v(t) = r(t) v(t) = a(t) = Die Kraft welche das Teilchen auf der Bahn hält muss entgegen dessen Trägheit wirken F = m a(t) E kin = m 2 v(t) 2

Transkript

1 Aufgabe 1 Mit: und ( x r(t) = = y) ( ) A sin(ωt) B cos(ωt) v(t) = r(t) t a(t) = 2 r(t) t 2 folgt nach komponentenweisen Ableiten ( ) Aω cos(ωt) v(t) = Bω sin(ωt) a(t) = ( ) Aω2 sin(ωt) Bω 2 cos(ωt) Die Bahn des Teilchens ist eine Ellipse (A B) Die Kraft welche das Teilchen auf der Bahn hält muss entgegen dessen Trägheit wirken Die kinetische Energie ist: F = m a(t) E kin = m 2 v(t) 2 nach Einsetzen folgt v(t) = (Aω cos(ωt)) 2 + ( Bω sin(ωt)) 2 mit E kin = m 2 ((Aω cos(ωt))2 + ( Bω sin(ωt)) 2 ) ergibt sich letztlich sin 2 (ωt) + cos 2 (ωt) = 1 E kin = m 2 ω2 (A 2 sin 2 (ωt)(a 2 B 2 )) 1

2 Die kinetische Energie ist von der Zeit unabhängig wenn A = B ist, also für eine Kreisbahn 2

3 Aufgabe 2 a) Gesamtenergie besteht aus Rotation und Translation und entspricht nach Energieerhaltung der potentiellen Energie: E mech = E rot + E kin = mg h h = sin(25 ) 1m m = ρv = ρπr 2 l = 2gcm 3 π(1cm) 2 20cm = 125, 67g= 0, 126kg b) Geschwindigkeit bei x = 1m: Rotationsenergie ist: E rot = J 2 ω2 mit Trägheitsmoment für Vollzylinder J: J = 1 2 mr2 für die Kreisfrequenz ω gilt beim Rollen: ω = v r für die Rotationsenergie ergibt sich dann: die kinetische Energie des Zylinders ist: E rot = 1 v2 mr2 4 r 2 = 1 4 mv2 E kin = 1 2 mv2 mit: ergibt sich: c) Der Drehimpuls E rot + E kin = mg h v = 4 3 gh L = Jω L = 1 2 mr 4 3 gh 3

4 Aufgabe 3 a) Körper beginnt zu Rutschen wenn der Betrag der Hangabtriebskraft F n größer als der Betrag Reibungskraft F R ist: b) Resultierende Kraft F a : F R = ɛ F N = ɛ cos(α) F G = ɛ cos(α)mg F H = sin(α) F G = m g sin(α) F H > F R sin(α) F G > ɛ cos(α) F G ɛ > tan(α) α > 16, 7 F a = F H F R mit und ergibt sich c) v = a t F a = ma v = t F a m = tmg sin(50 ) ɛ cos(50 ) m v = 56, 231ms 1 Berechnung der Wärmemenge einfach über Arbeit = Kraft mal Weg W = s 0 ( F R ds) W = F R s s ist der in t = 10s zurückgelegte Weg s = a 2 t2 a = g(sin(50 ) ɛ cos(50 )) = 5, 62ms 2 s = 281, 2m W = ɛ cos(50 )10kg 9, 81ms 2 281, 2m = 5, 3kJ 4

5 Aufgabe 4 a) Die Bewegungsgleichung lautet: x(t) = (x 0 ) cos(ωt) cos(ωt) da für t = 0 x(t = 0) = x 0 = 1 cm sein sollte alternativ geht auch x(t) = (x 0 ) sin(ωt + π/2) b) E kin = m 2 v(t)2 mit ist v(t) = x(t) t = x 0 ω sin(ωt) E kin = m 2 x2 0ω 2 sin 2 (ωt) bei x(t) = 0 ist π t 0 = (2n + 1) 2ω (n ist eine ganze Zahl) Exemplarisch kann man n = 0 einsetzen Ableiten liefert mit wird E kin t t 0 = π 2ω = m 2 x2 0ω 2 2 ω cos(ωt) sin(ωt) 2 cos(ωt) sin(ωt) = sin(2ωt) E kin = m t 2 x2 0ω 3 sin(2ωt) = 0 Die Ableitung wird Null für t 0 = π 2ω Das Maximum kann über 2. Ableitung überprüft werden für 2 E kin t 2 = mx 2 0ω 4 cos(2ωt) t 0 = π 2ω 5

6 Ergibt sich also ein Maximum 2 E kin t 2 = mx 2 0ω 4 cos(π) = mx 2 0ω 4 < 0 c) Die Beschleunigung ist an den Umkehrpunkten am größten (hätte gereicht) a(t) = 2 x(t) t 2 Ableiten und Nullsetzten liefert a(t) t = x 0 ω 2 cos(ωt) = x 0 ω 3 sin(ωt) = 0 für t 0 = nπ ω Maximum über 2. Ableitung der Beschleunigung 2 a(t) t 2 = x 0 ω 4 cos(ωt) liefert für t = t 0 immer einen Wert ungleich 0 also ein Maximum oder Minimum gleichen Betrages 2 a(t = t 0 ) t 2 = ±x 0 ω 4 6

7 Aufgabe 5 Berechnung über Formel aus beliebigem Tafelwerk a) einsetzen liefert: b) Energie Impuls c) einsetzen liefert die Kraft ist v Kw = m Lkwv Lkw m Lkw v Lkw k m Lkw + m Kw v Kw = 33, 23kmh 1 = 9, 23ms 1 E kin = m Kw 2 v 2 Kw p = m Kw v Kw a = v Kw t a = 92, 3m s 2 F = m F ahrer a = 85kg 92, 3m s 2 = 7, 85kN 7

8 Aufgabe 6 a) Nach dem Einschalten ist der Widerstand über die Spule unendlich (der Strom ändert sich abrupt) und über den Kondensator R = 0W I A = R Ges = 10Ω U R Ges = 2, 5A Nach langer Einschaltzeit wird der Widerstand über der Spule Null und über dem Kondensator unendlich R Ges = 25Ω b) gespeicherte Energie I A = U R Ges = 1A Kondensator Spule E = C 2 U 2 = 10µF 2 (25V) 2 = 3, 125mJ E = L 2 I2 = 10mH/2 (1A) 2 = 5mJ c) Leistung: alternativ oder P = U I = 25V 1A = 25W P = I 2 R P = U 2 /R 8

9 Aufgabe 7 Wirkungsgrad Carnot-Maschine: η = 1 T kalt T heiß T heiß = T kalt + 75K nach Umstellen ergibt sich η = 1 T kalt T kalt + 75K T kalt = 75K 75Kη η = 265, 9K Einsetzen liefert direkt T heiß = 340K 9

10 Aufgabe 8 Wärmemenge die zum Abkühlen und zum Gefrieren abzugeben ist, muss von den Eiswürfeln aufgenommen werden. Ansatz: Wärmemenge zum Gefrieren: Q g = m w c w T 1 + m w q w Ansatz Q g entspricht der Mindestmenge die vom Eis aufgenommen werden kann ohne dabei zu schmelzen Gleichsetzen und Umstellen führt zu Q g = m Eis c Eis T 2 m Eis = m w(c w T 1 + q w ) c Eis T 2 Einsetzen von ( T 1 = T 2 = 20K, m w = 0, 1kg, c w = 4, 19 kj kg K, q w = 334 kj K führt zu m Eis = 1, 045kg 10

11 Aufgabe 9 Gesamtausdehnung des Stabs = Ausdehnung des Lineals + gemessene Differenz mit ergibt sich l Lineal = l Lineal T k Stahl l Lineal = 20, 05mm, k Stahl = 1, K 1, T = 250K Gesamtausdehnung des Stabs: l Lineal = 0, 06015mm l Stab = l Lineal + (20, 11mm 20, 05mm) l Stab = 0, 1205mm daraus der Ausdehnungskoeffizient für den Stab: k Stab = l Stab l Stab T etwa doppelt so groß wie der für Stahl k Stab = 2, K 1 Hinweis: die Ausdehnung der gemessenen 60µm kann vernachlässigt werden 11

12 Aufgabe 10 a) Bestimmung der Gesamtladung: Ladungsverteilung: R 2 ρ(r) = ρ m exp r/r r2 Gesamtladung kann durch die Integration gewonnen werden Q gesamt = ρ(r)dv Volumenelement bei spärischen Koordinaten (hatten wir in der Übung) V dv = r 2 sin(θ)dθdφdr Integration Q gesamt = 4π Q gesamt = 4π Q gesamt = 4π R 0 R 0 R 0 r 2 ρ(r)dr r 2 ρ m R 2 r 2 exp( r/r)dr ρ m R 2 exp( r/r)dr Q gesamt = 4πρ m R 3 (1 1 e ) b) Feld: Maxwell Gleichung: ɛ 0 EdA = V ρ(r)dv Für inneren Bereich: Die Ausnutzung der sphärischen Symmetrie führt direkt zu ɛ 0 4πr 2 E = V ρ(r)dv 12

13 Das rechte Integral stammt aus obiger Gleichung (Feld ist proportional zur eingeschlossenen Ladung, also bis zum Radius r) ɛ 0 4πr 2 E = 4πρ m R 3 (1 exp( r R )) Für äußeren Bereich E = ρ mr 3 ɛ 0 r 2 (1 exp( r R )) Feld entspricht dem einer Punktladung mit der Gesamtladung Q gesamt (wurde auch in der Übung behandelt c) E = Q gesamt 4πɛ 0 r 2 Die Energie, die aufgewendet werden muss entspricht dem Potentialunterschied von der Oberfläche zum Abstand von 1m W = W = r=1m r=r r=1m r=r q E(r) dr q Q gesamt 4πɛ 0 r 2 dr W = qq gesamt 4πɛ 0 ( 1 1m 1 0, 1m ) 13

14 Aufgabe 11 induzierte Spannung: U = dφ dt mit Φ = BdA B = konstant und da senkrecht zu A Φ = B A = B a b B = B(t) = B 0 sin 2 (ωt) U = d dt a bb 0 sin 2 (ωt) U = a bb 0 d dt sin2 (ωt) U = a bb 0 ω2 sin(ωt) cos(ωt) U = a bb 0 ω sin(2ωt) Maximalwert (vom Betrag ist) bei (sin(2ωt) = ±1) U max = a bb 0 ω 14