X.3.1 Energiedichte und -stromdichte des elektromagnetischen Feldes

Transkript

1 X.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes 169 X.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes Genau wie mechanische Systeme trägt das elektromagnetische Feld Energie ( X.3.1 und Impuls ( X.3.. Lokal lassen sich diese Größen durch entsprechende Dichten und Stromdichten charakterisieren, die dann Bilanzgleichungen genügen. X.3.1 Energiedichte und -stromdichte des elektromagnetischen Feldes X.3.1 a Bilanzgleichung für die Energie Bildet man das Skalarprodukt von der Maxwell Faraday-Gleichung (X.1c und der magnetischen Induktion B(t, r, so kommt B(t, r [ E(t, r ] + B(t, r B(t, r Wiederum lautet das Skalarprodukt aus Maxwell Ampère-Gleichung (X.1d und elektrischem Feld E(t, r E(t, r [ ] B(t, r ɛ µ E(t, r E(t, r µ j el. (t, r E(t, r..

2 17 Zeitabhängige elektromagnetische Felder Die letztere Gleichung kann dann von der ersteren abgezogen werden. Dabei kann man auf der linken Seite die Identität B ( ( ( E E B E B verwenden. Es ergibt sich dann [ [ ] E(t, r B(t, r ɛe(t, r B(t, r + µ + ] µ j el. (t, r µ E(t, r. (X. Die Struktur der linken Seite dieser Gleichung, mit der Summe der Zeitableitung einer skalaren Größe mit dem Gradienten eines Vektorfeldes, ist ähnlich jener der Kontinuitätsgleichung (X.7, d.h. allgemeiner einer lokalen Bilanzgleichung. Dies weist darauf hin, dass e e.m. (t, r ɛ E(t, r + B(t, r µ (X.3a der Dichte einer Größe entspricht, während der Poynting (an -Vektor S e.m. (t, r E(t, r B(t, r µ (X.3b die assoziierte Stromdichte ist. Da die Dichte e e.m. (t, r im stationären Fall ohne magnetisches Feld mit der elektrostatischen Energiedichte [vgl. Gl. (VIII.17] übereinstimmt, möchte man sie gerne als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes interpretieren. Dementsprechend wäre S e.m. (t, r die zugehörige Energiestromdichte und die aus Gl. (X. folgende Gleichung e e.m. (t, r sollte eine (lokale Bilanzgleichung für die Energie darstellen. Bemerkungen: + S e.m. (t, r j el. (t, r E(t, r. (X.3c Die Gleichung (X.3c wird auch (differentielle Form von dem Satz von Poynting genannt wobei die Integralform die Gl. (X.4 unten ist. Der zweite Term in der Energiedichte, B(t, r /µ, kann als die im magnetischen Feld gespeicherte Energiedichte betrachtet werden. X.3.1 b Interpretation der Energiebilanzgleichung Sei ein Volumen V des Raums mit Oberfläche V. Das Integrieren der Bilanzgleichung (X.3c über dieses Volumen ergibt d e e.m. (t, r d 3 r + S e.m. (t, r d S j el. (t, r E(t, r d 3 r, (X.4 V V wobei der Integralsatz von Gauß benutzt wurde, um den zweiten Term umzuschreiben. Zur Deutung dieser Gleichung, insbesondere des Terms auf deren rechten Seite, kann man einen elektrischen Strom bestehend aus bewegten Punktladungen betrachten, entsprechend der Ladungsstromdichte a q a v a (tδ (3 ( r r a. Mit dieser Stromdichte gilt el. (t, r V j E(t, r d 3 r qa v a (t E(t, r a, a wobei der Strich neben dem Summenzeichen bedeutet, dass die Summe nur über die Punktladungen läuft, die sich im Volumen V befinden. (an J. H. Poynting, V

3 X.3 Energie und Impuls des elektromagnetischen Feldes 171 Die gesamte Energie dieser Punktladungen zur Zeit t ist E mat. (t a m a v a (t entsprechend der Summe deren kinetischen Energien. Daraus folgt de mat. (t [ ] d v a (t va (t m a. a Laut dem zweiten Newton schen Gesetz (I.14 ist der Term in eckigen Klammern genau gleich der Kraft auf die Punktladung a. Bei der letzteren handelt es sich um die durch das elektromagnetische Feld verursachte Lorentz-Kraft, d.h. de mat. (t a { [ va (t q E(t, ra a + v a (t B(t, r ]} a. Das Spatprodukt v a ( v a B auf der rechten Seite verschwindet, so dass übrig bleibt. Definiert man dann de mat. (t a qa v a (t E(t, r a E e.m. (t e e.m. (t, r d 3 r, V (X.5a die sich als Energie des elektromagnetischen Feldes in V zur Zeit t interpretieren lässt, im Einklang mit der Deutung von e e.m., so wird die Gleichung (X.4 zu de e.m. (t S e.m. (t, r d de mat. (t S. (X.5b V Die Interpretation dieser Gleichung ist ziemlich klar: die (Rate der Änderung der Feldenergie im Volumen V Term auf der linken Seite besteht aus der durch die Oberfläche V erster Term im rechten Glied und der Energie, die auf die Ladungen übertragen wird. Somit stellt wirklich Gl. (X.3c eine lokale Bilanzgleichung für die Energie dar, in welcher die in Gl. (X.3a und (X.3b definierten e e.m. und S e.m. die Energiedichte und -stromdichte des elektromagnetischen Feldes sind. X.3. Impulsdichte und -stromdichte des elektromagnetischen Feldes Ausgehend aus den Maxwell-Gleichungen lässt sich eine weitere Bilanzgleichung herleiten, wobei die erhaltene Größe jetzt vektoriell ist, und kann als Impuls des elektromagnetischen Feldes interpretiert werden. Man definiert das Vektorfeld g e.m. (t, r ɛ E(t, r B(t, r, (X.6a das hiernach als Impulsdichte interpretiert wird, und den Maxwell schen Spannungstensor σ e.m. mit kartesischen Komponenten (49 σ ij e.m.(t, r ɛ [E i (t, re j (t, r + c B i (t, rb j (t, r 1 δij[ E(t, r + c B(t, r ]]. (X.6b (49 Der Maxwell sche Spannungstensor wird manchmal mit der umgekehrten Zeichenkonvention, also wie der Tensor T e.m., definiert, z.b. in den frühen Auflagen (vor etwa 1985 von Landau & Lifschitz [14, 6]. Die hier verwendete Konvention ist also die der späteren Auflagen von Refs. [14, 6] sowie von Jackson [11, 1, Gl. (6.1].

4 17 Zeitabhängige elektromagnetische Felder Dazu kann man noch den Tensor T e.m. σ e.m., mit Komponenten T ij e.m.(t, r σ ij e.m.(t, r, (X.6c einführen: die Komponente ij dieses Tensors wird die Dichte des Stroms in Richtung i von der j-ten Komponenten des Impulses vom elektromagnetischen Feld modellieren. Dann gilt die Bilanzgleichung g j e.m.(t, r + i1 Te.m.(t, r ij f j L (t, r für j 1,, 3, (X.6d mit f j L (t, r der j-ten Komponente der Lorentz-Kraftdichte f L ρ el. E+ jel. B auf die Ladungen und Ströme, die das elektromagnetische Feld verursachen. Da diese Kraftdichte die Dichte des Impulses, der pro Zeiteinheit auf die Ladungen übertragen wird, darstellt laut dem zweiten Newton schen Gesetz ist nämlich die Kraft gleich der Rate der Impulsänderung, hat die Gleichung (X.6d genau die gleiche Form wie die Energiebilanzgleichung (X.3c: auf der linken Seite steht die Summe aus der Zeitableitung von Dichte und der Divergenz der Stromdichte, die nur das elektromagnetische Feld betreffen; auf der rechten liegt ein Term, der die Wechselwirkung zwischen dem Felde und den Quellen berücksichtigt. Herleitung der Gl. (X.6d: der Kürze halber werden die Variablen (t, r durchaus weggelassen. Unter Verwendung der Maxwell Gauß und der Maxwell Ampère-Gleichungen (X.1a, (X.1d lässt sich die Lorentz-Kraftdichte als f L ρ el. E + jel. B ɛ ( E E + ( 1 µ B ɛ E umschreiben. Dabei kann der letzte Term gemäß B E B ( E B B E ( ( E B + E E transformiert werden, wobei die letzte Gleichung aus der Maxwell Faraday (X.1c folgt. Somit gilt [ ( ( f L ɛ E E E E ] 1 ( B g e.m. B, µ wobei Definition (X.6a benutzt wurde. Mithilfe der Maxwell Thomson-Gleichung (X.1b kann man die Symmetrie der Terme mit den E und B Feldern erhöhen: [ ( ( f L ɛ E E E E ] + 1 [ ( ( B B B ] B g e.m.. µ Betrachte man die i-te Komponente dieser Gleichung. Für die zwei Terme der Form V ( V gilt (5 [ V ( V ] i ɛ ijk V j j,k1 V j ( V j l,m1 m klm V ɛ x l V i x j j,l,m1 ( V ( δ il δ jm δ im δ jl V j V m V j V i x j. Nach Abziehen der i-ten Komponente von ( V V kommt [ ( ( ] ( i V V V V V V j V i x j V i V j x j ( V (5 In vektorieller Form lautet diese Gleichung V ( V ( V x j ( V i V j. ( V V. x l

5 X.4 Elektromagnetische Wellen im Vakuum 173 Daher lautet die i-te Komponente der Lorentz-Kraftdichte [ fl i ( ɛ E i x j E j ( E ] [ + 1 µ ɛ [E i x j E j δ ij E ] + 1 [B i µ x j B j δ ij B ] ( B i x j B j ( B g e.m.. ] g e.m. Unter Berücksichtigung der Identität ɛ µ c 1 erkennt man den Maxwell schen Spannungstensor fl i x j σij e.m. g e.m. Te.m. ij x j g e.m.. Wegen der Symmetrie von Te.m. ij unter dem Austausch der beiden Indizes ist diese Gleichung, nach Umbenennung der Indizes i j, genau die Bilanzgleichung (X.6d. Bemerkungen: Offensichtlich hängt die Impulsdichte (X.6b mit dem Poynting-Vektor (X.3b einfach über g e.m. (t, r 1 c S e.m. (t, r. (X.7 zusammen. Die Spur des Maxwell schen Spannungstensor bzw. des Tensors T e.m. und die Energiedichte (X.3a genügen der einfachen Beziehung Tr T e.m. (t, r T 11 e.m.(t, r + T e.m.(t, r + T 33 e.m.(t, r e e.m. (t, r. (X.8

6 178 Zeitabhängige elektromagnetische Felder X.4. c Energie des elektromagnetischen Feldes Betrachte man der Einfachheit halber die Felder (X.45 für den Fall einer monochromatischen ebenen Welle mit Polarisationsvektor ε ( k (π 3 δ (3( k k E /(iω mit E R 3 und ω ω k : da die Richtung des elektrischen Feldes und daher auch der magnetischen Induktion konstant bleibt, handelt es sich um eine linear polarisierte Welle. Es gelten dann E(t, r E cos ( ω t k r (X.49a und B(t, r e k E c cos ( ω t k r k E ω cos ( ω t k r. (X.49b Aus der Orthogonalität von k und E folgt e k E e k E E, womit sich die Gleichung (X.48 wiederfinden lässt. Setzt man diese Felder in die Energiedichte (X.3a ein, so ergibt sich e e.m. (t, r ( ɛ E d.h. unter Verwendung der Beziehung ɛ µ c 1 + E µ c cos ( ω t k r e e.m. (t, r ɛ E cos ( ω t k r. (X.5 Interessant ist auch der über die Zeit gemittelte Wert definiert für eine beliebige periodische Funktion f durch f 1 T T f(t (X.51 mit T der Periode der Funktion von der Energiedichte. Im Fall der letzteren ist die Periodendauer T π/ω : da der Mittelwert von cos über eine Periode 1 ist, gilt Diese zeitgemittelte Energiedichte ist auch unabhängig vom Ort. e e.m. ( r ɛ E. (X.5 Mit den Feldern?(X.49 wird der Poynting-Vektor (X.3b zu E ( e k S E e.m. (t, r cos ( ω t µ c k r.

7 X.5 Klassische Theorie der Strahlung 179 Im doppelten Kreuzprodukt E ( e k E ( E e k ( E e k E verschwindet der zweite Term wegen der Transversalität der elektromagnetischen Welle im Vakuum. Somit gilt S e.m. (t, r E µ c cos( ω t k r e k. (X.53 gerichtet entlang der Ausbreitungsrichtung e k, wie es intuitiv der Fall sein soll. Gemittelt über die Zeit ergibt sich Se.m. ( r E µ c e k ɛ E c e k, d.h. nach Vergleich mit der zeitgemittelten Energiedichte (X.5 Se.m. ( r e e.m. ( r c e k. (X.54 Dies entspricht der Stromdichte assoziierte mit einer Dichte e e.m. ( r, die sich mit der (gerichteten Geschwindigkeit c e k ausbreitet.