Ergänzung Thermo- und Strömungsdynamik SS 2018 LP 2 Ruhende und strömende Fluide

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Joachim Geisler
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1 Aufgabe.11) Ergänzung Thermo- und Strömungsdynamik SS 018 L Ruhende und strömende Fluide Ein Aluminiumrohr mit einer Masse von 10 g, einem Durchmesser d = 0 mm und einer Länge h = 300 mm ist mit 150 g Bleischrot beschwert und schwimmt in etroleum (ρ = 0, kg/m 3 ). Wie weit ragt es aus der Flüssigkeit heraus? geg.: m R = 0,1 kg, m B = 0,15 kg, d R = 10 - m, h R = 0,3 m, ρ = 0, kg/m 3 ges.: x Um die Wanddicke zu berechnen, muss das Volumen des Stahls berechnet werden. Aufgrund des feststehenden Volumens lässt sich die Wanddicke bei gegebenem Außendurchmesser berechnen. F G = F A mit F A = V verdrängt ρ g F A = V verdrängt ρ g mit V verdrängt = A Rohr h eingetaucht = π d (h x) F A = ( π d (h x)) ρ g (I) F G = m g mit m = m R + m B F G = (m R + m B ) g (II) (I) gleich (II): (m R + m B ) g = ( π d (h x)) ρ g m R + m B ρ x = h (m R + m B ) π d ρ Aufgabe.1) = 0,3m (0,15 + 0,1) kg π ( 10 m) 0, kg m 3 = π d (h x) = 0,031 m 31 mm Wenn der Spiegel, der aus einem Gefäß abfließenden Flüssigkeit, unter eine an der Gefäßwand befestigte Marke sinkt, wird eine Zeitmesseinrichtung in Gang gesetzt und dazu synchron ein Schwimmer mit der Masse von 150 g in die Flüssigkeit gesenkt. Bis zum Augenblick, in dem der Flüssigkeitsspiegel erneut die Markierung erreicht vergehen 6,5 s. Wie groß ist die mittlere Ausflussmenge Q in kg / min? Es handelt sich um die Masse der von einem Schwimmer verdrängten Flüssigkeit. geg: m s = 150 g = 0,15 kg, t = 6,5 s

2 ges: mittlere Ausflussmenge Q Der Anstieg des Wasserspiegels wird von dem eingetauchten Volumen des Schwimmers verursacht. F G = F A m w = m s Q = Δm w t = m s t = 0,15kg 6,5s 1min 60s = 1,38 kg min 1 Aufgabe.15) Ein umgekehrtes Gefäß ist zum Teil mit Wasser gefüllt und durch ein dicht anliegendes apierblatt verschlossen (siehe Bild). Welchen Druck p i hat der Luftraum in der Flasche, wenn der äußere Luftdruck 1, N / m² beträgt? Es handelt sich um Schwerdruck und Kräftegleichgewicht. geg: p amb = 1, N m - = 1, a = 1, kg m -1 s -, h = 300 mm = 0,300 m, ρ w = 1, kg m -3 ges: p i p i + ρ w g h = p amb p i = p amb ρ w g h p i = 1, a 1, kg m -3 9,81 m s - 0,300 m = 0, a = 98 ha Aufgabe.16: Welche Druckkraft F verschließt den Deckel eines Konservenglases mit einem Durchmesser von 85 mm, wenn von innen der Dampfdruck des Wassers mit 0 10 a und von außen der Umgebungsluftdruck mit a wirken? geg: p i = 0 10 a, ges: F p amb = a, d=85 mm=8, m p = F A F = p A mit p = p amb p i und A = π d F = (p amb p i ) π d = (980 0) 10 a π (8,5 10 m) = 5,75 N

3 Aufgabe.17: Um zwei dicht schließende, aneinander gelegte, teilweise evakuierte Halbkugeln (Magdeburger Halbkugeln - Otto von Guericke) von je 80 mm Durchmesser zu trennen, muss man eine Kraft F von 00 N aufwenden. Wie groß ist der Druck p i in den Kugeln, wenn der äußere Luftdruck p amb. = 95 ka beträgt? geg: d= 0,08 m, F= 00 N, p amb = 95 ka ges: p i Kräftegleichgewicht an Kugel: F i + F = F amb p i A +F = p amb A p i = p amb F A mit A = π d p i = p amb Aufgabe.19) F π d 00 N = a π 0,08 m ( ) = 5511,6 a Auf welches Volumen muss ein Gummiballon von 5 g Masse mit Erdgas (ρ G = 0,850 kg/m 3 ) aufgebläht werden, damit er in Luft (ρ L = 1,9 kg/m 3 ) gerade schwebt? geg.: m B = 5 g = 0,005 kg, ρ G = 0,850 kg m -3, ρ L = 1,9 kg m -3 ges.: V B F A = F G m L = m B + m G ρ L V B = m B + ρ G V B m V B = B 0,005 kg = ρ L ρ G (1,9 0,850) kg m = 0,011-3 m3 = 11, L Aufgabe.1) Weshalb wird ein ausfließender Wasserstrahl nach unten hin immer dünner? Aufgrund der Energieerhaltung wird die Strömungsgeschwindigkeit mit zunehmender Falltiefe immer größer, so dass der Querschnitt nach der Kontinuitätsgleichung abnehmen muss. Radius eines Wasserstrahles Aus einem Wasserhahn strömt stationär und senkrecht nach unten Wasser aus. Berechne den Radius r(x) des Strahles, der sich mit zunehmender Falltiefe x immer mehr einengt.

4 (Hinweise: Das Geschwindigkeitsprofil quer zur Strömung soll als konstant angesehen werden. Die Oberflächenspannung hält den Strahl zusammen.) Lösung: Am Ausfluss x = 0 seien der Radius r(0) = r 0 und die Geschwindigkeit gleich v 0. Nach dem Energiesatz der Mechanik gilt für ein Fluidteilchen mit Masse m Δm v 0 = Δm v (x) Δm g x v(x) = v 0 + g x Die Kontinuitätsgleichung fordert A 0 v 0 = A(x) v(x) π r 0 v 0 = π r (x) v 0 + g x Aufgabe.3) r 0 r(x) = 1 + g x v 0 Der Winddruck gegen einen Schornstein wird mit 1050 N/ m bei Windstärke 1 (etwa 50 m / s) angenommen. Welcher Widerstandsbeiwert liegt der Berechnung bei der Luftdichte von ρ = 1,5 kg/m 3 zugrunde? geg: p = 1050 N m -, v = 50 m s -1, ρ = 1,5 kg m -3 ges: Widerstandsbeiwert c w 1/ F W = c W ρ v A p = F W A = c W ρ v c W = p ρ v = 1050N m = 0,67 1,5kg m 3 50 m s Aufgabe.5) Das Luftschiff "Graf Zeppelin" hatte einen größten Durchmesser von 7 m und den Widerstandsbeiwert c W = 0,0566. Berechnen Sie den Luftwiderstand und die für eine Reisegeschwindigkeit von 108 km / h erforderliche Antriebsleistung bei einer Luftdichte von ρ L = 1,5 kg / m 3! geg.: v = 108 km h -1 = 30 m s -1, d max = 7 m, c W = 0,0566, ρ L = 1,5 kg m -3 ges.: (erforderliche Antriebsleistung) F W = c W ρ L v A = c W ρ L v π d max = 0,0566 1,5 kg 30 m π 7 m m 3 s = 1830 N = 18,3 kn = F W v = 18,3 kn 30 m s -1 = 56,86 kw

5 Aufgabe.6) Bei welcher Windgeschwindigkeit wird ein Geräteschuppen von 80 kg Masse und,0 m Höhe (Schwerpunkt in halber Höhe) und einer Grundfläche von 1,50 m x 1,50 m umgeworfen, wenn der Wind lotrecht gegen eine Wand trifft und der Widerstandsbeiwert c W = 0,9 bei einer Luftdichte von ρ L = 1,5 kg/m 3 beträgt? geg.: m = 80 kg, h =, m, s G = 1,5 m c W = 0,9, ρ L = 1,5 kg m -3 ges.: v Bilanz der Momente: F W h = F G s G (1) Windkraft: F W = c W ρ L v h s G () Gewichtskraft: F G = mg (3) () und (3) in (1) einsetzen und nach v auflösen: c W ρ L v h s G h = m g s G v = m g c W ρ L h = 80 kg 9,81 m s 0,9 1,5 kg m 3 (, m) = 31,8 m s Aufgabe.7) Für die überschlägige Berechnung der Leistung von Windkraftwerken wird die Formel /kw = Av 3 /800 (A auffangende Fläche in m, v Windgeschwindigkeit in m / s) verwendet. Leiten Sie diese Beziehung her! Zu zeigen: kw = A m v 3 m 3 s -3 = F W v = c W ρ L v A v = c W ρ L A v3 W = c W ρ L kg m A -3 m v 3 m 3 s -3 nehme an, dass c W = und ρ L = 1,5 kg m -3, W = 1,5 kg m-3 A kg m -3 m v 3 m 3 s -3 W = 1,5 1 A m v 3 m 3 s -3 kw = 1, A m v 3 m 3 s = A m v 3 m 3 s -3

6 Aufgabe.8) Bei welcher Strömungsgeschwindigkeit wird an einer unter Wasser rotierenden Schiffsschraube der Dampfdruck des Wassers von a unterschritten? (Luftdruck über Wasser a) geg.: p DW = 1 10 a, p amb = a, ρ W = 1000 kg/m 3 ges.: v nach Bernoulli: p Ruhe = p + ρ W v mit p Ruhe = p amb ;p = p DW p amb = p DW + ρ W v v = (p p ) amb DW = (1013 1) 10 a = 1,1 m ρ DW kg s m 3 Aufgabe.9) Welche Leistung muss ein Lüfter aufbringen, wenn er bei einem Druckgefälle von 196 N / m und einem Wirkungsgrad η = 0,65 je Sekunde 1,5 m 3 Luft befördern soll? geg.: Δp = 196 N/m, η = 0,65, Volumenstrom = 1,5 m/s ges.: Nutz = F v = (Δp A) v = Δp (A v) = Δp V V = v 1 π d = v 1 π d = const. η = Nutz Zu Zu = Nutz η m zu = Δp V 196 a 1,5 η = s 0,65 = 57,69 W Aufgabe.31) Im Abzug einer Feuerungsanlage befinden sich Abgase, welche eine Dichte von ρ 1 = 0,8 kg / m 3 haben. Wie groß ist die Druckdifferenz in ascal, die sich bei einer Schornsteinhöhe von h = 30 m ergibt, unter der Voraussetzung dass die Luft außerhalb des Abzuges die Dichte ρ = 1,93 kg / m 3 hat? geg.: h = 30 m, ρ 1 = 0,8 kg m -3, ρ = 1,93 kg m -3 ges.: p (um Abgase nach oben zu treiben) p = p a p i = (p amb + ρ g h) (p amb + ρ 1 g h) p = (ρ ρ 1 ) g h = (1,93 0,8) kg m -3 9,81 m s - 30 m = 133 a

7 Aufgabe.3) Wie groß ist die Zugstärke in a eines 50 m hohen Schornsteins, bei dem die Dichte der Abgase 1,33 kg / m 3 im Normzustand und deren mittlere Temperatur 00 C beträgt? Für die Außenluft wird eine Dichte von 1,9 kg / m 3 angenommen. geg.: h = 50 m, ρ N = 1,33 kg m -3, ρ a = 1,9 kg m -3, ϑ i = 00 C ges.: Zugstärke des Schornsteins p ( p = p a p i ) in a p V = m R s T ρ = m V = p R s T, mit p = const. und R s = const. ρ T = const. ρ N T N = ρ i T i ρ i = ρ N T N = 1,33kg m 3 73,15K = 0,7678 kg m -3 T i (73, )K p = p a p i = (p amb + ρ a g h) (p amb + ρ i g h) = (ρ a ρ i ) g h = (1,9 0,7678) kg m -3 9,81 m s - 50 m = 56 a MZ

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