b ) den mittleren isobaren thermischen Volumenausdehnungskoeffizienten von Ethanol. Hinweis: Zustand 2 t 2 = 80 C = 23, kg m 3

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1 Aufgabe 26 Ein Pyknometer ist ein Behälter aus Glas mit eingeschliffenem Stopfen, durch den eine kapillarförmige Öffnung führt. Es hat ein sehr genau bestimmtes Volumen und wird zur Dichtebestimmung von Flüssigkeiten verwendet. Ein solches Pyknometer mit dem Volumen V 0 = 30 cm 3 sei bei t 1 = 20 C mit Ethanol gefüllt. Die Masse m des eingefüllten Ethanols wurde auf einen Wert von 23,670 g bestimmt. Anschließend wird es in einem Wasserbad auf t 2 = 80 C erwärmt, wobei m = 1,451 g Flüssigkeit durch die Kapillaröffnung aus dem Pyknometer austreten. Berechnen Sie: a ) die Dichte von Ethanol bei den beiden emperaturen und b ) den mittleren isobaren thermischen Volumenausdehnungskoeffizienten von Ethanol. Hinweis: Für den isobaren thermischen Volumenausdehnungskoeffizienten β gilt: β = 1 V ( V ) p a ) Zustand 1 t 1 = 20 C Lösung: Zustand 2 t 2 = 80 C ρ = m V ρ 1 = m 1 V 0 = 23, m 3 = 789 m 3 ρ 2 = m 1 m V 0 = (23,670 1,451) m 3 = 740,6 m 3 1

2 b ) ges.: Volumenausdehnungskoeffizient β = 1 ( V ) V p Lösung: Annahme: β = const. in angegebenen emperaturbereich β = 1 V V = 1 V 0 V 2 V = 1 V 0 m 1 ρ 0 V = m ,6 m m 3 353,15 K 293,15 K = 1, K Aufgabe 27 Man berechne, um wieviel Prozent die Dichte des Wassers in 100 m iefe des Meeres gegenüber dem Wert an der Oberfläche zunimmt. Der Schweredruck des Wassers beträgt in 100 m iefe 0, Pa. Des Weiteren soll die Wassertemperatur unabhängig von der iefe einen konstanten Wert aufweisen. Hinweis: Für den isothermen Kompressibilitätsfaktor χ gilt: χ = 1 V ( ) V p = 4, Pa Gegeben: p = 0, Pa χ = 4, Pa Lösung: Annahme: χ = const. im angegebenen Druckbereich ρ % = ρ ρ ρ V ρ ρ ρ = m V = m V 2 ρ V ρ V ;: ρ = m V 2 V V m = V (1) V χ = 1 V V p V = p χ (2) V 2

3 (1) = (2) ρ % = ρ ρ = V V = χ p = 4, Pa 0, Pa = 4, = 0,045 % Aufgabe 28 In einem starren zylindrischen Behälter werden 50 Wasser bei einem konstanten Druck p 1 = 1 bar von t 1 = 20 C auf t 2 = 50 C aufgeheizt. Der Umgebungsdruck beträgt dabei p U = 1 bar. a ) Welche Arbeit verrichtet das Wasser bei diesem Prozess? b ) Wieviel Arbeit muss an dem Wasser verrichtet werden, wenn die unter a) entstandene Volumenänderung bei der konstanten emperatur t 2 = 50 C durch Druckerhöhung (von 1 bar ausgehend) rücängig gemacht wird? Eigenschaften von Wasser: spezifisches Volumen: v(20 C, 1 bar) = 1,005 dm3 thermischer Ausdehnungskoeffizient: β = 1 ( ) V V isotherme Kompressibilität: χ = 1 V Gegeben: m = 50 p 1 = 1 bar = Pa = const t 1 = 20 C 1 = 293,15 K t 2 = 50 C 1 = 323,15 K p U = p 2 = 1 bar = Pa ( ) V p ges.: Volumenänderungsarbeit des Wassers W 12 Volumenänderungsarbeit durch Druckerhöhung W 23 p = 2, K = 4, bar 3

4 a ) Welche Arbeit verrichtet das Wasser bei diesem Prozess? für System Σ: W Σ 12 = mσ w Σ 12 = m Σ [ 2 1 = m Σ 2 p 1 1 ] pdv p=const dv = m Σ p 1 (v 2 v 1 ) Änderung des spezifischen Volumens von Wasser aus realer Betrachtungsweise: v = v(,p) ( ) ( ) v v dv = d + dp p p dv = 1 ( ) v d + 1 ( ) v v v p v p }{{}}{{} β χ dp ( ) p v ln = β d χdp v 0 0 p 0 [ ] p v(,p) = v 0 exp βd χ dp 0 0 p 0 : v v 2 = v 1 exp[β( 2 1 )] v 2 = 1,005 dm3 exp [ 2, K 30K] = 1,013 dm3 W Σ 12 = m Σ p 1 (v 2 v 1 ) = Pa (1,013 1,005) 10 3m3 = 40,0 J Hinweis: 1 dm 3 = 10 3 m 3 4

5 b ) Wieviel Arbeit muss an dem Wasser verrichtet werden? (1) (2) p = const Aufgabenteil a) (2) (3) = const Aufgabenteil b) Kompressionsarbeit : W Σ 23 = m Σ w Σ 23 dv v = β d χ dp 3 w 23 = 2 p(v)dv 0, =const (=isotherm) p v(,p) = v 0 exp β p d X dp 2 p 2 v = v 0 exp[ X (p p 2 )] : v 0 v v 0 = exp[ X (p p 2 )] ln ( ) v ln v 0 = X (p p 2 ) p = 1 ( ) v ln +p 2 X v 0 5

6 Einsetzen ergibt : 3 w 23 = 2 pdv = v 3 v 2 [ p 2 1 ( )] v ln dv X v 2 lnx dx = x lnx x ln a b = lna lnb ( ln v v2) = (lnv lnv 2 ) { = p 2 (v 3 v 2 ) 1 [vlnv v] 3 2 X + 1 } lnv 2 (v 3 v 2 ) X = p 2 (v 3 v 2 )+ 1 [v 3 lnv 3 v 3 lnv 2 v 3 +v 2 X v 2 lnv 2 + v 2 lnv 2 ] = p 2 (v 2 v 1 )+ 1 ( ( ) v1 v 1 ln )+v 2 v 1, mit v 1 = v 3 X ( = (v 2 v 1 ) p X v 2 ) + v 1 X ln 3 m3 = (1,013 1,005) , m3 4, N m 2 ln = 71,184 J ( v1 v 2 ) [ N m ( 1, m 3 1, m 3 N 4, m 2 ) ] W 23 = mw 23 = 50 71,184 J = 3,559 kj Zusatzfrage: Wie groß ist der Druck p 3?: v 3 = v 2 exp[ X (p 3 p 2 )] ( ) v3 ln = X (p 3 p 2 ) v 2 mit v 3 = v 1, p 2 = p 0 p 3 = p 0 1 ( ) X ln v1 v 2 = N m 2 1 4, N m 2 ln ( ) 1, m 3 1, m 3 = 1, N m 2 = 177,2 bar 6

7 Aufgabe 29 Ein Stahlfass (V 0 = 100 l) wird in der Raffinerie vollständig mit dem Wärmeträgeröl Marlotherm gefüllt und nach Druck- und emperaturausgleich mit der Umgebung (p U = 1 bar, t U = 20 C) verschlossen. Während des ransports zum Verbraucher erwärmt sich das Stahlfass samt eingefülltem Marlotherm durch Sonneneinstrahlung auf die emperatur t 1 = 50 C. a ) Bestimmen Sie den Druck im Stahlfass aufgrund der Erwärmung unter der Voraussetzung, dass sich das Fassmaterial als Folge der Erwärmung nur unwesentlich ausdehnt, sodass das Stahlfass als starrer Behälter angesehen werden kann. b ) Welcher Druck herrscht im Wärmeträgeröl, wenn das(geometrische) Volumen des Stahlfasses durch die emperaturerhöhung von 20 C auf 50 C um 0,1 % zunimmt? Marlotherm soll als reale, kompressible Flüssigkeit mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten: β = 1 V und der isothermen Kompressibilität: χ = 1 V betrachtet werden. Gegeben: V 0 = 100 l = 0,1 m 3 p U = 1 bar = 10 5 Pa t U = 20 C U = 293,15 K t 1 = 50 C 1 = 323,15 K ( ) V p ( ) V p = 0, K = 0, bar ges.: Druck p 1 im Stahlfass Druck p 2 im Fass unter Berücksichtigung der Ausdehnung 7

8 a ) Bestimmen Sie den Druck im Stahlfass aufgrund der Erwärmung unter der Voraussetzung, dass sich das Fassmaterial nur unwesentlich ausdehnt v = v(,p) dv = 1 ( ) v d + 1 ( ) v dp v v p v p }{{}}{{} β χ dv v = βd χdp mechanisch starr: V = const, dv = 0 dv v = 0 = βd χdp Integration χ(p 1 p U ) = β( 1 U ) p 1 = p U + β χ ( 1 U ) = 1 bar + 0, bar 0, K 30 K = 61 bar b ) Welcher Druck herrscht im Wärmeträgeröl, wenn das Volumen des Stahlfasses durch die emperaturerhöhung von 20 C auf 50 C um 0,1 % zunimmt? dv V = β d χ dp Integration ln ( V1 V 0 ) p 1 = β( 1 U ) χ(p 1 p U ) = p U + 1 χ = 1 bar + = 58,5 bar [ β( 1 U ) ln 1 bar 0, ( V1 V 0 )] (0, K 30 K ln(1,001) ) 8

9 Aufgabe 30 Aus einem auchgerät tritt in der iefe von 40 m unter der Wasseroberfläche eine Luftblase der Masse m Luft = 1,5 mg aus. Die emperatur des Wassers soll einheitlich mit t W = 27 C angenommen werden. Der Druck an der Wasseroberfläche betrage p U = 1 bar. a ) Geben Sie den Druckverlauf im Wasser als Funktion der auchtiefe z an, gemessen von der Wasseroberfläche und berechnen Sie den lokalen Druck in 40 m Wassertiefe. b ) Wie groß ist das Volumen V 0 der Luftblase beim Austritt aus dem auchgerät für die Näherung L,0 = W? c ) Bestimmen Sie die resultierende Auftriebskraft F res auf die Luftblase als Funktion der auchtiefe z für die Näherung L = W = const. d ) Welche Wärme Q 01 wird der Luft in der Blase für die Näherung L = W = const während des Aufsteigens an die Wasseroberfläche zugeführt (kinetische und potentielle Energieänderungen seien dabei zu vernachlässigen)? Hinweis: Die Luft soll als perfektes Gas mit R L = 0,287 kj K Dichte des Wassers ρ W = 1000 m 3 = const betrachtet werden An der Wasseroberfläche herrscht der Umgebungsdruck p U mit zunehmender iefe und somit auch Gewicht steigt der Druck immer weiter an Gegeben: m Luft = 1,5 mg t W = 27 C W = 310,15 K p U = 1 bar = 10 5 Pa 9

10 a ) Geben Sie den Druckverlauf im Wasser als Funktion der auchtiefe z an und berechnen Sie den lokalen Druck in 40 m Wassertiefe Masse in Wassersäule: m = ρ V = ρa h Druck des Wassers : p = Gewichtskraft Fläche = m g A = ρ A g h A = ρ g h p Ges = p u + p p(z) = p u + ρ W g z p(z = 40m) = N m2 m 3 9,81 m s 2 40 m = N m 2 = 4,924 bar b ) Wie groß ist das Volumen V 0 der Luftblase beim Austritt aus dem auchgerät für die Näherung L,0 = W? Zustandsgleichung p V = m R V 0 = m Luft R L L,0 p(z = 40 m) = 1, J K 300,15 K 4, N m 2 = 2, m 3 = 0,262 cm 3 c ) Bestimmen Sie die resultierende Auftriebskraft F res auf die Luftblase als Funktion der auchtiefe z für die Näherung L = W = const. Definition: Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft des vom Körper verdrängten Fluids! F W = Gewichtskraft des verdrängten Fluids ˆ= Auftriebskraft F B = Gewichtskraft der Luft in der Blase F res = resultierende Kraft 10

11 F W Zustandsgleichung p(z) V L R L, L, m L = m W g = ρ W V L g = m L R L L = const V L = m L R L L p(z) = m L R L L p 0 +ρ W g z F W = ρ W g m L R L L p(z) = ρ W g m L R L L p 0 +ρ W g z = m L R L L p 0 ρ W g + z F B = F W F B ( ) ρw R L L = p 0 +ρ W g z 1 m L g d ) Welche Wärme Q 01 wird der Luft in der Blase für die Näherung L = W = const während des Aufsteigens an die Wasseroberfläche zugeführt? (kinetische und potentielle Energieänderungen seien dabei zu vernachlässigen) Beim Aufstieg nimmt das Volumen der Luftblase V L zu. 1. HS, geschlossenes System: perfektes Gas und L = const 0 01 U = Q 01 + W 01 = 0 da perfektes Gas und L = const 11

12 Q 01 = W 01 W 01 1 = p(v)dv p(v) = m R V W 01 = m L R L L dv V = m L R L L ln V 1 V 0 m L R L = const p 0 V 0 = p 1 V 1 V 1 V 0 = p 0 p 1 = 4,924 W 01 = 1, = 0,206 J J K 300,15 K ln(4,924) Q 01 = W 01 = 0,206 J 12