Technische Mechanik III

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1 INSTITUT FÜR MECHANIK Technische Universität Darstadt Prüfung Technische Mechanik III Prof. W. Becker Prof. D. Gross Prof. P. Hagedorn Prof. R. Markert Jun. Prof. R. Müller a 27. Februar 2006 (Nae) (Vornae) (Matr.-Nr.) (Studiengang) (Platznuer) Einverständniserklärung: Ich stie hierit zu, dass eine Prüfungsergebnisse zusaen it einer Matrikelnuer (ohne Naen) i Internet eingesehen werden können. Darstadt, (Unterschrift) Die Aufgaben sind nicht nach ihre Schwierigkeitsgrad geordnet. Bitte beginnen Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt und nuerieren Sie die Blätter. Der Lösungsweg soll klar erkennbar sein, die Ergebnisse üssen deutlich hervorgehoben werden. Bei den durch K gekennzeichneten Kurzfragen sind lediglich Ergebnisse einzutragen. Es ist erlaubt, eine handgeschriebene Forelsalung i Ufang eines beidseitig beschriebenen DIN A4-Blattes, die Biegelinientafel, die Integrationstafel sowie das Hilfsblatt zur Torsion zu benutzen. Andere Hilfsittel sind nicht erlaubt. Es wird ausdrücklich darauf hingewiesen, dass keinerlei elektronische Hilfsittel benutzt werden dürfen. Hierzu zählen insbesondere Taschenrechner, Laptops und Handys. Achtung: Aufgabe 3a ist für die Studiengänge BI, Matheatik und Geowissenschaften. Aufgabe 3b ist für die Studiengänge MB, WIMB, MPE, CMPE, CE und Mechanik. Viel Erfolg! Aufgabe K1 K2 K3 K4 Note a. Punkte erreichte Punkte Handzeichen

2 Prüfung TM III 27.Februar Aufgabe 1 [ 19 Punkte ] Eine hoogene Walze (Radius r, Masse ) ruht auf einer rauhen, schiefen Ebene (Reibungskoeffizient µ) und ist durch einen aufgewickelten Faden it der Wand verbunden. Der Winkel α ist so groß, dass die Walze zu Zeitpunkt t = 0 zu rutschen beginnt. ϕ S r α g µ a) Bestien Sie die Geschwindigkeit ẋ(t) des Walzenschwerpunkts. b) Zu Zeitpunkt t = t 1 wird das Seil durchgeschnitten. Wie lauten dann die Gleichungen für die Schwerpunktgeschwindigkeit ẋ(t) und für die Winkelgeschwindigkeit ϕ(t)? Gegeben: r,, µ, α, g

3 Prüfung TM III 27.Februar Aufgabe 2 [ 20 Punkte ] a a F 0 cos Ωt Ein Körper der Masse ist an eine beweglichen, asselosen Gestänge und einer Feder aufgehängt. Das Syste wird durch die Kraft F = F 0 cos Ωt zu Schwingungen erregt. glatt c glatt a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Masse unter der Annahe kleiner Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage auf. b) Wie groß ist die Eigenfrequenz (Kennfrequenz) ω des Systes? c) Wie groß ist die Schwingungsaplitude i eingeschwungenen Zustand, wenn die Erregerfrequenz doppelt so groß ist wie die Eigenfrequenz: Ω=2 ω? Gegeben:, c, a, F 0, Ω

4 Prüfung TM III 27.Februar Aufgabe 3a [ 21 Punkte ] nur für BI, Mathe und Geo. H p 0 (1) A 1 ϱ a p 0 y() y h A (2) ϱ z Aus eine Staubecken it konstanter Breite b fließt durch ein Rohr (Querschnittsfläche A) Wasser (Dichte ϱ) ab. An der Stelle (1) wird der Rohrquerschnitt durch einen Venturi-Einsatz auf die Fläche A 1 verringert. Dabei sinkt der Wasserspiegel i Becken so langsa, dass die Ströung als stationär angenoen werden kann. a) Wie uss die For y() des Beckenbodens gewählt werden, dait der Wasserspiegel bis zuletzt (y = 0) it konstanter Geschwindigkeit v 0 fällt? b) Wie groß ist dann der Abstand a? c) Eritteln Sie den Druck p 1 und die Geschwindigkeit v 1 i Venturi-Einsatz! d) Eritteln Sie den Pegel z als Funktion vo Wasserstand y i Staubecken, wenn Behälter (2) ebenfalls it Wasser (Dichte ϱ) gefüllt ist und der Ausfluss auf der Höhe h liegt! Gegeben: ϱ, p 0, b, H, h, A, A 1

5 Prüfung TM III 27.Februar Aufgabe 3b [ 21 Punkte ] nur für WI-MB, MB, MPE, CMPE, CE und Mechanik Das dargestellte Syste besteht aus drei Punktassen, die durch ein dehnstarres Seil, eine asselose Stange und eine Feder verbunden sind. Die Feder sei bei =0 entspannt. Stellen Sie unter Verwendung der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art oder des Prinzips von d Alebert die Bewegungsgleichungen auf. Gegeben: 1 = 2 = 3 =, l, c, g

6 Prüfung TM III 27.Februar Aufgabe 4 [ 25 Punkte ] (t) glatt g α = 45 Eine Rakete wird eine u α = 45 geneigte glatte schiefe Ebene hinaufgeschossen. Die pro Zeiteinheit ausgestoßene Masse (Massenausstoß) µ 0 und die Massenaustoßgeschwindigkeit w seien zunächst als konstant angenoen. Zu Anfangszeitpunkt t = 0 habe die Rakete die Gesatasse 0 (inklusive Treibstoff) und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 = 0. a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Rakete auf. b) Geben Sie die Masse (t) der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit an. c) Bestien Sie die Geschwindigkeit v(t) der Rakete. d) Zu welche Zeitpunkt t 1 hat die Rakete nur noch die Masse (t 1 ) = 0 /2 und wie groß ist dann ihre Geschwindigkeit v(t 1 )? e) Ab de Zeitpunkt t 1 soll die Geschwindigkeit der Rakete konstant gehalten werden, inde der Massenausstoß µ = ṁ (bei konstante w) verändert wird. Wie ist dann der zeitliche Verlauf (t) der Gesatasse? Gegeben: α = 45, µ 0, w, 0, g dt Hinweis: at + b = 1 ln(at + b) + C. a

7 Prüfung TM III 27.Februar Kurzfrage III-1 [ 3 Punkte ] Gegeben ist das skizzierte Weg-Zeit- Diagra. Skizzieren Sie den zugehörigen Geschwindigkeitsverlauf ẋ(t) in Abhängigkeit der Zeit sowie den Verlauf der Beschleunigung ẍ() in Abhängigkeit des Ortes. quadratische Parabel t ẋ t ẍ

8 Prüfung TM III 27.Februar Kurzfrage III-2 [ 4 Punkte ] An einer Welle ist in den Abständen b bzw. 2b jeweils eine Zusatzasse befestigt. Wie groß ist der Betrag der Lagerkraft A, wenn die Welle it der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert und die Welle sowie die Befestigungsstangen als asselos angesehen werden können? A 2b b a a a B ω A = bω 2 A = 0 A = a2 2b ω2 A = (3a + 2b) ω 2 A = 2a b a 2 ω 2 Kurzfrage III-3 [ 3 Punkte ] Auf einer rauhen Bahn (Reibungskoeffizient µ) rutscht eine Masse die Strecke l herunter. Die Anfangsgeschwindigkeit sei v 1 =0. Welche der folgenden Aussagen für die Endgeschwindigkeit in Punkt 2 ist richtig? 1 g µ α l 2 v 2 = gl sin α µ cosα v 2 = 2gl sin α µ cosα v 2 = 2gl cosα µ sinα v 2 = gl (cosα + µ sinα) v 2 = 2glµ sin 2 α cos 2 α

9 Prüfung TM III 27.Februar Kurzfrage III-4 [ 5 Punkte ] Kreuzen Sie an! ω 1 r v D = 2 2 v A richtig falsch v C = 0 D A r B C ω 1 = ω 2 ω 1 = 2ω 2 ω 2 = 2v B r ω 2