Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE

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Helmut Stieber
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1 Physik-Department LS für Funktionelle Materialien WS 2017/18 Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Dr. Neelima Paul, Sebastian Grott, Lucas Kreuzer, Simon Schaper, Tobias Widmann Vorlesung , Übungen , und Blatt Silber und Gold Ein Ring bestehe aus den Bestandteilen Silber und Gold. Seine Masse betrage m = 100 g und beim Eintauchen in Wasser verdränge der Ring ein Volumen von V = 8,0 cm 3. Berechnen Sie die Massenanteile von Silber und Gold. Die Dichte von Silber ist ρ Ag = 10,49 g/cm 3 und die Dichte von Gold ist ρ Au = 19,32 g/cm 3. m ges = m Ag + m Au = ρ Ag V Ag + ρ Au V Au V ges = V Ag + V Au m ges = ρ Ag V Ag + ρ Au (V ges V Ag ) = ρ Ag V Ag + ρ Au V ges ρ Au V Ag m ges ρ Au V ges = ρ Ag V Ag ρ Au V Ag = (ρ Ag ρ Au ) V Ag V Ag = m ges ρ Au V ges ρ Ag ρ Au V Ag = 100 g 19,32 g/cm3 8,0 cm 3 10,49 g/cm 3 19,32 g/cm 3 = 6,18 cm 3 m Ag = 6,18 cm 3 10,49 g/cm 3 = 64,8 g m Au = m ges m Ag Der Ring hat einen Massenanteil Gold w Au w Ag = 0,65. = 0,35 und einen Massenanteil Silber

2 2. Stock im Wasser Ein an ein Seil angebundener langer homogener Holzbalken der Länge l wird teilweise in Wasser gesenkt. Sobald das System zur Ruhe gekommen ist, kann man beobachten, dass der Balken genau zur Hälfte eintaucht (siehe Skizze). a) Stellen Sie die Gleichgewichtsbedingungen für den starren Körper auf. Kräftegleichgewicht: Es gelten die Auftriebskraft, die Gewichtskraft und die haltende Kraft am Seil. Das Gewicht des Balkens ist m B. Das Gewicht des verdrängten Wassers ist m W : Gewichtskraft + Auftriebskraft + Kraft am Seil = 0 m B g m W g F = 0 F = (m B m W )g Drehmomentgleichgewicht: Betrachtung hier am Aufhängepunkt (Drehachse grundsätzlich egal, da Gesamtdrehimpuls verschindet und somit keine Drehung stattfindet): mit M = r F. AuftriebsmomentM A + GewichtsmomentM B = 0 HebelarmM B : r = l 2 cos(α) HebelarmM A : r = 3l 4 cos(α) Der Hebelarm von M A beinhaltet den Faktor 3 4, da das Drehmoment am Schwerpunkt des verdrängten Wassers angreift. Eingesetzt ergibt sich m W g 3 4 l cos(α) + m Bg 1 2 l cos(α) = m W = 1 2 m B Dies lässt sich auflösen und man erhält die Gleichgewichtsbedingung: 2

3 m W m B = 2 3 Es muss Kräftegleichgewicht sowie Drehmomentgleichgewicht herrschen. Kräftegleichgewicht: Es gelten die Auftriebskraft, die Gewichtskraft und die haltende Kraft am Seil. Das Gewicht des Balkens ist m B. Das Gewicht des verdrängten Wassers ist m W : Gewichtskraft + Auftriebskraft + Kraft am Seil = 0 m B g m W g F = 0 F = (m B m W )g Drehmomentgleichgewicht: Betrachtung hier am Aufhängepunkt (Drehachse grundsätzlich egal, da Gesamtdrehimpuls verschindet und somit keine Drehung stattfindet): mit M = r F. AuftriebsmomentM A + GewichtsmomentM B = 0 HebelarmM B : r = l 2 cos(α) HebelarmM A : r = 3l 4 cos(α) Der Hebelarm von M A beinhaltet den Faktor 3 4, da das Drehmoment am Schwerpunkt des verdrängten Wassers angreift. Eingesetzt ergibt sich m W g 3 4 l cos(α) + m Bg 1 2 l cos(α) = m W = 1 2 m B Dies lässt sich auflösen und man erhält die Gleichgewichtsbedingung: m W m B = 2 3 b) Wie groß ist die Dichte des Holzes im Vergleich zum Wasser? V W = 1 2 V B Mit dem Ergebnis aus 1) ergibt sich damit ρ B ρ W = m BV W m W V B = = 3 4 3

4 Die Dichte des Balkens ist also geringer als die des Wassers. Der Balken taucht zur Hälfte ein. Daher gilt für das verdrängte Volumen: V W = 1 2 V B Mit dem Ergebnis aus 1) ergibt sich damit ρ B ρ W = m BV W m W V B = = 3 4 Die Dichte des Balkens ist also geringer als die des Wassers. c) Wie groß ist die Kraft, die am Seil angreift im Vergleich zur Gewichtskraft des Balkens? F m B g = (m B m W )g = 1 2 m B g 3 = 1 3 Es muss also nur ein Drittel der Gewichtskraft aufgebraucht werden. Einfaches Einsetzen der entsprechenden Größen führt zu F m B g = (m B m W )g = 1 2 m B g 3 = 1 3 Es muss also nur ein Drittel der Gewichtskraft aufgebraucht werden. 4

5 3. Benetzung Zwei Glasplatten werden in einem Abstand d = 0,10 mm zueinander justiert und anschließend mit einer offenen Seite in Wasser getaucht. Wie hoch steigt das Wasser, wenn Sie berücksichtigen, dass Wasser eine Oberflächenspannung von σ = 72, J/m 2 bei T = 20 C besitzt und außerdem Randeffekte vernachlässigen? ( σ = σ Luft-Wand σ Flüssigkeit-Wand ) Die Platten stehen zueinander parallel. Damit ergibt sich die Masse des aufgestiegenen Wassers zu m = ρdlh, wobei d der Plattenabstand, l die Plattenlänge und h die Höhe des aufgestiegenen Wassers ist. Die Höhe des Schwerpunkts dieser Masse befindet sich bei h = 1 2 h. Daraus folgt für die potentielle Energie E pot = mg h = 1 2 gρdlhh = 1 2 gρdlh2 Aus infitesimalen Änderungen der Höhe h folgt die potentielle Energie de pot = gρdlh dh Die Oberflächenspannung zwischen den einzelnen Grenzflächen ist σ i,j mit i,j = 1(fest), 2(flüssig), 3(gasförmig). Wasser ist in Luft an Glas eine benetzende Flüssigkeit. Es gilt also σ 1,2 σ 1,3 < σ 2,3. Der Randwinkel an der Grenzschicht, cos ϕ = σ 1,2 σ 1,3 σ 2,3, ist daher nicht definiert und die Flüssigkeit bildet einen Film auf der gesamten Fläche der beiden Glascheiben. Eine Zunahme der Höhe resultiert also in einer Verringerung der benetzten Oberfläche A = 2l h = 2ldh Die Oberflächenernergie ändert sich dadurch mit E Ofl = σ A = 2lσ h Wobei σ = σ 1,3 σ 1,2 gilt. In der Gleichgewichtslage befindet sich das System energetisch im Minimum. Eine infitesimale Änderung der Gesamtenergie verschwindet daher. Daraus lässt sich die Höhe ableiten. 0 = de ges (h min ) = de pot + de Ofl ρgdlhdh = 2σdhl h = 2σ ρgd Mit σ = 72, N/m, d = 10 4 mm und ρ = 10 3 kg/m 3 ergibt sich damit h = 72, N/m 10 3 kg/m 3 9,81 N/kg 10 4 m = 0,15 m Zu beachten ist, dass dies nur für eine vollständig benetzende Flüssigkeit gilt und somit einen maximalen Wert darstellt. Bei konkaven oder konvexen Übergängen beläuft sich die Höhe auf h(φ) = 2σ ρgd cos φ mit dem Randwinkel cos φ = σ 1,3 σ 1,2 σ 2,3 5

6 Frohe Weihnachten und einen guten Start ins neue Jahr! 6

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