Seminar: Quantenoptik und nichtlineare Optik Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes und die Dipolnäherung

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1 Seminar: Quantenoptik und nichtlineare Optik Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes und die Dipolnäherung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 1

2 Inhalt Motivation Maxwell-Gleichungen Quantisierung des Strahlungsfeldes Dipolnäherung Zusammenfassung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 2

3 Motivation Maxwellgleichungen beschreiben alle elektromagnetischen Phänomene 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 3

4 Warum Quantisierung? Strahlung eines schwarzen Körpers Wiensches Stahlungsgesetz nur gültig für kleine Wellenlängen Rayleigh Jeanssches Strahlungsgesetz führt zu UV-Katastrophe t Plancksches Strahlungsgesetz 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 4

5 Warum Quantisierung? Äußerer Photoeffekt Bisherige Meinung: kinetische Energie der Elektronen hängt von der Amplitude der elm. Welle ab Einstein: kinetische Energie der Elektronen hängt von der Frequenz der elm Welle ab 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 5

6 Maxwellgleichungen Gaußsches Gesetz Gaußsches Gesetz für Magnetfelder Induktionsgesetz Ampèresches Gesetz 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 6

7 Gaußsches Gesetz Die Ladung ist die Quelle des elektrischen Feldes 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 7

8 Gaußsches Gesetz für Magnetfelder Das magnetische Feld ist quellenfrei 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 8

9 Induktionsgesetz Änderungen des magnetischen Felds führen zu einem elektrischen Wirbelfeld 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 9

10 Ampèresches Gesetz Elektrische Ströme führen zu einem magnetischen Wirbelfeld Rechte Hand Regel 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 10

11 Maxwell-Gleichungen Maxwellgleichungen im Vakuum 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 11

12 Maxwell-Gleichungen Maxwell-Gleichungen in Materie 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 12

13 Quantisierung des Strahlungsfeldes Der reziproke Raum Vektorpotential und skalares Potential Longitudinale und Transversale Vektorfelder Normalvariablen Energie des elektromagnetischen ti Feldes Quantisierung Warum Bosonen? 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 13

14 Der reziproke Raum Fouriertransformation ti der Felder 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 14

15 Maxwellgleichungen im reziproken Raum Hängen nur noch von k ab,keine partiellen DGL`s mehr 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 15

16 Vektorpotential und skalares Potential A(r,t) und U (r,t) erfüllen Maxwell-Gleichungen 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 16

17 Vektorpotential und skalares Potential Reduzierung von 4 auf 2 Gleichungen 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 17

18 Vektorpotential und skalares Potential A und U nicht eindeutig festgelegt Eichfreiheit! 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 18

19 Coulomb Eichung Longitudinaler Anteil des Vektorpotentials ist 0 Wellen breiten sich in transversaler Richtung aus Skalares Potential entspricht Coulombpotential 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 19

20 Helmholtz-Theorem Ein Vektorfeld V läßt sich eindeutig als Summe eines wirbel- und eines quellenfreien Vektorfeldes darstellen mit 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 20

21 Longitudinale/Transversale Vektorfelder Longitudinale Vektorfelder Transversale Vektorfelder 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 21

22 Longitudinale/Transversale Vektorfelder Angewandt auf die reziproken Maxwellgleichungen 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 22

23 Normalvariablen Definition der Normalvariablen Analog gekoppeltes Federpendel 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 23

24 Normalvariablen Es gilt aufgrund von Umstellen der Gleichungen der Normalvariablen ergibt: 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 24

25 Harmonischer Oszillator Harmonischer Oszillator mit Potential Einführung der Normalvariablen Hamiltonfunktion mit Normalvariablen Kanonischer Impuls Bewegungsgleichung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 25

26 Normalvariablen Entwicklungsgleichung der Normalvariablen Äquivalent zum harmonischen Oszillator der Variable x + i(p/m w) mit Eigenfrequenz w, getrieben von externer Quelle Falls = 0 : Lösung ist harmonische h Oszillation, welche eine normale Vibrationsmode des freien Feldes beschreibt.! 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 26

27 Polarisationsvektoren Darstellen von a in einer Orthonormalbasis ( ), welche in einer Ebene orthogonal zu k sind Es gilt 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 27

28 Normalvariablen Daraus folgt : Neue Entwicklungsgleichung: l i 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 28

29 Energie des elektromagnetischen Feldes Energie des elektromagnetischen Feldes: Verwendung der Parseval-Plancherel-Gleichung Ergibt für das elektrische Feld 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 29

30 Energie des elektromagnetischen Feldes Es gilt und Die Energie des transversalen elektrischen Feldes + der magnetischen Energie ergibt somit: 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 30

31 Energie des elektromagnetischen Feldes Unter Verwendung der Gleichungen und Ergibt sich die Energie des transversalen elektromagnetischen Feldes zu : 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 31

32 Energie des elektromagnetischen Feldes Durch Normierung ergibt sich für Unter Verwendung der Orthonormalbasis durch k im 2. Term des Integrals ergibt sich und durch vertauschen von k 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 32

33 Periodische Randbedingungen Angenommen das Feld befindet sich in einem Würfel der Kantenlänge L Ersetzen der Variablen durch diskrete Variablen Änderung der Notation ti Ersetzen des Integrals durch eine Summe 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 33

34 Quantisierung Der Ausdruck für die Energie ergibt sich damit zu Die Normalvariablen werden durch Operatoren ersetzt: 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 34

35 Warum Bosonen? Spin Statistik Theorem Photonen sind Bosonen Anwendungen: z.b. Laser 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 35

36 Dipolnäherung Anschauliche Erklärung Hamiltonian des gesamten System Dipolnäherung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 36

37 Dipolnäherung Atomradius (a = = ,3 m) << Wellenlänge (l L m) 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 37

38 Beschreibung der Atome Nicht relativistisch! Beschreibung durch konjugierte Variablen und Kommutatorrelation minimal coupling Teilchen trägt Ladung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 38

39 Hamiltonian des gesamten Systems Hamiltonian des gesamten Systems Aufteilung des Hamiltonian in 3Teile Ungestörter Hamiltonian / Wechselwirkungshamiltonian 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 39

40 Hamiltonian des gesamten Systems Hamiltonian des Teilchen Hamiltonian i des transversalen Strahlungsfelds ld 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 40

41 Hamiltonian des gesamten Systems Wechselwirkungshamiltonian Linearer Term Quadratischer Term 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 41

42 Hamiltonian des gesamten Systems Vernachlässigung des Wechselwirkungshamiltonian Für schwache Wechselwirkung (z.b. kleine Laserintensitäten)gilt : H I1 /H P << 1 ï H I2 /H I1 << November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 42

43 Dipolnäherung Dipolmoment: Ausgangshamiltonian d 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 43

44 Dipolnäherung Räumliche Ausdehnung von A(r,t) vernachlässigbar A^(r,t) duch A^(R,t) ersetzen (R = Schwerpunkt des Atoms = 0) r 2 r 1 r 3 ï 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 44

45 Göppert Mayer Transformation Göppert-Mayer Transformation: mit Transformation auf Operatoren angewendet 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 45

46 Unitäre Transformationen Schrödinger Gleichung Transformierter Zustand Neuer Hamiltonoperator 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 46

47 Dipolnäherung ergibt neuen Hamiltonoperator mit Dipoleigenenergie des Systems 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 47

48 Dipolnäherung Transformation des transversalen elektrischen Feldes Wiederholung: Definition des Verschiebungsfeldes 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 48

49 Dipolnäherung Anwendung der Göppert Mayer Transformation auf D ergibt: Vergleich des letzten Terms des neuen Hamiltonoperators ergibt: 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 49

50 Dipolnäherung Hamiltonian in Dipolnäherung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 50

51 Zusammenfassung Maxwellgleichungen Quantisierung des Strahlungsfelds Dipolnäherung 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 51

52 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 52

53 Quellen [1] Cohen-Tannoudji, C., Photons and Atoms: Introduction to Quantum Electrodynamics (1. Auflage), Wiley (1997) [2] Cohen-Tannoudji, C., Atom-Photon Interactions: Basic Processes and Applications (1. Auflage), Wiley (1998) [3] Jackson, J., Klassische Elektrodynamik (4. Auflage), de Gruyter (2006) [4] Mandel, L. and Wolf,E., Optical coherence and quantum optics (1.Auflage), Cambridge University it Press (1995) 10. November 2010 Physik Institut für Angewandte Physik Jörg Hoppe 53