KAPITEL VIII. Elektrostatik. VIII.1 Elektrisches Potential. VIII.1.1 Skalarpotential. VIII.1.2 Poisson-Gleichung

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1 KAPITEL III Elektrostatik Hier fehlt die obligatorische Einleitung... Im stationären Fall vereinfachen sich die Maxwell Gauß und die Maxwell Faraday-Gleichungen für die elektrische Feldstärke E( r) die jetzt zeitunabhängig ist zu E( r) = ρ el.( r) E( r) = 0. (III.1a) (III.1b) III.1 Elektrisches Potential III.1.1 Skalarpotential Betrachte ein einfach zusammenhängendes Gebiet (2) des Raums. Aus der stationären Maxwell Faraday-Gleichung (III.1b) folgt die Existenz einer differenzierbaren skalaren Funktion Φ( r) derart, dass die Beziehung E( r) = Φ( r) (III.2) in jedem Punkt r des Gebiets erfüllt wird. Nach Angabe eines beliebigen Punktes r 0 kann man nämlich Φ durch r Φ( r) = Φ( r 0 ) E( r ) d r (III.3) r 0 definieren, wobei das Wegintegral dank dem Stokes schen Satz unabhängig vom Weg ist, so dass Φ( r) eindeutig festgelegt ist, abgesehen von der beliebigen Wahl des Zahlenwerts für Φ( r 0 ). Φ wird als elektrostatisches Potential oder Skalarpotential bezeichnet. Die zugehörige SI-Einheit ist das olt () mit physikalischer Dimension [Φ] = M L 2 T 3 I 1. III.1.2 Poisson-Gleichung Das Ausdrücken des elektrostatischen Feldes in der Maxwell Gauß-Gleichung (III.1a) durch das Skalarpotential gemäß Gl. (III.2) führt zur Poisson-Gleichung Φ( r) = ρ el.( r) (III.4) mit dem Laplace-Operator. Insbesondere ergibt sich im akuum, d.h. in Abwesenheit von Ladungen, die Laplace-Gleichung Φ( r) = 0, (III.5) deren Lösungen die sog. harmonischen Funktionen sind.

2 130 Elektrostatik Gauß sches Gesetz Sei eine geschlossene Fläche, die ein zusammenhängendes Raumvolumen einschließt. Der elektrische Fluss durch die Oberfläche wird durch Φ E E( r) d 2 S (III.6) gegeben, mit d 2 S = d 2 S e n dem vektoriellen Oberflächenelement, wobei e n den Normaleinheitsvektor zu d 2 S bezeichnet. Unter erwendung des Integralsatzes von Gauß ist das Oberflächenintegral auf der rechten Seite gleich dem olumenintegral der Divergenz des Integranden, d.h. E( r) d 2 S = E( r) d 3 r. Unter Betrachtung der Maxwell Gauß-Gleichung (III.1a) lässt sich E( r) ersetzen ρ el. ( r) Φ E = d 3 r. Schließlich ergibt sich somit das Gauß sche Gesetz Φ E = Q in (III.7) mit Q in der Gesamtladung im olumen. Dieses Resultat stellt die globale Formulierung der lokalen Maxwell Gauß-Gleichung (III.1a) dar. III.1.3 Elektrisches Feld und Potential von Ladungen III.1.3 a Elektrisches Feld und Potential einer Punktladung Eine Punktladung befinde sich im Punkt r 0, während im ganzen Rest des Raums akuum herrscht. Die Situation ist dann kugelsymmetrisch um r 0. Insbesondere sollte das elektrische Feld E( r) in konstantem Abstand r r 0 von der Punktladung einen konstanten Betrag E ( r r 0 ) haben. Für die Richtung des elektrischen Feldes, die am meistens symmetrische Möglichkeit ist, das es in jedem Punkt entlang der Radialrichtung mit Einheitsvektor ( r r 0 )/ r r 0 zeigt. Somit ist ein vernünftiger Ansatz E( r) = E ( r r 0 ) r r 0 r r 0. (III.8) Betrachte man jetzt eine Kugel mit Radius R und Zentrum in r 0. In jedem Punkt der Kugelfläche ist das elektrische Feld normal, so dass E( r) d 2 S = E( r) d 2 S gilt. Dabei ist definitionsgemäß die Menge der Punkte mit r r 0 = R, so dass E( r) im Integral durch E(R) ersetzt werden kann. Da dieser Betrag konstant über bleibt, kann er aus dem Integral herausgezogen werden: E( r) d 2 S = E(R) d 2 S = 4πR 2 E(R), wobei benutzt wurde, dass das Oberflächenintegral im mittleren Glied einfach die Oberfläche der Kugel mit Radius R ist.

3 III.1 Elektrisches Potential 131 Dank dem Gauß schen Gesetz (III.7) ist die linke Seite auch mit der Gesamtladung innerhalb des durch abgeschlossenen olumens verknüpft. Hier ist diese Gesamtladung einfach gleich der Ladung, die im Zentrum der Kugel liegt: E( r) d 2 S =. Somit ergibt sich insgesamt = 4πR 2 E(R) bzw. E(R) = R 2. Nach Einsetzen dieses Betrags in den Ansatz (III.8) ergibt sich schließlich für das elektrische Feld einer Punktladung E( r) = r r 0 r r 0 3. Man prüft problemlos nach, dass das zugehörige Skalarpotential (III.9a) Φ( r) = r r 0 (III.9b) ist, hier mit der Wahl Φ( r) = 0 im Unendlichen. III.1.3 b Elektrisches Feld und Potential mehrerer Punktladungen Betrachte man jetzt N Punktladungen 1,..., N, die sich jeweils in r 1,..., r N befinden, in Abwesenheit weiterer Ladungen im ganzen Raum. Zur Bestimmung des entsprechenden elektrischen Feldes bzw. Skalarpotentials soll man nur darauf beachten, dass die Maxwell-Gleichungen linear in den Feldern ( E, B) und in den Quellen (ρ el., j el. ) sind. Demzufolge gilt ein Superpositionsprinzip für deren Lösungen, das natürlich auch für die stationären Gleichungen (III.1) gilt: wenn ( ρ el.,1 ( r), E 1 ( r), Φ 1 ( r) ) und ( ρ el.,2 ( r), E 2 ( r), Φ 2 ( r) ) zwei Lösungen der Gleichungen auf R 3 sind, dann ist ( ρ el.,1 ( r)+ρ el.,2 ( r), E 1 ( r)+ E 1 ( r), Φ 1 ( r)+φ 2 ( r) ) ebenfalls eine Lösung auf R 3. Dementsprechend lautet das Skalarpotential für die N Punktladungen Φ( r) = a=1 a r r a, (III.10a) wieder mit der Wahl Φ( r) = 0 für r ; das zugehörige elektrische Feld ist E( r) = a=1 a r r a r r a 3. (III.10b) III.1.3 c Elektrisches Feld und Potential einer Ladungsverteilung Ähnlich dem Übergang (III.1) von einer diskreten Massenverteilung m a, d.h. einer endlichen Anzahl von Massenpunkten, zu einer durch eine Massendichte ρ( r) beschriebenen kontinuierlichen erteilung, kann man von einer endlichen Anzahl von Punktladungen a zu einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ el. übergehen, indem man das Rezept a f( r a ) f( r)ρ el. ( r) d 3 r (III.11) a anwendet, wobei das durch die Ladungsverteilung besetzte Raumvolumen bezeichnet.

4 132 Elektrostatik Dementsprechend lautet das elektrostatische Potential bzw. Feld für eine Ladungsverteilung ρ el. Φ( r) = ρ el. ( r ) r r d3 r, (III.12a) bzw. E( r) = ρ el. ( r ) r r r r 3 d3 r. (III.12b) Bemerkungen: Der orsicht halber sollte der Punkt r außerhalb des olumens sein, um unangenehme Divisionen durch 0 zu vermeiden. Hiernach wird das Potential (III.12a) auf eine alternative Weise hergeleitet ( III.2.2). Setzt man in die Gl. (III.12a) (III.12b) die Ladungsverteilung (II.6a) für eine Menge von Punktladungen ein, so findet man natürlich Gl. (III.10a) und (III.10b) wieder. III.1.4 Elektrostatische potentielle Energie III.1.4 a Coulomb-Kraft In Abwesenheit von magnetischen Feld oder für ruhende Ladungen lautet die Lorentz-Kraft auf eine Punktladung a F a ( r a ) = aea ( r a ) (III.13a) mit E a dem Feld, das die anderen Ladungen b a im Punkt r a erzeugen, d.h. wobei Gl. (III.10b) verwendet wurde. F a ( r a ) = b=1 b a a r a r b r a r b 3, (III.13b) Falls es nur eine andere Ladung gibt, die hiernach mit 2 bezeichnet wird und sich in r 2 befindet, ist das dadurch erzeugte elektrische Feld durch Gl. (III.9a) gegeben. Dann lautet die Kraft auf die Punktladung a 1 F ( r 1 ) = 1 2 r 1 r 2 r 1 r 2 3. (III.14a) Somit findet man die Coulomb-Kraft wieder, sowie das zugehörige Potential ( r 1 ) = 1 2 r 1 r 2, (III.14b) aus dem die Kraft sich gemäß F ( r 1 ) = 1 ( r 1 ) ableiten lässt. III.1.4 b Potentielle Energie Wegen der Maxwell Thomson-Gleichung a E a = 0 ist die Kraft F a [Gl. (III.13b)] auch im allgemeinen Fall konservativ. Genauer gilt F a ( r a ) = a ( { r b } ) (III.15a) mit a dem Gradient bezüglich des Ortsvektors r a und einer potentiellen Energie, die durch

5 III.1 Elektrisches Potential 133 ( { r b } ) = 1 2 a,b=1 a b a b r a r b (III.15b) gegeben ist. Alternativ gilt ( { r b } ) = 1 2 a Φ a ( r a ), a=1 (III.15c) wobei Φ a durch Gl. (III.10a) mit Summierung über die Punktladungen b a gegeben wird. Beweis: Mit dem Potential (III.15b) gilt unter erwendung der Kettenregel a = 1 ( ) c d 1 a = 1 ( ) c d r c r d δ ca 2 r a r b 2 r c r d 3 + δ r c r d da r c r d 3 = 1 2 d a c,d=1 c d a d r a r d r a r d 3 1 a c 2 c a c,d=1 c d r c r a r c r a 3. Ersetzt man d bzw. c durch b in der ersten bzw. zweiten Summe der zweiten Zeile, so sind beide Summanden gleich und man findet genau das gesuchte Ergebnis (III.13b). Im Limes einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ el. wird die potentielle Energie (III.15c) zu = 1 2 Φ( r)ρ el. ( r) d 3 r (III.16) mit dem Raumvolumen, das die Ladungsverteilung besetzt; eigentlich kann durch R 3 ersetzt werden Bemerkung: Die letztere Gleichung könnte auf erster Sicht verwirrend sein, denn das elektrostatische Potential Φ im Integral wird in einem Punkt betrachtet, wo sich Ladungen befinden. Das heißt, dass dies nicht dem Gültigkeitsbereich der Gl. (III.12a) entspricht, für die der Punkt r außerhalb der Ladungsverteilung sein soll. Dies bedeutet nur, dass Φ( r) nicht durch Gl. (III.12a) gegeben ist. III.1.4 c Energie des elektrostatischen Feldes Die potentielle Energie (III.16) einer Ladungsverteilung ρ el. kann auch durch das elektrostatische Feld E( r) ausgedrückt werden, erzeugt durch die erteilung. In der Tat gilt R3 E( r) 2 = d 3 r, (III.17) 2 wobei sich das Integrand als die elektrische Energiedichte e e ( r) des Feldes im Punkt r interpretieren lässt. Zum Beweis dieses Ergebnisses kann das Integral auf der rechten Seite der Gl. (III.16) zuerst über das olumen einer Kugel mit Radius R berechnen, dann am Ende den Grenzwert R betrachten. Dank der Maxwell Gauß-Gleichung (III.1a) gilt 1 2 Φ( r)ρ el. ( r) d 3 r = 2 Dabei lässt sich das Integrand mithilfe der Identität Φ( r) E( r) d 3 r.

6 134 Elektrostatik Φ( r) E( r) = [Φ( r) E( r) ] E( r) Φ( r) = [Φ( r) E( r) ] + E( r) 2 umschreiben: 1 Φ( r)ρ el. ( r) d 3 r = ɛ 0 [Φ( r) E( r) 2 2 ] E( r) d 3 2 r + d 3 r. 2 Der zweite Term auf der rechten Seite gibt das gesuchte Ergebnis im Limes R, so dass man nur beweisen soll, dass der erste in diesem Limes verschwindet. Tatsächlich kann das erste olumenintegral auf der rechten Seite mit dem Gauß schen Integralsatz in ein Oberflächenintegral über die Kugelfläche transformiert werden [Φ( r) E( r) ] d 3 r = Φ( r) E( r) d 2 S. Wenn R groß genug ist, befinden sich alle Ladungen innerhalb der Kugel r R. Dann nehmen das elektrostatische Potential und das Feld mit R ab, gemäß (38) r =R Φ(R) 1 R, E(R) 1 R 2. Dagegen gilt d 2 S = R 2 d 2 Ω mit d 2 Ω dem Raumwinkelelement. Insgesamt kommt E( r) r =RΦ( r) d 2 S 4πR R R 2 1 R, so dass dieser Term im Grenzwert R Null wird. (38) Dies folgt aus dem Gauß schen Gesetz (III.7), unter erwendung des gleichen Arguments wie in III.1.3 a.