Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

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Jutta Inken Krämer
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1 18. Juni 2008

2 1 Energiewerte Maxwell-Gleichungen Wellengleichung Lagrange-Funktion Hamilton-Funktion 1 Kanonische Helmholtzsche freie Energie Innere Energie

3 Übersicht

4 Behandelt wird die im Vakuum. Das bedeutet, es existiert kein Potential V = 0 (1) und keine freien Ladungsträger, damit auch keine Stromdichte j = 0. (2) Erst durch die wurde es zum Beispiel möglich, das Plancksche Strahlungsgesetz herzuleiten.

5 Maxwell-Gleichungen Maxwell-Gleichungen E = ρ ɛ 0 (3) B = 0 (4) E = B t B = µ 0 J + µ0 ɛ 0 E t (5) (6)

6 Maxwell-Gleichungen Übersicht

7 Maxwell-Gleichungen Einführung des Vektorpotentials A B = A (7) E = V A t (8)

8 Maxwell-Gleichungen Neue Gleichungen mit A Aus den Maxwell-Gleichungen wird dann mit der Coulomb-Eichung A = 0, außerdem J = 0 und V t = 0 E = 0 A t = 0 (9) B = 0 ( A) = 0 (10) E = B t A t = t A (11) B = µ 0 J + µ0 ɛ 0 E t ( A) = µ 0 ɛ 0 2 A t 2 (12)

9 Wellengleichung Für die Gleichung 12 kann die Vektoridentität ( w) = ( w) 2 w angewendet werden. Wellengleichung µ 0 ɛ 0 2 A t 2 = ( A) = ( A) }{{ 2 A } =0 µ 0 ɛ 0 2 A t 2 = 2 A (13)

10 Wellengleichung Somit folgt also direkt aus den Maxwell-Gleichungen mit der Wahl V = 0 und j = 0 die Wellengleichung welche zum Beispiel von Wahl A s = A s 0 e z cos( kx ω s t) (14) gelöst wird. Der Index s indiziert dabei die verschiedenen Möglichkeiten der Wahl von ω.

11 Wellengleichung Der Ansatz 14 ist eine Lösung der Gleichung 13 wegen: 2 A s µ 0 ɛ 0 t 2 = 2 As µ 0 ɛ 0 ωs 2 A s = kx 2 A s ω 2 s k 2 x c 0 definiert hier die Lichtgeschwindigkeit. = 1 µ 0 ɛ 0! = c 2 0 ω s k x = c 0 (15) c 0 = 1 µ0 ɛ 0 (16)

12 Wellengleichung Das elektrische und magnetische Feld sind dann sich in x-richtung ausbreitende Wellen: Feldgleichungen B = A s = A s 0k x e y sin(k x x ω s t) (17) E = V A s t = A s 0ω s e z sin(k x x ω s t) (18) Die beiden Wellen stehen dabei senkrecht aufeinander.

13 Lagrange-Funktion Wellengleichung für das Vektorpotential 2 As = µ 0 ɛ 0 2 A s t 2 Daraus folgt die c 2 k 2 x A s = 2 A s t 2 (19) Lagrange-Funktion L = A 2 s 2 c2 0 k2 x 2 A 2 s, A s = A s t (20)

14 Lagrange-Funktion Verallgemeinerte Impuls p s := L As = As (21) Legendre-Transformation H = p s As L ( ) A = 2 As As s 2 c2 0 k2 x A 2 2 s = A 2 s 2 + c2 0 k2 x 2 A 2 s (22)

15 Hamilton-Funktion Hamilton-Operator Ersetzen mit i H = c2 0 k2 x 2 A 2 s (23)

16 Hamilton-Funktion Schrödingergleichung Eψ = ψ + c2 0 k2 x 2 A 2 s ψ (24) Diese Schrödingergleichung ist mathematisch äquivalent zum quantenmechanischen harmonischen Oszillator. Dessen Eigenwertlösung ist bekannt: Lösung Energieeigenwerte ( E s = ω s j s + 1 ), j s = 0, 1, 2,... (25) 2

17 Übersicht

18 Kanonische Kanonische Zustandsumme Z(T ) = q e Eq k B T (26) Die Energie eines Mikrozustandes E q = s max s=1 ω s(j s ) beinhaltet also alle vorkommenden Frequenzen. j max Z(T ) = j 1=0 j 1=0 j max s max j smax =0 s=1 j max = e ω 1 k B T (j ) s max j max = s=1 j s =0 e ωs k B T (js ) e ωs k B T (js ) j max j smax =0 e ωsmax k B T (jsmax ) (27)

19 Kanonische s max j max Z(T ) = s=1 j s =0 s max = = s=1 s max s=1 e ωs 2k B T e ωs k B T (js ) e ωs 2k B T j max j s =0 1 e ωs k B T ) (e ωs js k B T, mit j max (28)

20 Helmholtzsche freie Energie Helmholtzsche freie Energie F = k B T ln Z (29) = ω s 2 + k BT ) ln (1 e ωs k B T s s }{{} =:f

21 Helmholtzsche freie Energie ω s ist jedoch nicht diskret. Real ist die Frequenz kontinuierlich, jedoch nach der Zustandsdichtefunktion D(ω), verteilt.für den Wellenvektor k lässt sich die Zustandsdichte mit D(k)dk = 2 4πk2 ( 2π L herleiten. Daraus folgt mit ω = ck Zustandsdichtefunktion D(ω)dω = ) 3 dk = k2 L 3 dk (30) π2 ω2 π 2 dω (31) c3

22 Helmholtzsche freie Energie f = k B T s ) ln (1 e ωs k B T k B T = (k BT ) 4 3 c 3 π 2 = (k BT ) 4 3 c 3 π 2 dω ω2 0 0 = (k BT ) c 3 π 2 π 2 c 3 ln ( ) 1 e ω k B T dx x 2 ln(1 e x ) x 3 3 ln(1 e x ) 0 }{{} 0 =0 dx x 3 1 e x 1 0, x = ω k B T dx x e x 1 (32)

23 Innere Energie Thermodynamische Zusammenhänge: u = f + Ts, s = f T. Wegen f T 4 ist Ts = 4f und deswegen Innere Energie u u = f + Ts = 3f = (k BT ) 4 3 c 3 π 2 0 dx x 3 1 e x 1 (33) Daraus folgt direkt mit ω = 2πc λ, x = Plancksches Strahlungsgesetz hc λk B T das u(λ) = 2πhc2 1 λ 5 dλ (34) e hc λk BT 1

24 Innere Energie Durch Nullsetzen der Ableitung findet man das Wiensches Verschiebungsgesetz Mit 0 dx x 3 e x 1 = π4 15 λ max = kommt man zum 2897, 8µmK T (35) Stefan-Boltzmann-Gesetz Thermodynamische Größen I = 2π5 k 4 B 15h 3 c 2 T 4 (36) Sind über die aus der statistischen Physik bekannten Zusammenhänge durch einsetzen rasch herzuleiten.

25 Innere Energie Wichtig Genau die selbe Herangehensweise an das Problem quantisiert auch: Akustische Wellen Magnetonen Plasmonen und viele mehr...

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