Zwischenklausur Physik I für MWWT

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1 Prof. Martin H. Müser Lehrstuhl f. Materialsimulation Universität des Saarlandes Name: Zwischenklausur Physik I für MWWT Matrikelnummer: Die sechs besten Punktezahlen aus den acht reguären Aufgaben werden gezählt plus alle Punkte aus den Zusatzaufgaben. 100% entsprechen 70 Punkten. KEINE Taschenrechner!!! Schreiben Sie auf jedes Blatt, das Sie abgeben, ihren Namen und Matrikelnummer. Reguläre Aufgaben. 1. Gleichgewichtslage einer Punktladung Eine Ladung 1 = e befinde sich im Ursprung des Koordinatensystems. Eine zweite Ladung mit 2 = 3 e liege bei der Koordinate 2, 2, 1) Å. Berechnen Sie die Gleichgewichtslage einer dritten Testladung. Die Testladung ist positiv. Lösung: Aus Symmetriegründen liegt die Ladung 3 auf der Geraden, die die Ladungen 1 und 2 verbindet. Dabei wird die positive dritte Ladung von der Ladung 1 abgestoßen und von der Ladung 2 angezogen, sodass die Gleichgewichtslage nicht zwischen den Ladungen liegen kann. Weil 2 größer ist als 1, muss die Ladung näher an 1 liegen. Somit gilt: r 23 = r 13 + r 12. Für die Beträge der Kräfte muss F 12 = F 23 gelten, sodass: 1 3 4πɛ 0 r 2 13 = 2 3 4πɛ 0 r r 2 13 = 2 r r 13 = 2 r 23 Da r 23 = r 13 + r 12 können wir die letzte Gleichung umschreiben: 1 2 = r 13 1 =... = r 13 1 = r 13 + r r 12 /r 13 r 12 2 / 1 1 =... = Da 3 wie erwähnt nicht zwischen 1 und 2 liegen kann und näher an 1 liegt, ist die Lösung: r 3 = 2, 2, 1 ) Elektrisches Potenzial Es sei das folgende elektrische Potenzial gegeben: V x, y, z) = V 0 x 2 e r/a mit r = x 2 + y 2 + z 2. a) Ist V x, y, z) ein Zentralpotenzial? Begründen Sie Ihre Antwort. [3 Punkte] Lösung: Nein, weil es nicht nur vom Abstand abhängt. z.b. ist V a, 0, 0) = V 0 a 2 /e während es bei dem Punkt 0, a, 0), der denselben Abstand vom Ursprung hat wie a, 0, 0), den Wert null annimmt. 1

2 b) Berechnen Sie die drei Komponenten des elektrischen Feldes. Sie dürfen dr/dx = x/r,..., dr/dz = z/r als gegeben verwenden. [7 Punkte] Lösung: [ E x = V 0 2x e r a + x 2 1 )] ) a r 1 e a 2 2x1 = V 0 x e r a 2 x2 r ar E y = V 0 x 2 1 ) a r y e a = V 0 x2 y r ar r e a E z = V 0 x 2 1 ) a r z e a = V 0 x2 z r ar r e a 3. Elektrische Feld einer ringförmigen Ladungsverteilung Betrachten Sie einen homogen geladenen Ring in der yz-ebene mit Schwerpunkt im Koordinatenursprung, Radius a und Ladungsdichte λ = /2πa. Gesucht ist das elektrische Feld auf der x Achse. a) Diskutieren Sie die Grenzfälle x a und x a. Dies können Sie auch tun, ohne die eigentliche Rechnung durchgeführt zu haben. [4 Punkte] Lösung: Da das Potenzial symmetrisch ist, also V x) = V x) und zudem im Ursprung differenzierbar), muss für x/a 0 dann E x 0 gelten. Für x >> a erscheint der Ring aus der Ferne als punktförmig, sodass E x 4πɛ 0 x 2. b) Leiten Sie die genaue Abhängigkeit von E auf der Symmetrieachse des Rings ab. [6 Punkte] Lösung: Die Feldstärke auf der x-achse von einer ringförmigen Ladungsverteilung in der yz- Ebene kann über Integration der Feldstärken infinitesimaler Ladungen berechnet werden de = d R x R d 4πɛ 0 R x R d. 3 Dabei sind die Radiusvektoren der Positionen auf der x-achse und der infinitesimalen Ladungen am Ring R x = x, 0, 0) und Rd = 0, a cos φ, a sin φ). Abstand zwischen einer infinitesimalen Ladung und R x Für die Feldstärke in x-richtung gilt R x R d = x 2 + a 2. de x = d x 4πɛ 0 x2 + a. 23 Da jede infinitesimale Ladung über infinitesimale Ringlänge berechnet werden kann Die Feldstärke ist dann E x = 2π 0 λdφ a 4πɛ 0 x x2 + a 23 = d = λdl = λdφ a. 2πa 2π a 4πɛ 0 x x2 + a 23 = 4πɛ 0 x x2 + a 23. Der oben aufgeführte Ausdruck genügt den beiden Grenzfällen, die wir in Teilaufgabe a) geschildert haben. 2

3 4. Effektiver Widerstand Eine Batterie, die die Spannung 1,5 V liefert, hat einen Innenwiderstand von 20 Ω. Diese Batterie ist an zwei parallel geschaltete Widerstände angeschlossen, die jeweils einen Widerstand von 40 Ω haben. Wie groß ist der Strom I, der aus der Batterie kommt? Lösung: Den Strom ermitteln wir mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes: I = V R. Dabei ist Somit wird der Strom zu: R = R Innen + R 1 R = 20 + R 1 + R = 40 Ω. I = 1, 5 40 A = 3 80 A =... [ = 3, A ]. 5. Feld einer Metallplatte Gegeben sei eine ebene, endlich dicke Metallplatte, deren Oberfläche die konstante Ladungdichte σ = / A habe. Berechnen Sie das Feld vor dem Metall, das durch diese Ladungsverteilung erzeugt wird. Lösung:... ist wie in der Vorlesung mit einer homogen geladenen, dünnen Platten. Diesmal laufen die Feldlinien allerdings nur in eine Richtung, weil im Metall die Feldlinien verboten sind. Siehe Skizze in Übung.) Wir wählen eine Gauss-Oberfläche in Form eines Kubus und platzieren sie so, dass die Metaloberfläche den Kubus halbiert und zwei Seiten des Kubus parallel zur Metalloberfläche sind. Mit dem Gauss- Satz ermitteln wir E d A = E innen A innen + E außen A außen = ein ɛ 0 mit A außen = A Kubus und E innen = 0 Die eingeschlossene Ladungen ist Somit ergibt sich die Feldstärke zu ein = σ A Kubus. E = σ ɛ Elektrische Feldenergie Berechnen Sie die Feldenergie, die innerhalb eines homogen geladenen Zylinders mit Radius r und Länge l beinhaltet ist; l r, sodass Streufelder an den Rändern vernachlässigt werden können. Die Gesamtladung sei. Lösung: Zunächst ermitteln wir die Feldstärke mit dem Satz von Gauss. Wegen der Symmetrie benutzen wir einen Zylinder als Gauss-Oberfläche: E d A = E A Seite = ein ɛ 0 mit A Seite = 2πr l und ein = ρ πr 2 l. Die Feldstärke im Inneren des Zylinders ergibt sich somit zu Er) = ρr 2ɛ 0. 3

4 Jetzt intergrieren wir die Feldenergiedichte über das Volumen des Zylinders: ɛ 0 Er) 2 dv, 2 um die Feldenergie zu bestimmen. Dabei benutzen wir dv = l 2πrdr und ρ = V πr 2 zyl l rzyl 0 ɛ 0 ρ 2 r 2 4ɛ 2 0 l 2πrdr = πρ2 l 4ɛ 0 rzyl 0 r 3 dr = πρ2 lr 4 zyl 16ɛ 0 = 2 16πɛ 0 l. 7. Ersatzschaltbild für ein reales Dielektrikum Ein Plattenkondensator besteht aus zwei planparallelen Platten, die jeweils eine Fläche von 4 cm 2 haben und die 0,885 mm voneinander entfernt sind. Zwischen den beiden Platten sei ein Dielektrikum mit Dielektrizitätskonstante ɛ r = 20 und Leitfähigkeit σ = 10 8 Ω 1 m 1. a) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators. Lösung: Die Kapazität des Plattenkondensators ist [3 Punkte] A C = ɛ 0 ɛ r d = 8, = 80 pf. 8, b) Berechnen Sie den Widerstand des Dielektrikums. Lösung: Der Widerstand des Dielektrikums ist [3 Punkte] R = 1 σ d A = 1 8, = 2, Ω c) Entspricht das Ersatzschaltbild des Dielektrikums einer seriellen oder einer Parallelschaltung von Widerstand und Kondensator? Begründen Sie Ihre Antwort. [4 Punkte] Lösung: Die linke Seite des Dielektrikums ist an die linke Platte des Kondensators angeschlossen. Das gleiche gilt für die rechte Seite. Das Ersatzschaltbild des Dielektrikums entspricht demnach einer parallelen Schaltung. 8. Halb gefüllter Kondensator Ein Kondensator dessen Kondensatoroberflächen jeweils 5 cm 2 groß sind und einen Abstand von 0,885 mm haben sei zur Hälfte mit einem Dielektrikum mit ɛ r = 4 gefüllt, siehe Abbildung. Berechnen Sie die Gesamtkapazität des Kondensators. Lösung: Den Kondensator kann man als eine serielle Schaltung von zwei Kondensatoren C 1 und C 2 darstellen. Die Kapazitäten der Kondensatoren Die Gesamtkapazität ist dann 2A C 1 = ɛ 0 ɛ r1 d = 8, = 40 pf 8, A C 2 = ɛ 0 ɛ r2 d = 8, = 10 pf. 8, C = C 1C 2 C 1 + C 2 = = 8 pf.

5 Zusatzaufgaben 1. Einheitenanalyse Betrachten Sie einen als ideal zu nähernden Dipol im Ursprung des Koordinatensystems und ein ursprünglich kugelsymmetrisches Atom im Abstand r vom Dipol. In dem Atom werde ein Dipol induziert, der proportional zum lokal vorliegenden elektrischen Feld ist. Berechnen Sie anhand einer Einheitenanalyse mit welchem Potenzgesetz die Wechselwirkungsenergie zwischen Dipol und Atom mit zunehmenden r fällt. Der Vorfaktor des Gesetzes braucht nicht angegeben zu werden. Lösung: Der Vorfaktor 1/4πɛ 0 im Coulombgesetz ist eine Naturkonstante, die nicht vom Abstand abhängt und daher nicht weiter beachtet werden muss. Wir können ein Einheitensystem wählen, in dem 1/4πɛ 0 = 1 ist. Das E-Feld einer Ladung mit Einheit []=C) fällt mit 1/r 2, also E /r 2. Daher muss das Feld eines Dipols mit Einheit [d]=cm) gemäß 1/r 3 abfallen. Somit ist der induzierte Dipol proportional zu 1/r 3. Die potenzialle Energie U zweier Ladungen ist proportional zu 2 /r. Somit muss die potenzielle Energie zweier Dipole U d 1 d 2 /r 3 sein, also U d 2 1/r 6. Anmerkung: Wenn zwei Atome oder Moleküle jeweils mit abgeschlossener Elektronenschale), die keinen permanenten Dipol haben, weit voneinander entfernt sind, ziehen sie sich genau mit diesem 1/r 6 Gesetz an. Der Grund ist, dass durch quantenmechanische Fluktuationen die Atome doch spontan ein Dipolmoment entwickeln was allerdings wieder mit der Zeit zerfällt). Dieses spontane Dipolmoment induziert dann in dem anderen Teilchen auch ein Dipolmoment, das so gerichtet ist, dass die Gesamtenergie kleiner null wird. Vorausgesetzt die beiden Teilchen sind nicht so weit voneinander entfernt, dass die Fluktuation schon zerfallen ist, bevor Licht vom ersten zum zweiten Teilchen reisen kann und wieder zurück.) Daraus resultiert dann eine Anziehung, die man auch unter dem Namen van-der-waals Wechselwirkung kennt. Und was hat das mit Materialwissenschaft zu tun? Gegenfrage: Warum haftet dünne Plastikfolie so gut an sich selbst? 2. Ohmscher Energieverlust Betrachten Sie einen Kondensator mit Kapazität C, der von einer Batterie aufgeladen wird. Die Batterie liefere konstanten Strom I - also nicht konstante Spannung. Vor dem Kondensator sei ein Widerstand R geschaltet, der zu Wärmeverlusten führt. a) Berechnen Sie die Energie, die in dem Widerstand R verloren geht, wenn die Ladung auf den Kondensator aufgebracht wird. [6 Punkte] Lösung: Ladung und Strom stehen über = I t in Verbindung, wobei t die Zeit ist, die man benötigt, um den Kondensator zu laden. Die Wärmeleistung sie Vorlesung) ist P = V I =... = R I 2. Leistung ist Energie pro Zeit, also ist die verloren gegangene Energie: W = R I 2 t =... = R 2 b) Diskutieren Sie, ob es bzgl. der Ohmschen Verluste besser ist, den Kondensator schnell oder langsam aufzuladen. Welche Implikationen gibt es für das Bestreben Computer mit immer höheren Taktfrequenzen zu betreiben? [4 Punkte] 5 1 t.

6 Lösung: Die Wärmeverluste nehmen pro Schalteinheit mit 1/ t zu. Bei Verdoppelung der Taktfrequenz ergibt sich bei gleichbleibend großen Bauteilen also eine Vervierfachung der pro Zeiteinheit produzierten Wärmedichte). Dies stellt hohe Anforderungen an die thermischen Eigenschaften der Materialien. Weitere Anmerkungen: Wir sehen, dass bei langsamen Aufladen eines Kondensators weniger Energie in Wärme verloren geht als bei schneller Prozessführung. Wenn man den Kondensator so langsam auflädt, dass die Wärmeverluste sehr klein sind gegenüber der gespeicherten Feldenergie, kann man von einem adiabatischen Aufladen des Kondensators sprechen. Das Wort adiabatischer Prozess spielt eine wichtige Rolle in der Thermodynamik. Ähnliche Betrachtungen wie die eben angestellten gelten übrigens auch für die verlorene Energie in mechanischen Systemen. Je kleiner die Drehzahl eines Motors ist, desto weniger Energie geht als Reibungsenergie je zurück gelegter Strecke verloren. Eine genaue Rechnung ist allerdings sehr aufwendig: Bei sehr hohen Geschwindigkeiten kommt Turbulenz hinzu, bei sehr kleinen Drehzahlen kann sich Reibung dadurch erhöhen, weil das Schmiermitteln aus den Kontakten fließt. Aber pi mal Daumen ist die Analogie mit den Widerständen OK. ɛ 0 = 8, C 2 /Nm 2 ) 6