2.2 Arbeit und Energie. Aufgaben

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1 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger Aufgabe 1 Auf eine Katapult befindet sich eine Kugel der Masse, die durch eine Feder beschleunigt wird. Die Feder ist a Anfang u die Strecke s 0 zusaengedrückt. Für die Kraft, die die Feder auf die Kugel ausübt, gilt: F=c s 0 s 2.2 Arbeit und Energie Aufgaben Während der Beschleunigung gleitet die Kugel auf de Katapult. Der Reibungskoeffizient zwischen Kugel und Katapult ist μ. Berechnen Sie it Hilfe des Arbeitssatzes a) die Geschwindigkeit v B, it der die Kugel das Katapult verlässt, b) die axiale Höhe H, die die Kugel erreicht, c) die Geschwindigkeit v D, it der die Kugel auf den Boden auftrifft. Zahlenwerte: = 10 kg, α = 30, c = 10 N/, s 0 = 200, μ = 0,2, h = 0,2 (Ergebnis: v B = 6,112 /s, H = 0,6760, v D = 6,425 /s) Aufgabe 2 Die Masse hat i Abstand d 0 vor einer linearen Feder it der Federkonstanten c die Geschwindigkeit v 0. a) Mit welcher Geschwindigkeit v 1 erreicht die Masse die Feder? b) Wie groß ist die Einfederung s 1, wenn die Masse zur Ruhe kot? c) Welche Geschwindigkeit v 2 hat die Masse, wenn die Feder wieder entspannt ist? d) In welche Abstand d 2 von der entspannten Feder kot die Masse wieder zur Ruhe? α s s 0 μ h v 0 d 0 W g c

2 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger Während des gesaten Vorgangs gleitet die Masse reibungsbehaftet auf de Boden. Zahlenwerte: = 10 kg, d 0 = 5, c = 10 kn/, v 0 = 10 /s, μ = 0,3 (Ergebnis: v 1 = 8,401 /s, s 1 = 0,2627, v 2 = 8,215 /s, d 2 = 11,47 ) Aufgabe 3 Eine Wasserrutsche besteht aus drei geraden Teilstücken it unterschiedlicher Neigung. Ein Kind der Masse beginnt i Punkt A aus der Ruhe zu rutschen. Der Gleitreibungskoeffizient zwischen Bahn und Kind ist μ. a) Wie groß sind die Reibungskräfte in den einzelnen Teilstücken? b) Welche Geschwindigkeit hat das Kind in den Punkten B, C und D? Zahlenwerte: = 30 kg, μ = 0,2, β = 30, γ = 45, δ = 20, h A = 5, h B = 4, h C = 1 (Ergebnis: R AB = 50,97 N, R BC = 41,62 N, R CD = 55,31 N; v B = 3,581 /s, v C = 7,740 /s, v D = 8,292 /s) Aufgabe 4 Ein Bungee-Springer der Masse springt aus der Höhe H. Das Seil, an de er hängt, hat die Federkonstante c. Der Springer springt aus der Ruhe ab. Der Luftwiderstand darf vernachlässigt werden. a) Welche Länge L ax darf das Seil höchstens haben, wenn der Springer die Höhe h nicht unterschreiten soll? b) Welche Geschwindigkeit v 0 hat der Springer in de Moent, in de das Seil anfängt, gedehnt zu werden? c) Wie groß ist die größte Verzögerung a ax? Zahlenwerte: = 80 kg, H = 80, c = 50 N/, h = 2 (Ergebnis: L ax = 28,52, v 0 = 23,66 /s, a ax = 2,152 g) D g δ C γ B s β A h C h B h A

3 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger Aufgabe 5 Ein Körper der Masse wird in der Höhe h aus der Ruhe losgelassen. Er trifft it der Geschwindigkeit v auf den Erdboden auf. Wie groß ist die Arbeit W D der dissipativen Kräfte? Zahlenwerte: = 5 kg, h = 20, v = 15 /s (Ergebnis: W D = -418,5 J) Aufgabe 6 Ein Massenpunkt gleitet unter der Wirkung der Schwerkraft reibungsfrei auf der vorgegebenen Bahn z x =H 1 x L I Punkt A ist der Massenpunkt in Ruhe. 3. a) Bestien Sie die Geschwindigkeit des Massenpunktes in Abhängigkeit von der Koordinate x. b) Welche Geschwindigkeit v B hat der Massenpunkt i Punkt B? Zahlenwerte: H = 5, L = 5 (Ergebnis: v B = 9,905 /s) Aufgabe 7 H z A L B x Für die Anziehungskraft, die die Erde auf einen Körper der Masse ausübt, der sich in der Höhe h über der Erdoberfläche befindet, gilt: F h = M R h 2. Dabei ist γ die Gravitationskonstante, M die Masse der Erde und R der Radius der Erde. a) Welche Beziehung gilt für die potenzielle Energie E P (h), wenn als Nullniveau die Erdoberfläche gewählt wird? Welcher Zahlenwert ergibt sich für die Höhe H? b) Welche Näherung gilt, wenn die Höhe h klein gegenüber de Erdradius ist? h F M

4 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger c) Welcher Zahlenwert folgt aus der Näherung für die Erdbeschleunigung g in Bodennähe? Zahlenwerte: γ = 6, /kgs 2, M = 5, kg, R = 6371 k, H = k, = 500 kg (Ergebnis: E P (H) = 1, kj, g = 9,821 /s 2 ) Aufgabe 8 Ein Meteorit der Masse fliegt auf gerader Bahn der Erde (Masse M, Radius R) entgegen. I Abstand r 0 vo Erdittelpunkt hat er die Geschwindigkeit v 0. Die Erdanziehungskraft ist eine konservative Kraft it de Potenzial E P r = M 1 R 1 r bezüglich der Erdoberfläche. Berechnen Sie it Hilfe des Energieerhaltungssatzes die Geschwindigkeit v E, it der der Meteorit auf der Erde aufschlägt, wenn Widerstandskräfte vernachlässigt werden. Daten: = 5 kg, M = 5, kg, R = 6371 k, γ = 6, /kgs 2, r 0 = k, v 0 = 1000 k/h (Lösung: v E = k/h) Aufgabe 9 Die Schwerkraft F, it der die Erde (Masse M) auf einen Massenpunkt der Masse ausübt, ist eine konservative Kraft, die zu Erdittelpunkt hin zeigt. Sie hat den Betrag F= M r 2. a) Begründen Sie, dass die Schwerkraft keine Arbeit verrichtet, wenn der Massenpunkt entlang eines Kreises u den Erdittelpunkt verschoben wird. b) Der Bezugspunkt P 0 für das Potenzial der Schwerkraft wird auf die als Kugel it de Radius R angenoene Erdoberfläche gelegt. Begrün- M M F r r

5 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger den Sie, dass der Wert des Potenzials unabhängig davon ist, wo auf der Erdoberfläche der Bezugspunkt liegt. c) Zeigen Sie, dass das Potenzial durch die Funktion E P r = M 1 R 1 r gegeben ist, wenn ein Bezugspunkt auf der Erdoberfläche gewählt wird. Aufgabe 10 Ein Segelflugzeug fliegt einen Looping, der als idealer Kreis it Radius R angenoen werden darf. a) Berechnen Sie die Differenz Δ a n =a na a nc zwischen den Zentripetalbeschleunigungen in den Punkten A und C. b) Welche Geschwindigkeit v A uss das Segelflugzeug i Punkt A haben, wenn die Zentripetalbeschleunigung i Punkt C gleich der Erdbeschleunigung sein soll? c) Berechnen Sie für die in Teilaufgabe b) erittelte Geschwindigkeit die Geschwindigkeit und die Zentripetalbeschleunigung i Punkt B. Der Luftwiderstand darf vernachlässigt werden. Zahlenwert: R = 75 (Ergebnis: a) Δa n = 4 g; b) v A = 218,3 k/h; c) v B = 169,1 k/h, a nb = 3 g) Aufgabe 11 B C A R Der abgebildete Aufzug besteht aus eine Förderkorb und eine Ausgleichsgewicht. Die Masse des Förderkorbes einschließlich der Ladung ist L. Die Masse des Gegengewichts ist G. Das Seil ist dehnstarr. Seil und Rollen sind asselos. a) Bestien Sie it Hilfe des Energieerhaltungssatzes den Zusaenhang zwischen der Geschwindigkeit des Förderkorbes und de zurückgelegten Weg, wenn das Syste sich selbst überlassen wird. b) Welche Geschwindigkeit v 1 erreicht der För- G g L

6 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger derkorb nach Zurücklegen des Weges s 1? c) Welche Beschleunigung a erfährt der Förderkorb? Zahlenwerte: L = 5 t, G = 1 t, s 1 = 5 (Ergebnis: v 1 = 8,087 /s; a = 0,6667 g) Aufgabe 12 Die beiden Rollen A und B sind reibungsfrei gelenkig gelagert und durch einen dehnstarren Rieen verbunden, der auf den Rollen haftet. Über den äußeren Ufang der Rolle A verläuft ein dehnstarres Seil, an de die beiden Massen 1 und 2 befestigt sind. Über den inneren Ufang der Rolle B verläuft ein dehnstarres Seil, an de die Massen 3 und 4 befestigt sind. Die Rollen, die Seile und der Rieen sind asselos. a) Eritteln Sie it Hilfe des Energieerhaltungssatzes die Geschwindigkeiten v 1, v 2, v 3 und v 4 der Massen in Abhängigkeit vo zurückgelegten Weg der jeweiligen Masse, wenn das Syste aus der Ruhe losgelassen wird. b) Eritteln Sie die Beschleunigungen a 1, a 2, a 3 und a 4 der Massen. Zahlenwerte: r 1 = 10 c, r 2 = 20 c, r 3 = 15 c, r 4 = 30 c, 1 = 60 kg, 2 = 24 kg, 3 = 36 kg, 4 = 60 kg (Ergebnis: v 1 s 1 = 2 g s 1 /3, v 2 s 2 = 2 g s 2 /3, v 3 s 3 = 8 g s 3 /3/4, v 4 s 4 = 8 g s 4 /3/4 ; a 1 = g/3, a 2 = -a 1, a 3 = g/12, a 4 = -a 3 ) Aufgabe 13 g r r 4 2 r 1 A 1 2 s 1 s 2 s 3 3 r 3 B 4 s 4 Auf einen PKW der Masse, der it konstanter Geschwindigkeit v fährt, wirkt der Rollwiderstand R R und der Luftwiderstand R L. Für den Rollwiderstand gilt: R R = r g R R R L

7 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger Der Luftwiderstand berechnet sich zu R L = 1 2 c W A v2. Dabei ist c W der Luftwiderstandsbeiwert, A eine Bezugsfläche und ρ die Dichte der Luft. Wie groß ist die benötigte Antriebsleistung für die Geschwindigkeiten v 1, v 2 und v 3? Zahlenwerte: μ r = 0,014, = 1500 kg, c W = 0,26, A = 2,2 2, ρ = 1,21 kg/ 3, v 1 = 80 k/h, v 2 = 120 k/h, v 3 = 150 k/h (Lösung: P 1 = 8,376 kw, P 2 = 19,68 kw, P 3 = 33,62 kw) Aufgabe 14 Ein PKW der Masse fährt eine Steigung von 3% hinauf. Neben der Gewichtskraft wirkt der Rollwiderstand R R und der Luftwiderstand R L. R L Für den Rollwiderstand gilt R R = r N, wobei N die Noralkraft senkrecht zur Fahrbahn ist. Der Luftwiderstand berechnet sich zu R R N G R L = 1 2 c W A v2. Dabei ist c W der Luftwiderstandsbeiwert, A eine Bezugsfläche und ρ die Dichte der Luft. Wie groß ist die axial ögliche Geschwindigkeit v für die Motorleistung P bei eine Wirkungsgrad η, der die Verluste in Getriebe, Antriebsstrang und sonstigen Aggregaten berücksichtigt? Zahlenwerte: μ r = 0,014, = 1500 kg, c W = 0,26, A = 2,2 2, ρ = 1,21 kg/ 3, P = 100 kw, η = 80% (Ergebnis: v = 185 k/h) Aufgabe 15 Ein Segelflugzeug der Masse fliegt in ruhiger Luft it der konstanten Geschwindigkeit v. Dabei nit seine Höhe in der Zeit t u h ab. Wie groß ist die Luftwiderstandskraft R L? Zahlenwerte: = 280 kg, v = 100 k/h, t = 5 in, h = 220

8 Technische Mechanik Prof. Dr. Wandinger (Ergebnis: R L = 72,52 N) Aufgabe 16 Ein Fahrzeug der Masse wird aus de Stand durch einen Motor beschleunigt, der die konstante Leistung P 0 abgibt. Wie lautet das Geschwindigkeit- Zeit-Gesetz v(t) und das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz a(t), wenn Widerstandskräfte vernachlässigt werden? Aufgabe 17 Ein Motorflugzeug der Masse fliegt nach de Start it der Bahngeschwindigkeit v und steigt dabei it der Steiggeschwindigkeit v S. Der Luftwiderstand beträgt 7 % der Gewichtskraft. Eritteln Sie die dafür nötige Nutzleistung P N des Motors. Zahlenwerte: = 900 kg, v = 140 k/h, v S = 3 /s (Ergebnis: P N = 50,52 kw)