Ferienkurs Experimentalphysik Probeklausur - Lösungsvorschlag

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 20 Probeklausur - Lösungsvorshlag Sonde auf Mond shießen Bestimmen Sie die notwendige Abshussgeshwindigkeit v a einer Sonde, die den Punkt auf der direkten Verbindungslinie zwishen Erde und Mond erreihen soll, an dem sih die Beiträge zur Shwerkraft gerade aufheben. Mit welher Geshwindigkeit shlägt die Sonde auf der Mondoberflähe auf, wenn sie mit einer beliebigen Geshwindigkeit v 0 > v a entlang der direkten Verbindungslinie abgeshossen wird? Hinweis: Vernahlässigen Sie den Luftwiderstand. Vernahlässigen Sie ebenfalls die Rotation der Erde um ihre Ahse und die Rotation des Mondes um die Erde. Wir berehnen zuerst den Ort (von der Erde aus) an dem sih die Beiträge zur Shwerkraft aufheben: G m m E r 2! G m m M (l r) 2 wobei m die Masse der Sonde, m E die Masse der Erde, m M die Masse des Mondes, r der Abstand vom Erdmittelpunkt und l der Abstand der Mittelpunkte Erde-Mond. Auflösen nah r : ergibt ( ) 2 l ra m M ( ) l m E mm l + l m E mm m E + m M /m E Aus der Energieerhaltung folgt nun die Geshwindigkeit v a welhe die Sonde auf der Erde haben muss um den Punkt gerade zu erreihen, d.h. dort keine Geshwindigkeit mehr zu haben. 2 mv2 a G mm E r E G mm M l r E G mm E G mm M l

2 also [ va 2 me 2G + m M m E r E l r E v a 2G [ me r E + m M l r E m E m ] M l m M l ] Die Sonde wird nun mit v 0 > v a von der Erde abgeshossen und trifft den Mond bei r l r M, also gilt die Energieerhaltung 2 mv2 0 G mm E r E G mm M l r E 2 mv2 G mm E l r M G mm M r M also v v G [ me l r M + m M r M m E m ] M r E l r E Eindimensionaler Stoß Beim dimensionalen Stoß eines Teilhens mit der Masse m und der Geshwindigkeit v gegen ein Teilhen der Masse m 2 und der Geshwindigkeit v 2 kann niht die gesamte kinetishe Energie in innere Energie umgewandelt werden. a) Wieviel kinetishe Energie wird bei total inelastisher Kollision umgewandelt? Es gelten die Impuls- und Energieerhaltung p m v + m 2 v 2 E 2 m v m 2v Q wobei p : m v + m 2 v 2 und E : 2 m v m 2v 2 2. Bei total inelastisher Kollision gilt v v 2. Mit den Abkürzungen M : m + m 2 und v v v 2 vereinfahen sih dieses Gleihungen nun zu p Mv E 2 Mv 2 + Q Einsetzen der ersten Gleihung in die zweite ergibt Q E p2 2M 2 m v m 2v2 2 (m v + m 2 v 2 ) 2 2(m + m 2 ) 2(m + m 2 ) [m2 v 2 + m m 2 v 2 + m 2 m v2 2 + m 2 2v2 2 m 2 v 2 2m m 2 v v 2 m 2 2v2] 2 2

3 Q 2(m + m 2 ) m m 2 (v 2 + v2 2 2v v 2 ) m m 2 2(m + m 2 ) (v v 2 ) 2 b) Zeigen Sie für den Fall m m 2, dass die bei total inelastisher Kollision umgewandelte kinetishe Energie gleih denfänglihen kinetishen Energie im Shwerpunktsystem ist. Für m m 2 ist laut a) Q m 4 (v v 2 ) 2 Im Shwerpunktsystem ist anfänglihe kinetishe Energie gegeben durh E 2 m(v V ) m(v 2 V ) 2 wobei die Shwerpunktsgeshwindigkeit V gegeben ist durh V (mv + mv 2 ) m + m 2 (v + v 2 ) Also [ ( E m v ) 2 ( 2 2 (v + v 2 ) + v 2 ) ] 2 2 (v + v 2 ) m [ (v v 2 ) 2 + (v 2 v ) 2] 2 4 m 4 (v v 2 ) 2 Q Rotierender Zylinder Auf einen homogenen Vollzylinder mit Radius R und Masse M ist ein Faden gewikelt, dessen Ende an der Deke befestigt ist. In der Höhe h h 0 wird der Zylinder freigegeben. Das Trägheitsmoment eines Vollzylinders beträgt I 2 Mr2. Mit welher Geshwindigkeit v(z) bewegt sih der Shwerpunkt des Zylinders nah unten? Wir lösen das Problem über die Energieerhaltung. Diese besagt: E pot + E kin,shwerpunkt + E rot E Gesamt () Wir setzen das Koordinatensystem nun so, dass die z-ahse nah unten zeigt und z 0 f r h h 0 gilt. Die Gesamtenergie ist somit zu Beginn die potentielle Energie E Gesamt E pot,anfang Mgh 0 (2) 3

4 weiter gilt E pot Mg(h 0 z) (3) E kin,shwerpunkt 2 Mv2 (4) E rot 2 Iω2 (5) Mit der Rollbedingung v ωr sowie I 2 Mr2 ergibt sih die Gleihung mit der Lösung Zylinder Mgh 0 Mg(h 0 z) Mv2 (6) v(z) 4 gz (7) 3 Aus einem mit Flüssigkeit bis zur Höhe H gefüllten Zylinder kann die Flüssigkeit aus einer seitlihen Öffnung in der Höhe h austreten (s. Abbildung).. Man berehne für eine reibungsfreie Fl ssigkeit den Auftreffpunkt x und die Auftreffgeshwindigkeit v a für z 0. Vergleihe mit der Fallgeshwindigkeit, die ein aus der Höhe z H frei fallender Körper hat. Der Druk in der Höhe h beträgt p(h) ρg(h h) + p 0 und am Ausflussrohr gilt die Bernoulligleihung p p(h) p 0 2 ρv2 x. Daraus folgt, dass vx 2 2g(H h) ist. Die Flüssigkeitsteilhen durhlaufen eine 4

5 Wurfparabel mit der Anfangsgeshwindigkeit v 0 (v x, v z 0). Die Fallzeit kann aus h 2 gt2 zu t 2h/g bestimmt werden. Der Auftreffpunkt P ist dann ( P (x a v x t, z 0) 2 ) h(h h), 0. Die Auftreffgeshwindigkeit v a ist v a (v x, v z gt) mit v v 2 x + v 2 z 2gH. Dies ist dieselbe Geshwindigkeit, mit der ein Körper bei senkrehtem Fall aus der Höhe H auftrifft. 2. Wie ist die Zeitfunktion des Flüssigkeitsspiegels im Zylinder mit Radius R bei einer Flüssigkeit mit der Zähigkeit η, die in der Höhe h 0 durh eine Röhre der Länge L mit Radius r R ausfließt? Nah dem Hagen-Poiseuille-Gesetz gilt dv dt dh πr2 dt πr4 dh p 8ηL dt r4 ρgh R 2 8ηL ( ) H(t) H 0 exp r4 ρg 8R 2 ηl t mit H 0 H(t 0). Antarktis-Park In der Antarktis gibt es einen Antarktis-Park, ein beliebter Zeitvertreib für Pinguine. Eine besondere Attraktion ist eine sheibenförmige Eissholle (Flähe A, Eisdike D, Eisdihte ρ E ), die im Meer shwimmt (Wasserdihte ρ W ). a) Welher Volumenanteil des Eises befindet sih oberhalb der Wasseroberflähe? b) Mit größtem Vergnügen springen Pinguine auf der Eissholle so auf und ab, dass die Sholle anfängt zu shwingen. Stellen Sie die Bewegungsgleihung des Systems auf und lösen Sie diese allgemein. Mit welher Periode T müssten die Pinguine springen, um die Sholle in der Resonanzfrequenz anzuregen (Masse der Pinguine und Reibung werden vernahlässigt)? ) Wie groß müsste die Gesamtmasse der Pinguine auf der Eissholle sein, damit ihr Gewiht die Sholle völlig untertauht? (Wir nehmen an, dass sie ershöpft sind und niht mehr springen.) 5

6 d) Aufgrund der globalen Erwärmung shmilzt die Eissholle. Wie ändert sih dadurh der Wasserspiegel des Meeres? Begründen Sie Ihre Antwort. Die Temperatur des Meerwassers wird als unverändert angenommen. (Die Pinguine werden für diesen Teil der Aufgabe niht berüksihtigt. Sie haben sih längst aus dem Staub (aus dem Shnee?) gemaht.) a) Die Masse des Eises beträgt M E ρ E AD. Die Masse des verdrängten Wassers beträgt M W ρ W A(D x), wobei x die Höhe der Eisshiht ist, die aus dem Wasser ragt. Da sih das System im Gleihgewiht befindet muss die Gewihtskraft des Eises der Auftriebskraft durh das verdrängte Wasser entsprehen. Es gilt also M E g M W g woraus x D V E oberhalb ρ E V E ρ W folgt. b) Die x-ahse zeige nah oben. Die einwirkenden Kräfte sind die Auftriebskraft durh das verdrängte Wasser nah oben und die Gewihtskraft des Eises nah unten. Die Bewegungsgleihung lautet also M E ẍ ρ W Ag(D x) ρ E AgD, welhe der DGL der gedämpften Shwingung ẍ + ρ WAg M E x ρ W ρ E ADg g M E ( ) ρw ρ E entspriht. Die Shwingungsfrequenz lässt sih wie immer direkt ablesen ρw Ag ρw g ω M E ρ E D. Die Lösung der homogenen DGL ist die bekannte Shwingungsfunktion x h (t) A sin(ωt) + B os(ωt). Da die Inhomogenität hier nur eine Konstante ist, wählen wils Ansatz ebenfalls eine konstante Funktion x p (t) C. Eingesetzt in die DGL ergibt sih ( ) ρ g W ρ E x p (t) C M E(ρ W ρ E ). ω 2 Aρ W ρ E 6

7 Die allgemeine Lösung lautet also ( ) ρw g x(t) x h (t) + x p (t) A sin ρ E D t ( ) ρw g + B os ρ E D t + M E(ρ W ρ E ). Aρ W ρ E Die Eigenfrequenz ω des Systems ist die Resonanzfrequenz mit der die Pinguine die Eissholle anregen müssten. Sie müssten also mit der Periode T 2π ω 2π ρ E D ρ W g auf und ab springen. ) Nun muss die Gewihtskraft der Eissholle inklusive der Pinguine gerade gleih der Auftriebskraft durh das verdrängte Wasser sein. Es gilt also ρ E ADg + mg ρ W ADg. Man erhält somit für die Masse der Pinguine m (ρ W ρ E )AD. d) Nah dem Shmelzen nimmt das Eis folgendes Volumen ein V M E ρ W ρ E ρ W AD. Dies ist das Wasservolumen, das die Eissholle verdrängt hat. Somit ändert sih der Meeresspiegel beim Shmelzen niht. Lihtimpuls In einem Inertialsystem S ruht bei x 0 ein Sender, der zum Zeitpunkt t einen Lihtimpuls in positive x-rihtung ausstrahlt. Das Inertialsystem S bewege sih relativ zu S mit der Geshwindigkeit v in positive x-rihtung. In S ruht bei x 0 ein Empfänger. a) Zeigen Sie: Wenn der Lihtimpuls empfangen wird, hat der Empfänger bezüglih S den Ort x v v und die Uhr von S zeigt die Zeit t v b) Benutzen Sie das Ergebnis von Teilaufgabe a) um die Ankunftszeit des Lihtim- 7

8 pulses bezüglih S zu berehnen. a) Vom System S aus wird die Bewegung des Lihtimpulses durh x (t ) und die des Empfängers durh x vt beshrieben. Gleihsetzen und Auflösen nah t ergibt t v und daraus folgt x zu x v v b) Mit Hilfe der Lorentz-Transformation ergibt sih t γ (t v ) x ( 2 γ v v ) v 2 v ( ) v 2 γ γ 2 v ( + v ) ( ) ( ) v + v + v v ( + v ) 8