Aufgabe Max.Pkt. Punkte Visum 1 Visum Total 60

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1 D-MATH/D-PHYS Prof. W. Fetscher Studienjahr HS07 - FS08 ETH Zürich Testklausur, Frühjahr 2008, Physik I+II Füllen Sie als erstes den untenstehenden Kopf mit Name und Legi-Nummer aus. Beachten Sie: Nicht immer hängen Teilaufgaben von den Lösungen der vorhergehenden Teilaufgaben ab! Richtige Herleitungen geben Punkte, auch wenn Ihnen vielleicht aus einer ungelösten vorhergehenden Teilaufgabe ein Zahlenwert fehlt. Setzen Sie Zahlen, wenn überhaupt, nur am Ende einer Herleitung ein! Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner, Programmierbarkeit nicht notwendig Mathematische Formelsammlung Handschriftliche Zusammenfassung, 10 Seiten A4; das Einfügen von Zeichnungen aus meinem Vorlesungsskript ist zulässig. Name Vorname Legi-Nummer zutreffendes einkreisen D-PHYS D-MATH D-CHEM Aufgabe Ma.Pkt. Punkte Visum 1 Visum Total 60

2 r P 1. Rotierende Scheiben (11 Punkte) Auf einer Scheibe mit Radius r 1, die in ihrem Zentrum drehbar montiert ist, befindet sich eine zweite Scheibe mit Radius r 2 < r 1, um die ein masseloses Seil aufgewickelt ist. Die zweite Scheibe ist konzentrisch auf der ersten Scheibe montiert. Im Abstand r P (r 1 < r P ) vom Zentrum der Scheiben steht eine Person, die zur Zeit t = 0 das lose Ende des Seils in den Händen hält, und mit konstanter Kraft F Z am Seil zieht. Dabei stellt sich die Person so an, dass das Seil zwischen den Händen und dem Angriffspunkt an der zweiten Scheibe ständig gespannt ist. Das Trägheitsmoment der ganzen Apparatur um den Drehpunkt im Zentrum der Scheiben sei dabei J tot. Am Drehpunkt entstehe durch Reibung eine Bremswinkelbeschleunigung α B = κω, wobei κ > 0 eine Konstante und ω die Winkelgeschwindigkeit der Rotation der Scheiben ist. Bezeichnen Sie mit ϕ(t) den totalen Winkel, den ein frei wählbarer Referenzpunkt auf den Scheiben zu einer bestimmten Zeit t zurückgelegt hat. r 1 r 2 P a) Finden Sie die Bewegungsgleichung für ϕ in Abhängigkeit von J tot, κ, F Z undr 2 für die Zeit, bevor das ganze Seil abgewickelt ist. Was ist die Dimension von κ? (4 Punkte) b) Finden Sie die Lösung der Gleichung aus a) mit den Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ(0) = 0. (3 Punkte) Hinweis: Zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung finden Sie zuerst die Lösung der homogenen Gleichung. Addieren Sie dazu eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. c) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω ma, die die Scheiben asymptotisch für t erreichen (Annahme eines unendlich langen Seils). (2 Punkte) d) Finden Sie das totale Trägheitsmoment J tot als Funktion der Dicken der Scheiben d 1 und d 2, der Dichte des Materials der Scheiben ρ und der Radien r 1 und r 2. (2 Punkte) Hinweis: Die Formel für das Trägheitsmoment eines Zylinders muss nicht hergeleitet werden.

3 2. Seilwelle (9 Punkte) Hinweis: Diese Aufgabe besteht aus zwei voneinander unabhängigen Teilen. Teil 1 (5 Punkte) Zwei Wellen in einem Seil werden durch folgende Gleichungen beschrieben: ξ 1 (,t) = A 1 cos (k 1 ω 1 t + ϕ) (1) ξ 2 (,t) = A 2 cos (k 2 ω 2 t). (2) a) Welchen Wert muss ϕ haben, damit der Betrag der Auslenkung der Welle ξ 1 bei = 0 und t = 0 maimal ist? (1 Punkt) Nehmen Sie im Folgenden für obige Parameter folgende Zahlenwerte an: A 1 = 1 mm, A 2 = 1,5 mm, k 1 = π 50 mm 1, k 2 = π 60 mm 1, ω 1 = 100π s 1, ϕ = 0 b) Bestimmen Sie die Kreisfrequenz ω 2 sowie die Wellenlänge λ 2, die Periode T 2 und die Geschwindigkeit v 2 der Welle ξ 2. (2 Punkte) c) Bestimmen Sie die transversale Geschwindigkeit ξ und die Querbeschleunigung ξ des Seils im Punkt = 1,6 m zur Zeit t = 0,2 s, wenn beide Wellen im Seil propagieren. (2 Punkte) Teil 2 (4 Punkte) Ein langes Seil der Dichte ρ wird mit der Zugspannung S gespannt. Ein Ende des Seils wird zu harmonischen Schwingungen der Frequenz ν und der Amplitude A angeregt. d) Wie lautet die Bewegungsgleichung der Welle im gespannten Seil? Zeigen Sie ausserdem, dass u(,t) = A cos(k ωt) (3) eine Lösung dieser Gleichung ist, wobei k die Wellenzahl und ω die Kreisfrequenz ist. (2 Punkte) Benutzen Sie im folgenden den Lösungsvorschlag (3) und für die Parameter folgende Zahlenwerte: ρ = kg m 3, S = 48 N m 2, ν = 2 Hz, A = 40 mm e) Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit v und die Wellenlänge λ der im Seil entstehenden Welle. (1 Punkt) f) Wie gross ist die maimale transversale Kraft, die auf ein Volumenelement der Länge l = 10 mm wirkt? (Seildurchmesser d = 10 mm) Hinweis: Sie können annehmen, dass l λ gilt. (1 Punkt)

4 3. Halfpipe (12 Punkte) Ein Skateboarder trainiert auf einer Halfpipe (kreisförmig, mit Krümmungsradius R wie in der Abbildung angedeutet). Wir beschreiben den Skateboarder zusammen mit seinem Board der Einfachheit halber als Massenpunkt der Masse m. Das Skateboard gleite zunächst reibungsfrei auf der Halfpipe. Wir studieren im Folgenden die Bewegungskomponente in. y R ϕ R e ϕ m ϕ y 0 0 a) Schreiben Sie zuerst die potentielle Energie U als Funktion von ϕ auf. Die Kraft tangential an die Halfpipe erhalten Sie dann aus der Bedingung ( F t = e ϕ 1 ) d R dϕ U, (4) wobei e ϕ ein Einheitsvektor ist, dessen - und y-komponenten als Funktion von ϕ gefunden werden müssen. Bestimmen Sie daraus die -Komponente dieser Kraft, nun als Funktion von und R, die auf den Skateboarder wirkt, und schreiben Sie schliesslich die Bewegungsgleichung für die -Komponente hin, wiederum als Funktion von und R. (5 Punkte) b) Zur Zeit t = 0 befindet sich der Skateboarder in Ruhe, auf der Höhe y = y 0. Leiten Sie den Betrag der Geschwindigkeit als Funktion von her. Für welche Werte von ist der gefundene Ausdruck gültig? Was ist speziell die Geschwindigkeit im Punkt = 0 und auf der gegenüberliegenden Seite auf gleicher Höhe? (3 Punkte) c) Die in a) gefundene Kraft sei F = (mg/r) 1 (/R) 2. Nun betrachten wir eine Starthöhe y 0 R, und damit (t) R t. Schreiben Sie die Bewegungsgleichung (als Funktion von ) in dieser Näherung hin, und auch deren Lösung (Anfangsbedingungen (0) = 0, Skateboarder ist in Ruhe). Was ist in diesem Fall die Zeit T, die der Skateboarder benötigt, um wieder zu seinem Startpunkt zurückzukehren, beim einmaligen Durchfahren der Halfpipe (also die Schwingungsperiode T)? (4 Punkte)

5 4. Elektrisches Potential (10 Punkte) U() a 0 a Q q Q a 0 a Betrachten Sie die in der Darstellung gezeigte Ladungsverteilung. An den Punkten ±a auf der -Achse befinden sich zwei raumfeste positive Punktladungen +Q. Zwischen diese Ladungen wird eine ebenfalls positive Testladung +q gelegt, die sich nur entlang der -Achse bewegen kann. a) Bestimmen Sie zuerst das Potential der einzelnen Ladungen Q entlang der -Achse. Betrachten Sie hierfür jeweils die Bereiche rechts und links der jeweiligen Ladung separat. (2 Punkte) b) Finden Sie nun durch Superposition das totale, durch die beiden Ladungen Q, erzeugte Potential entlang der -Achse. Unterteilen Sie hierzu die -Achse in drei Regionen: Bereich I: < a, Bereich II: a < < a und Bereich III: > a. (3 Punkte) c) Skizieren Sie das in Aufgabenteil b) gefundene Potential. (1 Punkt) d) Berechnen Sie die auf die Testladung q wirkende Kraft F(). Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und lösen Sie diese für kleine Auslenkungen vom Ursprung. (4 Punkte)

6 5. Zerfall des K 0 -Teilchens und spezielle Relativität (9 Punkte) Das Kaon K 0 ist ein instabiles Teilchen. Es zerfalle in zwei elektrisch neutrale Pionen π 0. Im Ruhesystem des Kaons S K hat das Kaon den 4-Impuls ( ) ( ) EK mk c p K = = 2, (5) cp K 0 wobei c die Lichtgeschwindigkeit und m K die Masse des Kaons ist. Die 4-Impulse der resultierenden Pionen im System S K seien ( ) p µ Ei π i =, i = 1, 2, (6) cp i wobei gilt und m π die Masse der Pionen ist. m π c 2 = E 2 i c2 p 2 i, (7) a) Finden Sie die Beträge der 3-Impulse p i, i = 1, 2, der Pionen im Ruhesystem des Kaons als Funktionen von m K und m π. (3 Punkte) Hinweis: Benutzen Sie 4-Impulserhaltung. b) Welcher Zusammenhang zwischen m K und m π muss gelten, damit der Zerfall möglich ist? (2 Punkte) c) Wie schnell bewegen sich die Pionen im Ruhesystem des Kaons? (2 Punkte) d) Nun sind die Pionen ihrerseits instabile Teilchen. Ihre Lebenszeit in ihrem Ruhesystem sei τ π. Zeigen Sie, dass die Lebensdauer der Pionen τ π im Ruhesystem des Kaons τ π = m K 2m π τ π (8) ist. (2 Punkte) 6. Kugel auf Block (5 Punkte) Eine Kugel der Masse m K = 1,0 g wird auf einen Block der Masse m B = 0, 5 kg geschossen. Der Block befinde sich dabei am Ende eines 0,6 m langen Stabes der Masse m S = 0,5 kg, der von einer Decke hängt. Nach dem Einschuss bleibt die Kugel im Block stecken, und die ganze Apparatur beginnt reibungsfrei um den Aufhängepunkt A zu rotieren. Das Trägheitsmoment des Stabes um den Aufhängepunkt sei dabei J S = 0,06 kg m 2. Hinweis: Nehmen Sie an, der Block und die Kugel seien klein genug, um als Massenpunkte behandelt zu werden. a) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment J des gesamten Systems Kugel-Block-Stab um den Punkt A. (3 Punkte)

7 b) Die Winkelgeschwindigkeit unmittelbar nach dem Einschlag sei ω = 4,5 s 1. Finden Sie die Geschwindigkeit v der Kugel vor dem Einschlag. (2 Punkte) 7. Abbremsendes Schiff (4 Punkte) Ein Schiff (Masse m) fahre mit der Geschwindigkeit v 0. Zur Zeit t = 0 schalte es die Motoren ab und gleite, gebremst durch den Wasserwiderstand, dahin. Die verzögernde Kraft F sei proportional zur Geschwindigkeit v und betrage zum Zeitpunkt t = 0 zehn Prozent des Schiffsgewichts. a v 0 v 0 t a) Berechnen Sie die Beschleunigung a 0 zur Zeit t = 0. (0,5 Punkte) Hinweis: Auf korrektes Vorzeichen achten! b) Geben Sie die Beschleunigung a als Funktion der Geschwindigkeit v an und tragen Sie diese Beziehung in das linke Diagramm ein! (1,5 Punkte) c) Ersetzen Sie das bei Aufgabenteil b) erhaltene Ergebnis a = a(t) durch v = dv dt und berechnen Sie die Geschwindigkeit in Funktion der Zeit. Skizzieren Sie die so erhaltene Funktion v = v(t) in der rechten oberen Abbildung. (2 Punkte) Schiffsmasse Geschwindigkeit m = kg v 0 = 36 km/h