzt ie Eigenzeit τ t β (7.49 gerae iese Eigenshaft. Dabei ist τ ie Zeit, ie im mitbewegten Koorinatensystem bestimmt wir un t ie Zeit, ie in einem Koorinatensystem gemessen wir, as sih relativ zum mitbewegten System mit einer Geshwinigkeit vom Betrag v bewegt un β v/. Damit ist er kontravariante Lorentz Vektor für ie Geshwinigkeit gegeben urh u α τ xα t τ t xα β t xα. (7.50 Übertragen auf ie explizite Darstellung urh Spaltenvektoren beeutet ies u 0 t u u x β t y v x β v y, (7.5 u 3 z v z mit β v x + v y + v z. Durh Multiplikation ieses kontravarianten Vierer Vektors u α mit er skalaren Größe Masse m erhalten wir en Vierer Vektor es Impulses p α m u α β ( m m v, (7.5 wobei wir im letzten Teil ieser Gleihung eine Notation gewählt haben, bei er er raumartige Anteil es 4-imensionalen Vektors urh m v argestellt ist. Nah em gleihen Rezept (leite Vierer Vektoren nah er skalaren Größe Eigenzeit ab können wir nun iesen Vierer Impuls p α nah er Eigenzeit ableiten un erhalten in Anlehnung an ie Newtonshe Bewegungsgleihung (7.47 eine Definition für einen kontravarianten Kraftvektor K α im Minkowski Raum K α τ m uα τ pα. (7.53 Durh iese Gleihung wir K α, ie sogenannte Minkowski Kraft efiniert. Um ie Beeutung ieser Minkowski Kraft besser einzushätzen, betrahten wir ie linke Seite ieser

3 7.5. RELATIVISTISCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG 73 Gleihung un berehnen τ m uα m t uα v m t v m v ( m v 4 v t v ( v 3 v ( t v + + m ( 0 v t ( 0 v t. (7.54 Beim Übergang von er zweiten zur ritten Zeile haben wir berüksihtigt, ass ie Geshwinigkeit v von er Zeit abhängt un eshalb bei er Zeitableitung berüksihtigt weren muss. Betrahten wir also iese Minkowski Kraft in em Koorinatensystem, in em as betrahtete Teilhen sih augenbliklih in Ruhe befinet,.h. in iesem Koorinatensystem gilt v v 0, so reuziert sih ie Definitionsgleihung für ie Minkowski Kraft in iesem Koorinatensystem auf m uα τ K α ( ( K 0 0 K m v t ( 0 F. (7.55 Dies ist aber für ie raumartigen Komponenten ie üblihe Newtonshe Bewegungsgleihung un für ie zeitartige Komponenten gilt K 0 0. Bei Geshwinigkeiten weit unterhalb er Lihtgeshwinigkeit, insbesonere bei em Koorinatensystem, bei em as Teilhen augenbliklih in Ruhe ist, reuziert sih (7.53 also wieer auf ie klassishe Newtonshe Bewegungsgleihung (7.47. Wie sieht ies Bewegungsgleihung aber aus er Siht eines Beobahters aus, er sih relativ zum augenbliklihen Ruhesystem z.b. in x-rihtung mit er Geshwinigkeit v bewegt, so ass sih as Teilhen aus seiner Siht mit er Geshwinigkeit v bewegt. Die Komponenten er Minkowski Kraft in iesem Koorinatensystem erhalten wir aus er es augenbliklihen Ruhesystems urh ie Lorentz Transformation für iesen Boost in x-rihtung ( K 0 q K 0 + v v K ( K q K + v v K0 v F x F x K K F y K 3 K 3 F z (7.56 wobei F ie Kraft ist, ie im augenbliklihen Ruhesystem auf as Teilhen wirkt.

4 74 KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Für eine allgemeine Rihtung er Geshwinigkeit es Teilhens v berehnet sih ie Minkowski Kraft ( q v F K 0 v K F v( v F. (7.57 q + v v v( v F v Entspehen ihrer Konstruktion ist ie Minkowski Kraft K α ein kontravarianter Vierer Vektor mit einem Betrag er invariant unter einer Lorentz Transformation ist. K α K α ( K 0 K F, (7.58 Nahem wir in (7.57 ie Komponenten er Minkowski Kraft in einem Bezugssystem berehnet haben, in em sih as Teilhen mit einer Geshwinigkeit v bewegt, wollen wir nun ie zeitartige Komponente er Bewegungsgleihung (7.53 in iesem Bezugssystem betrahten. Diese können wir shreiben K 0 v F v τ m u0 Multipliziert man iese Gleihung mit t m t m, so ergibt sih. (7.59 F v F r t. (7.60 Aus er rehten Seite sehen wir, ass ie Seiten ieser Gleihung beshreiben, welhe Energieänerung as Teilhen erfährt, wenn an ihm in er infinitesimalen Zeit t eine Kraft F auf seiner Bewegung entlang es Wegstükes r wirkt. Danah muss auh ie linke Seite er Gleihung iese Energieänerung beshreiben un wir können E(v m (7.6 mit er Energie es Teilhens als Funktion seiner Geshwinigkeit (v ientifizieren. Um iesen Ausruk besser zu verstehen, betrahten wir ihn im Grenzfall kleiner Geshwinigkeiten,.h. v. In iesem Fall ist also er Quotient β v/ un wir können ie Wurzel im Nenner in einer Taylorreihe entwikeln zu m m [ + v + 3 v m + mv. (7.6 ]

5 7.5. RELATIVISTISCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG 75 In iesem (niht-relativistishen Grenzfall kleiner Geshwinigkeiten geht er Ausruk für ie Energie also gerae über in ie niht-relativistishe kinetishe Energie es Teilhens plus eine Ruheenergie von E m. Man könnte nun versuht sein, iese Ruheenergie als eine uninteressante Konstante zu ignorieren. Tatsahe ist aber, ass iese Beziehung zwishen er Masse eines Teilhens un seiner Ruhenergie eine zentrale Beziehung arstellt, ie so wihtig ist, ass sie jeer (auh wenn er gar nihts von ihrer Beeutung versteht shon häufig gesehen hat. Als Beispiel für ie Beeutung ieser Beziehung führen wir ie Binungsenergie von Nukleonen in einem Atomkern an. Die Masse eines Protons beträgt m Prot MeV, (beahte, ass ie Masse in Form einer Energie (MeV iviiert urh ie Lihtgeshwinigkeit zum Quarat angegeben wir, ie eines Neutrons m Neut MeV. Damit sollte also ie Masse eines 4 He Kerns, as α Teilhen, as aus Protonen un Neutronen besteht, eine Masse von m Prot + m Neut MeV kg, besitzen. In Wirklihkeit ist aber er 4 He Kerns um 8.3 MeV/ leihter. Dieser Massenefekt es 4 He multipliziert mit entspriht gerae er Binungsenergie es 4 He. In er Sonne vershmelzen Protonen un Neutronen zu 4 He. Die bei ieser Fusion frei werene Energie ist ie Energiequelle er Sonne. Damit können wir also en Vierervektor für en Impuls eines freien Teilhens shreiben (siehe (7.5 ( ( p α m E, (7.63 m v p mit p Für en Betrag ieses Vierervektors gilt: m v. p α ( p α m m v m E p. (7.64 Daraus ergibt sih ie relativistishe Beziehung zwishen Energie un Impuls eines freien Teilhens er Masse m E m 4 + p. (7.65

6 76 KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE Zum Abshluss ieses Abshnittes wollen wir ie raumartige Komponente er relativistishen Bewegungsgleihung betrahten. Zur Vereinfahung er Nomenklatur nehmen wir an, ass v y v z 0 un auh für ie beshleunigene Kraft F y F z 0 gilt. Damit ergibt sih für ie x-komponente er Bewegungsgleihung (7.53 K β F x m τ u β m t u F x mv t. (7.66 β Ist ie Kraft F x zeitlih konstant, so können wir ie letzte ieser Gleihung einfah integrieren un erhalten T F x t F x T mv ( wobei auf er rehten Seite ieser Gleihung ie Geshwinigkeit es Teilhens v(t steht, ie es erreiht hat, wenn es über en Zeitraum T von ieser konstanten Kraft beshleunigt wir. Man sieht also, ass man sih selbst im Grenzfall unenlih langer Beshleunigung er Geshwinigkeit v nur asymptotish nähern kann. Dabei geht natürlih ie Energie (7.6 mit v asymptotish gegen en Wert E. Vielfah versuht man sih iesen Sahverhalt, ass Teilhen bei einer Beshleunigung nur asymptotish ie Lihtgeshwinigkeit erreihen können, aurh zu veranshaulihen, ass man eine geshwinigkeitsabhängige Masse m(β m β einführt. Die Beshleunigung es Teilhens wir ann immer shwieriger, a iese Masse mit zunehmener Geshwinigkeit immer größer wir. Dies mag zur Veranshaulihung hilfreih sein. Diese geshwinigkeitsabhängige Masse hängt ann aber natürlih vom Koorinatensystem es Beobahters ab, m ist kein Skalar unter Lorentz Transformation. In er Diskussion hier bezeihnet m stehts ie Ruhemasse es Teilhens.