9 Multipol-Entwicklung

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1 9 Multipol-Entwicklung Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, dass die Lösungen der Laplace-Gleichung bei axialer Symmetrie in einer Entwicklung nach Legendre-Polynomen dargestellt werden können, [ φ(r, ϑ) = A l r l + B ] l r l+ P l (cos ϑ). In dieser Vorlesung werden wir, dass sich die Lösungen der Poisson-Gleichung ebenfalls in obiger Form darstellen lassen. In diesem Fall geben die Koeffizienten Auskunft über die Symmetrie der Ladungsverteilung. Betrachte die erzeugende Funktion der Legendre-Polynome, für t <. g(x, t) = = P l (x) t l 2xt + t 2 Dies definiert eine Entwicklung von r r nach Multipolen: ( ) r l P l (cos γ) (r > r ) r r = r r ( r ) l Pl r r (cos γ) (r < r ) wobei γ = (r, r ) der Winkel zwischen r und r ist, d.h. cos γ = cos ϑ cos ϑ + sin ϑ sin ϑ cos(ϕ ϕ ). Die obige Entwicklung kann zusammenfassend als r r = r > ( r< geschrieben werden, wobei r > = max(r, r ) und r < = min(r, r ). r > ) l P l (cos γ) Betrachte nun die Lösung der Poisson-Gleichung im freien Raum, φ(r, ϑ) = dv ρ(r ) r r = dv (r < ) l r l+ P l (cos γ) () > = dv r> l+ (r < ) l P l (cos γ) ρ(r ) Für eine axial symmetrische Ladungsverteilung, ρ(r ) = ρ(r, ϑ) hängt das Potential nicht vom Azimuthalwinkel ϕ ab. Außerhalb der Ladungsverteilung gilt dann φ(r, ϑ) = [ A l r l + B ] l r l+ P l (cos ϑ). Dann ist r > r, d.h. r = r > und r = r <. Damit das Potential im Unendlichen endlich bleibt, muß A l = 0 für l > 0. φ(r, ϑ) = φ + B l r l+ P l(cos ϑ). Betrachte nun speziell das Potential weit entfernt von allen Ladungen.,

2 Durch Vergleich mit der Multipol-Entwicklung des elektrostatischen Potentials findet man die Koeffizienten B l. Die Entwicklungskoeffizienten hängen noch vom Winkel ϑ ab. φ(r, ϑ) = r l+ dv (r ) l P l (cos γ) ρ(r, ϑ ) dv (r ) l P l (cos γ) ρ(r, ϑ ) Demgegenüber sind die B l unabhängig von ϑ. Zu ihrer Bestimmung bedient man sich daher des folgenden Tricks: Man berechnet das Potential auf der z-achse. Dort ist ϑ = 0 und entsprechend γ = ϑ. B l P l (cos ϑ = ) }{{} = B l = dv (r ) l P l (cos ϑ ) ρ(r, ϑ ) Die B l sind die (zylindrischen) Multipol-Koeffizienten des elektrostatischen Potentials im Außenraum der Ladungen. Damit ist das Potential im ganzen Raum außerhalb der Ladungsverteilung bekannt, φ(r, ϑ) = Beispiel:homogen geladener Ring B l P l (cos ϑ) r l+. Ein homogen geladener Ring liege parallel zur xy-ebene und sein Mittelpunkt im Abstand b (entlang z) vom Koordinatenursprung. Die Ladungsverteilung ist also in Zylinderkoordinaten durch gegeben. ρ(r) = δ(r a)δ(z b) 2πa Für einen Punkt r = re z auf der z-achse ist der Abstand zu jedem Punkt auf dem Ring durch d = r 2 + r0 2 2rr 0 cos α mit r 2 0 = b2 + a 2 gegeben. Hier ist α der Winkel zwischen der z-achse und dem Verbindungsvektor r 0 vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt des Rings. Da dieser Abstand nicht vom Azimuthalwinkel abhängt, ist das Potential im Punkt r durch φ(r, ϑ = 0) = 2πd dφ = d gegeben. Wegen d = r r 0 gilt die Multipolentwicklung φ(r, 0) = r< l r> l+ P l (cos α). Hieraus kann man die Entwicklungskoeffizienten a l und b l ablesen: Für r < r 0 erhält man b l = 0 und a l = P l (cos α)/r0 l+. Dahingegen gilt für r > r 0, daß a l = 0 und b l = r0 l P l(cos α). Die Multipol-Entwicklung ist eine Entwicklung nach:

3 . Potenzen von ( ) l r 2. spezifischen Winkelcharakteristika monopole dipole uadrupole octupole monopole - dipole - - uadrupole Die Multipol-Momente hängen im Allgemeinen von der Wahl des Ursprungs des Koordinatensystems ab. Verschwinden hingegen alle Multipol-Momente für l < l 0, so ist das l-te Multipol-Moment von der Wahl des Ursprungs unabhängig. Im Einzelnen: Das Dipol-Moment (l = ) ist von der Wahl des Koordinatenursprungs unabhängig, wenn die Gesamtladung verschwindet. Das Quadrupol-Moment (l = 2) ist von der Wahl des Koordinatenursprungs unabhängig, wenn sowohl die Gesamtladung als auch das Dipol-Moment verschwinden. 9. Elektrischer Dipol, Multipol-Entwicklung in kartesischen Koordinaten Die Multipol-Entwicklung charakterisiert das Potentials in weiter Entfernung von der Ladungsverteilung. Je höher das Multipol-Moment, um so schneller fällt der entsprechende Beitrag zum Potential in großer Entfernung ab ( r (l+) ). Gemäß unserer Vorstellung, daß das Potential einer Ladungsverteilung in großer Ferne dem einer Punktladung ähnelt, gibt das l = 0-Multipol-Moment (Monopol) die Gesamtladung der Ladungsverteilung an, B 0 = dv ρ(r) = Q.

4 9.2 Elektrischer Dipol Der l = -Beitrag zum Potential V l= = r 2 dv r cos γρ(r ) = V dip wird als Dipol-Potential bezeichnet. Mit läßt sich das Dipol-Potential als r cos γ = e r r V dip = p r r 2 schreiben, wobei das Dipolmoment einer Ladungsanordnung durch p = dv r ρ(r ) gegeben ist. Bei axialsymmetrischen Problemen ist es ausreichend die Projektion der Multipol-Momente auf die z-achse zu kennen. Dementsprechend bezeichnet B 2 = dv (r ) 2 [3 cos 2 ϑ ] das Quadrupol-Moment der Ladungsanordnung. Als erstes Beispiel haben Sie bereits kennengelernt, daß die Influenzladung auf der Oberfläche einer Kugel im homogenen elektrischen Feld das Dipolmoment besitzt. p = E 0 R 3 e E0 Dies läßt sich nun leicht überprüfen: Ist das homogene elektrische Feld in z-richtung gerichtet, so hat die induzierte Ladung die Form σ = 3ɛ 0 E 0 cos ϑ. Das Dipolmoment lautet also: p = = dv r ρ(r ) = dv r 3ɛ 0 E 0 cos ϑ δ(r R) (2) sin ϑ cos ϕ dv r sin ϑ sin ϕ 3ɛ 0 E 0 cos ϑδ(r R) (3) cos ϑ Integration über ϕ x- und y-komponenten verschwinden. z-komponente: p z = 3ɛ 0 E 0 dv r cos 2 ϑδ(r R)r 2 sin ϑdrdϑdϕ = 3ɛ 0 E 0 R 3 2π x 2 dx = E 0 R 3. Alle höheren Multipol-Momente verschwinden. Daher erzeugt diese Ladungsverteilung im Außenraum der Kugel einen idealen Dipol. Der Begriff des Multipols leitet sich anschaulich daraus her, daß zur Erzeugung der jeweiligen Potentialkomponenten mehrere Punktladungen nötig sind. Zur Erzeugung des Dipolpotentials benötigt man zwei, zur Erzeugung des Quadrupolpotentials vier Punktladungen.

5 Der physikalische Dipol besteht aus zwei Punktladungen mit entgegengesetzt gleichgroßen Ladungen, die sich in einem Abstand a voneinander befinden. Die Ladungsdichte dieser Anordnung lautet also: ρ(r) = (δ(r 2 ae z ) δ(r + 2 ae z )). Damit besitzt die Anordnung ein Dipolmoment Die Ladungsverteilung kann also auch als geschrieben werden. p = ae z. ρ(r) = p a (δ(r 2 ae z ) δ(r + 2 ae z )) Einen idealen Dipol erhält man im Grenzfall verschwindenden Abstands zwischen den beiden Ladungen: p ρ(r) = lim a 0 a (δ(r 2 ae z ) δ(r + 2 ae z )) = p δ(r) = (p )δ(r) z Berechnet man für diese Ladungsverteilung das elektrostatische Potential, so ergibt sich φ(r) = dv (p )δ(r ) r r = dv δ(r )(p ) r r = dv δ(r )(p ) r r = (p ) r p r = r 3. (. Schritt: partielle Integration; 2. Schritt: Vertauschung der Ableitung nach r und r wegen der Symmetrie von r r ) Das Potential des idealen Dipols hat also nur eine Dipolkomponente. Demgegenüber besitzt der physikalische Dipol höhere Multipol-Momente (allerdings nur solche mit ungeradem l). Beispielsweise: B 3 = dv r 3 2 (5 cos3 ϑ 3 cos ϑ)ρ(r) = dv 2 (5z3 3r 2 z)δ(x)δ(y)[δ(z a/2) δ(z + a/2)] = [5 a3 8 3a3 8 ] = a3 4 (4) (5) (6) 9.3 Multipol-Entwicklung in kartesischen Koordinaten Bei der Herleitung der Multipol-Entwicklung in Kugelkoordinaten ist uns die Entwicklung nach Potenzen von r in gewisser Weise glücklich in den Schoß gefallen. In kartesischen Koordinaten ist eine solche Entwicklung etwas mühsamer. Rufen wir uns ins Gedächtnis, daß es sich um eine Entwicklung für r r handelt, so ist klar, daß wir in kartesischen Koordinaten eine Taylor-Entwicklung des Potentials vornehmen müssen. Die Taylor-Entwicklung einer Funktion in einer Variablen läßt sich als f(x + ɛ) = f(x) + ɛf (x) + ɛ2 2! f (x) +... = n=0 n! (ɛ d dx )n f(x) = exp(ɛ d dx )f(x) schreiben, wobei der letzte Schritt in gewisser Weise symbolischen Charakter hat und durch die vorherigen Ausdrücke definiert ist. Die Taylor-Entwicklung einer Funktion, die von den drei (Raum-)Koordinaten x, y und z abhängt, ergibt sich dann entsprechend zu f(x + ɛ, y + ɛ 2, z + ɛ 3 ) = exp(ɛ x )f(x, y + ɛ 2, z + ɛ 3 ) = exp(ɛ x ) exp(ɛ 2 y ) exp(ɛ 3 )f(x, y, z) (7) z = exp(ɛ )f(x, y, z) = n! (ɛ )n f(x, y, z) (8) n=0

6 Dann ergibt sich für r r die Taylor-Entwicklung r r = n=0 n! ( r ) n r = r + ( r ) r + 2! (r ) 2 r +... (0) = r + r r r 3 + [ 3(r r ) 2 2 r 5 (r ) 2 ] r () (9) Im letzten Schritt wurde benutzt, daß r n = n r n+ r. Somit erhält man für das Potential φ(r) = dv ρ(r ) r r = { dv ρ(r ) + r r r 3 dv r ρ(r ) + 2 r 5 dv [ 3(r r ) 2 (r ) 2 r 2] } ρ(r ) Man erkennt in dieser Entwicklung leicht das Monopol-Moment Q = dv ρ(r) sowie das Dipol-Moment wieder. Mit der Umformung p = dv rρ(r) 3(r r ) r 2 (r ) 2 = i,j x ix j(3x i x j r 2 δ ij ) = i,j (x ix j (r ) 2 3 δ ij)(3x i x j r 2 δ ij ) erhält man die Entwicklung des Potentials in den ersten 3 Multipol-Momenten in kartesischen Koordinaten, φ(r) = Q r + r p r 3 + 3x i x j r 2 δ ij 6 r 5 Q ij, i,j mit dem Quadrupoltensor Q ij = dv (3x ix j (r ) 2 δ ij )ρ(r ). (Bei der obigen Umformung wurde benutzt, daß i,j δ ij (3x i x j r 2 δ ij ) = i (3x i x i r 2 ) = 0.) Der Quadrupoltensor ist symmetrisch, d.h. Q ij = Q ji und seine Spur verschwindet, i Q ii = 0. Dementsprechend hat der Quadrupoltensor fünf unabhängige Matrixelemente. Bei axialsymmetrischen Ladungsverteilungen gilt dv x 2 ρ(r) = dv y 2 ρ(r). Dem entsprechend ist Q xx = Q yy. Wegen der verschwindenden Spur von Q gilt dann Q zz = 2Q xx = 2Q yy. Außerdem erhält man für die Außerdiagonal-Elemente (i j) dv xyρ(r) = 0 = dv x i x j ρ(r).

7 Also Q ij = 0 für i j. Damit ist der Quadrupoltensor diagonal und hat nur ein einziges unabhängiges Matrixelement. Für Q zz erhält man Q zz = dv (3z 2 r 2 )ρ(r) = dv r 2 (3 cos ϑ )ρ(r) = B 2. Die zz-komponente des Quadrupoltensors stimmt also bei axialsymmetrischen Ladungsverteilungen mit dem sphärischen Quadrupolmoment überein. Bei kugelsymmetrischen Ladungsverteilungen verschwindet der Quadrupoltensor, denn dann gilt dv z 2 ρ(r) = dv x 2 ρ(r) = dv y 2 ρ(r) = dv r 2 ρ(r). 3 Es ist offensichtlich, daß die Entwicklung des Potentials nach höheren Multipol-Momenten in kartesischen Koordinaten sehr mühsam wird. 9.4 Wechselwirkung einer Ladungsverteilung mit einem äußeren Feld Die Multipol-Entwicklung ist sehr nützlich für die Berechnung der Energie einer Ladungsverteilung mit einem äußeren Feld φ ex (r). Für die folgenden Betrachtungen nehmen wir an, daß die Ladungsanordnung stationär ist, sich also unter dem Einfluß des äußeren Feldes nicht ändert. Beispiele hierfür sind etwa: ein Dipol im Feld eines anderen Dipols oder die Nukleonen im Feld der Elektronen. Die Energie einer solchen Anordnung ist dann W = dv ρ(r )φ ex (r ) + innere Energie, wobei hier unter innerer Energie diejenige Energie verstanden werden soll, die zum Aufbau der Ladungsverteilung nötig war. Der Einfachheit halber legen wir den Koordinatenursprung ins Zentrum der Ladungsverteilung und nehmen an, daß das externe Potential am Ort der Ladungsverteilung nur wenig variiert. Eine Taylor-Entwicklung des externen Potentials um den Koordinatenursprung liefert dann φ ex (r ) = φ ex (0) + (r )φ ex (r) r=0 + 2 (r ) 2 φ ex (r) r= Wir weiterhin an, daß das äußere Feld am Ort der Ladungverteilung uellenfrei ist, Dann gilt: (r ) 2 φ ex (r) = φ ex (r) = 0(im Ladungsbereich). [ (r ) 2 ] 3 (r ) 2 φ ex (r) == i,j [ x i x j Setzt man dies in den Ausdruck für die Energie ein, so erhält man x i x j 3 (r ) 2 δ ij x i x j ] φ ex (r). W = [ dv ρ(r )]φ ex (0) + [ dv ρ(r )r ] φ ex (r) r=0 + 6 i,j [ dv ρ(r ){3x i x j (r ) 2 δ ij }] φex (r) r=0 x i x j +... = Qφ ex (0) p E ex (0) 6 i,j Q ij Ei r=0 x j +... = Monopol-WW Dipol-WW Quadrupol-WW

8 Analog ergibt sich für die Kraft auf eine Ladungsverteilung F = dv ρ(r )E ex (r ) = dv ρ(r ) [E ex (0) + (r )E ex (r) r=0 +...] = QE ex (0) + (p )E(r) r= Hier gibt der erste Term die Kraft auf die Gesamtladung der Ladungsverteilung an. Der zweite Term gibt zu erkennen, daß auf einen Dipol nur dann eine Kraft ausgeübt wird, wenn das elektrische Feld inhomogen ist. Analog erhält man das Drehmoment das auf die Ladungsverteilung wirkt zu N = dv r ρ(r )E ex (r ) = dv ρ(r )r [E ex (0) +...] = p E ex (0) +... d.h. das elektrische Feld wirkt auf das Dipolmoment ein Drehmoment aus.