Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 6

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1 Grundlagen der Physik 1 Lösung zu Übungsblatt 6 Daniel Weiss 20. November 2009 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Massen auf schiefer Ebene 1 Aufgabe 2 - Gleiten und Rollen 2 a) Gleitender Block b) Rollende Kugel c) Vergleich von a) und b) Aufgabe 3 - Explodierendes Geschoss 4 a) Auftrepunkt des zweiten Geschosses b) Gilt Impulserhaltung Aufgabe 4 - Stoÿ zweier Teilchen 6 a) Gesamtimpuls b) Schwerpunktsystem c) Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem d) Kinetische Energie in Wärme e) Elastischer Stoÿ? Aufgabe 5 - Zwei Wagen auf der Hochschaubahn 7 a) Geschwindigkeit vor Zusammenstoÿ b) Geschwindigkeit nach Stoÿ c) Maximale Höhe nach Stoÿ d) Anfangsgeschwindigkeit des Wagens Aufgabe 6 - diskretisiertes Raketenproblem 8 a) Impulsbilanz b) Vergleich der Berechnungsmethoden Aufgabe 1 Die einzige wirkende Kraft ist die Gravitationskraft. Sie wirkt sowohl auf m 1 als auch auf m 2. Die träge Masse, also die zu beschleunigende Masse beträgt jedoch beidesmal 1

2 Abbildung 1: Bewegung auf schiefer Ebene M = m 1 + m 2. Die Kraft auf m 1 ist: und die auf m 2 : F G1 = m 1 g sin(α) (1) F G2 = m 2 g (2) Die Gesamtbeschleunigung folgt nun aus der Addition der beiden Teilbeschleunigungen: a = F G1 + F G2 m 1 + m 2 Berechne die Zeit über die Strecke-Beschleunigung-Beziehung = g(m 2 m 1 sin(α)) m 1 + m 2 (3) s = 1 2 at2 (4) 2s(m 1 + M 2 ) t = (5) g(m 2 m 1 sin(α) Aufgabe 2 a) Hier gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder über den Ansatz v(t) = at und s(t) = 1 2 at2, was dann zusammen mit a = g sin(α) die Gleichung v(l) = 2g sin(α) L liefert oder - kürzer - über die Energieerhaltung. Das NN der potentiellen Energie wird so gewählt, dass am Anfang nur potentielle Energie vorhanden ist und am Ende nur kinetische. Dann folgt aus der Gleichsetzung der beiden Energiegleichungen direkt die Gleichung für v. E 1 = mg sin(α) (6) E 2 = 1 2 mv2 (7) E 1 = E 2 v(l) = 2gL sin(α) (8) 2

3 Abbildung 2: Schiefe Ebene - Gleiten und Rollen b) Auch hier gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder über die Bewegungsgleichungen, die den Drehimpuls berücksichtigen ( d L dt = D) oder über die Energieerhaltung. Wähle NN so, dass zu Beginn nur potentielle Energie und zum Zeitpunkt t nur kinetische Energie vorhanden ist. E 1 = mgl sin(α) (9) 1 1 E 2 = 2 mv2 + }{{} 2 Iω2 (10) }{{} kin. Energie des Schwerpunkts kin. Energie der Drehbew. mit ω = v r und E 1 = E 2 mgl sin(α) = 1 2 (mv2 + I v2 R 2 ) (11) Sei R der Radius und m die Masse der Kugel mit homogener Dichteverteilung. Kurzer Einschub: Berechnung des Trägheitsmoments I der Kugel bei einer Drehung um den Schwerpunkt der Kugel. Allgemein: I = dm a 2 = ρ V dv a2 wobei a der senkrechte Abstand jedes Punktes zur Drehachse ist. 3

4 Betrachte das Problem in Kugelkoordinaten 2π π I S = ρ dφ dθ 0 0 = ρ 2π π 0 R 0 dθ 1 5 R5 sin 3 (θ) = = ρ 2π 1 5 R5 [ cos 3 (θ) 3 dr r 2 sin(θ) r 2 sin 2 (θ) = }{{} =a cos(θ) ] π 0 = 4 3 πr3 ρ 2 5 R2 = 2 5 mr2 (12) Mit Gleichung 11 folgt nun die Gleichung für v(l): mgl sin(α) = 1 2 (mv mr2 v2 R 2 ) = mgl sin(α) = 1 2 (mv m v2 ) mgl sin(α) = 7 10 m v2 10mgL sin(α) = v 2 7m 10gL sin(α) = v(l) (13) 7 c) Oensichtlich ist v rollende Kugel < v gleitende Masse. Die Gesamtenergie ist zu Beginn und nach der Zeit t gleich. Bei der Kugel geht jedoch ein Teil der potentiellen Energie in die Rotationsenergie über; somit ist die Bewegungsenergie bezüglich der Translation des Schwerpunktes geringer als bei der gleitenden Masse, die nicht rotiert. Aufgabe 3 a) Bei der Explosion entstehen zwei Teilstücke mit derselben Masse. Die Beschleunigungskräfte der Explosion wirken auf beide Stücke in gleicher Weise und beschleunigen beide (aufgrund der gleichen Teilmassen) in einer innitesimalen Zeitspanne auf gleiche, aber entgegengesetzt gerichtete Geschwindigkeiten. Gesucht ist der Auftrepunkt des zweiten Teilstücks bei bekanntem Auftrepunkt des ersten. Das Problem kann durch geeignete Wahl des Koordinatensystems zweidimensional mit der Y-Achse in senkrechter Richtung und der x-achse in waagrechter Richtung beschrieben werden, da der Auftrepunkt des ersten Teilstücks genau senkrecht unter dem Explosionsort liegt. 4

5 Abbildung 3: Explosion im Scheitelpunkt Geschwindigkeit-Ort-Gleichungen des Geschosses kurz vor der Explosion ẏ 0 = 0 (14) Daraus folgt, dass die Geschwindigkeit in y-richtung beim Abschuss genauso groÿ war, als wenn der Körper von der Höhe h 0 im freien Fall nach unten gefallen wäre. 0 = 1 2 gt2 1 h 0 (15) 2h 0 t 0 = (16) g ẋ 0 = s 1 2h0 g (17) Geschwindigkeit-Ort-Gleichungen des ersten Teilstücks unmittelbar nach der Explosion Die des zweiten Teilstücks ẋ 1 = 0 (18) 0 = 1 2 gt2 1 ẏ 1 t 1 (19) ẏ 1 = 1 2 gt 1 h 0 t 1 (20) ẋ 2 = 2ẋ 0 = 2 s 1 2h0 g (21) ẏ 2 = ẏ 1 = 1 2 gt 1 + h 0 t 1 (22) 5

6 Setze nun die y-komponente in der Bewegungsgleichung (y-richtung) des zweiten Teilstücks 0 und berechne die Flugzeit ab der Explosion. Setze dann in die Bewegungsgleichung in x-richtung ein und berechne die horizontale Flugstrecke ab der Explosion. Durch Addition der Entfernung des ersten Teilstücks erhält man schlieÿlich die Entfernung des zweiten Teilstücks von dem Abschusspunkt. 0 = 1 2 gt2 2 ẏ 1 t 2 + h 0 (23) t 2 = ẏ 1 + ẏ 2 + 2gh 0 g (24) x 2 = ẋ 2 t 2 = 3921m (25) s 2 = s 1 + x 2 = 4921m (26) b) Die Impulserhaltung gilt - auch wenn bei der Explosion ein Stück der Masse in Energie umgewandelt wurde! Einzige Bedingung ist, dass beide Teilstücke gleich viel Energie aufnehmen und es keine weiteren Splitterstücke gibt oder diese Splitterstücke homogen in alle Richtungen gleich verteilt sind. Der Anfangsimpuls im Schwerpunktsystem (freier Fall = Inertialsystem) ist 0. Da die beiden Teilgeschwindigkeiten hinterher gleich groÿ, aber entgegengerichtet sind und die Teilmassen gleich groÿ sind, ist der Impuls im Schwerpunktsystem nach der Explosion ebenfalls 0. Der IES gilt also. Aufgabe 4 a) b) c) d) ( ) ( ) 2,8 m 0 m p = 1kg 3,0 s + 0,4kg 7,5 s = p = 1kg v S = 1 M 2 m i v i = 1 ( ) 2 m M p = 0 s i=1 ( ) 0,8 m 2,0 s + 0,4kg ( ) 2,0 m 5,0 s = ( ) 2,8 kgm 0 s ( ) 0 kgm 0 s (27) (28) (29) E 1 = 1 2 mv mv2 2 (30) E 2 = 1 2 mv mv 2 2 (31) 1 E 2 E 1 = 49,4% (32) e) Nein, da kinetische Energie in Wärme umgewandelt wird. 6

7 Aufgabe 5 a) Es gilt die Energieerhaltung: E 1 = m 1 gh (33) E 2 = 1 2 m 1v 2 (34) v = 2gH = 15,3m (35) b) Impulserhaltung: p 1 = m 1 v 1 (36) p 2 = (m 1 + m 2 )v 2 (37) v 2 = m 1v 1 m 1 + m 2 = 7,3 m s (38) c) Energieerhaltung E 1 = 1 2 (m 1 + m 2 )v 2 (39) E 2 = (m 1 + m 2 )gh (40) H 2 = 1 2 gv2 2 = 2,6m (41) d) Berechne zunächst die nötige Geschwindigkeit des ersten Wagens vor dem Stoÿ (IES): Nun noch die Energieerhaltung: p 1 = m 1 v 1 (42) p 2 = (m 1 + m 2 )v 2 (43) v 1 = (m 1 + m 2 )v 2 m 1 (44) E 1 = m 1 gh m 1v 2 (45) E 2 = 1 2 m 1v1 2 (46) v v1 2 2gH = 28,2m (47) s 7

8 Aufgabe 6 a) Impulserhaltung b) Tabelle der Ergebnisse p 1 = m 1 v 1 (M T m 1 )v p mit v P > 0 (48) p 2 = (m 1 M P )v 2 (M T m 1 + M P )v P (49) p 1 = p 2 v P M P = m 1 v 1 (m 1 M P )v 2 Wert Diskret [ m s ] Analytisch [ m s ] v 0 R 0,00 0,00 v 1 R 0,05 0,05 v 2 R 0,10 0,10 v 3 R 0,15 0,15 v 4 R 0,20 0,20 v 5 R 0,2505 0,2506 v 2 = M P v P + m 1 v 1 m 1 M P (50) Die Abweichungen sind jeweils minimal und meist kleiner als ein Tausendstel. 8