6 Einige Gleichungen der mathematischen Physik

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1 203 6 Einige Gleichungen der mathematischen Physik Wir haben verschiedene dynamische Gleichungen kennengelernt, die die Bewegung eines physikalischen Systems wir betrachten in diesem Kapitel nur Systeme von Massepunkten beschreiben. Darunter gab es Gleichungen, die die Trajektorie des Systems beschreiben. Das waren die Newtonsche Gleichung, die Lagrangegleichung, das Hamiltonsystem. Diese Gleichungen sind weitgehen äquivalent. Es sind im Falle eines endlichen Systems von Massepunkten Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen erster bzw. zweiter Ordnung. Die gesuchte Lösung sind reellwertige zeitabhängige Funktionen, Trajektorien im endlichdimensionalen euklidischen Raum. Daneben gibt es Gleichungen, die dieselben Probleme beschreiben, deren gesuchte Lösung aber keine Trajektorie im euklidischen Raum sind sondern Funktionen von Zeit, Ort und Impuls (oder Geschwindigkeit). Diese Funktionen sind Felder. Die dazugehörenden Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen. Insbesondere gehören hierzu die Hamilton-Jacobi-Gleichung, die Liouvillegleichung, die Schrödingergleichung. Die letztgenannte gehört nicht zur klassischen Physik sondern zur Quantenmechanik. Wir betrachten sie hier aber, weil sie in enger Beziehung zur Hamiltonfunktion und zur Hamilton- Jacobi-Gleichung steht. 6.1 Die Schrödingergleichung Die Hamilton-Jacobi-Gleichung beschreibt zwar eine Wellenfront, aber keine Welle. Typische Charakteristika von Wellen wie Wellenlänge oder Frequenz gibt es hier nicht. Echte Wellenprozesse kann man mit den Maxwellgleichungen beschreiben. Aus ihnen lassen sich z.b. für das elektrische Feld E(x, t) Wellengleichungen herleiten. Im Vakuum hat sie die Form 1 2 c 2 t 2E(x,t) E(x,t) = 0 Hier ist der Laplaceoperator und c die Lichtgeschwindigkeit. Diese Gleichung hat die typische Form einer Wellengleichung, wie etwa die Gleichung für die schwingende Saite. Die Gleichung hat als Lösung E(x,t) = Ae i(ωt [k,x]) was man als ebene Welle bezeichnen kann. (Hier ist [, ] das 3-D Skalarprodukt.) ω (Frequenz) und k (Wellenvektor) sind freie Parameter, die über die Dispersionsrelation k = ω c gekoppelt sind. Die Wellenlänge λ wird aus k = ω c = 2π λ definiert.

2 204 6 EINIGE GLEICHUNGEN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK Die heuristische Herleitung der Schrödingergleichung Wie erwähnt, hat die Wellengleichung 1 c 2 2 t 2ψ(x,t) ψ(x,t) = 0 die Lösung ψ(x,t) = Ae i(ωt [k,x]) Louis de Broglie kam gestützt auf die Vorarbeiten von Max Planck 1924 im Rahmen seiner Dissertation auf die Idee, daß der Welle-Teilchen-Dualismus auf jegliche feste Materie anzuwenden sei, das heißt, daß auch Teilchen ein Wellenvektor und eine Frequenz zuzuordnen sei. Er postulierte folgende Zusammenhänge: E = ω p = k Diese Gleichungen waren bereits bekannt, wurden aber von rechts nach links gelesen: Einer Welle mit Frequenz ω und Wellenvektor k kann man Attribute eines Teilchens zuordnen, nämlich Energie und Impuls. Der Verdienst von Louis de Broglie war, daß man diese Gleichungen auch links nach rechts lesen kann. Schrödinger kam auf die Idee, diese Beziehungen zu benutzen um eine Wellengleichung für Teilchen herzuleiten. Er fragte sich, welcher Gleichung so eine Materiewelle genügen würde. Wenn wir die debroglie-gleichungen in die Lösung der Wellengleichung einsetzen, erhalten wir ( ψ(x,t) = Aexp i ( ) ) Et [p,x] Für diese Funktionen suchen wir (wie Schrödimger) eine Gleichung. Dazu leiten wir diese Funktion partiell nach Zeit und Ort ab und versuchen sie in einen geeigneten Zusammenhnag zu bringen. Dazu nehmen wir an, daß das Teilchen die konstante Energie E hat und seine Bewegung vom Hamilonian H(p,x) = 1 2m p2 +U(x) bestimmt wird. Differenziert man ψ(x,t) nach t und x, erhält man t ψ(x,t) = i Eψ(x,t) ψ(x,t) = 1 2p2 ψ(x,t) Damit erhält man ) ( 2 (i + t 2m U(x) ψ(x,t) = E 1 ) 2m p2 U(x) ψ(x,t) = 0 wennmandenwertderenergiee = H(p,x)berücksichtigt, diejaerhaltenbleibt,alsokonstant ist. Das ergibt schließlich i 2 ψ(x,t) = t 2m ψ(x,t)+u(x)ψ(x,t)

3 6.1 Die Schrödingergleichung 205 die berühmte Schrödingergleichung. Für allgemeinere Hamiltonians H(p, x) gilt i ψ(x,t) = H(i,x)ψ(x,t) t wobei die Ersetzungsregeln E i t p i x x benutzt wurden. H ist ein Operator, der auf die Funktion ψ wirkt. Zu beachten ist, daß diese Ersetzungsregeln eigentlich nicht für allgemeine Hamiltonians geeignet sind, da p und x als Operatoren nicht kommutieren. So ist etwa H(p, x) = xp = px im klassischen Hamiltonian, aber Hψ = xi ψ i (xψ) Die WKB-Methode für die Schrödingergleichung Die Schrödingergleichung sollte im Grenzfall 0 in eine Gleichung der klassischen Physik übergehen. Das siht man ihr ohne weiteres nicht an. Die sogenannte WKB-Methode ist eine Methode, mit der man die Schrödingergleichung in eine andere Form überführen kann, bei der Grenzübergang 0 durchführbar ist. Dabeu stellt sich heraus, daß die Schrödingergleichung in die Hamilton-Jacobi-Gleichung übergeht. Die Schrödingergleichung im einfachsten Fall lautet iψ t = 2 ψ +Uψ 2m Wir machen dan Ansatz ( ) i ψ = Aexp S P = A 2 = ψ ψ Alle Funktionen ψ,a,p,s sind skalare Funktionen von x und t. Wir leiten anstelle der linearen Schrödingergleichung für die komplexe Funktion ψ nichtlineare Gleichungen für die reellen Größen P (Wahrscheinlichkeitsdichte) und S (Wirkung) her. ( i ψ t = A t exp ψ = exp ( i S )+S S t A i ( ) i exp S ) A+A i ( ) i exp S S

4 206 6 EINIGE GLEICHUNGEN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK ( ψ = div( ψ) = div [ ( i = A, exp + i [ A S, exp = i exp ( i S ) [ A, S]+exp ( ) i exp S A )+ i ( div Aexp )] ( ) i S +exp S A+ ( i )]+ S i ( ) i exp S div(a S) = ( ) i S A 1 2Aexp ( i S ) [ S, S]+ i exp ( i S )div(a S) Damit ergibt sich aus der Schrödingergleichung ( ) ( ) i i iψ t = ia t exp S S t Aexp S = = i ( ) ( ) i 2m exp S [ A, S] 2 i 2m exp S A+ + 1 ( ) i 2m Aexp S [ S, S] i ( i 2m exp S Division durch die Exponentialfunktion ergibt ( ) ) i S S = ) div(a S)+UAexp ( ) i S ia t S t A = i 2 [ A, S] 2m 2m A+ 1 i A[ S, S] 2m 2m div(a S)+UA Alle Funktionen sind reell, deshalb ergeben sich zwei Gleichungen für Real- und Imaginärteil: A t = [ A, S] 2m 2m div(a S) S t A = 2 2m A+ 1 2m A[ S, S]+UA oder A t = 1 2m [ A, S] 1 2m div(a S) S t = 2 2m Der Ausdruck U = 2 A 2m A A A 1 2m S 2 U wird Quantenpotential genannt. In der ersten Gleichung schreiben wir P anstelle von A unter Benutzung von d dt A2 = P t = 2AA t div ( A 2 S ) = div(p S) = div(a A S) = A div(a S)+A[ A, S]

5 6.1 Die Schrödingergleichung 207 Multiplikation der ersten Gleichung mit 2A ergibt schließlich eine Gleichung für P. Außerdem läßt sich das Quantenpotential U als Funktion von P schreiben. Das ergibt folgendes System P t = 1 m div(p S) 0 = S t + 1 2m S 2 +U 2 4m [ ] P P P 2 2P Die WKB-Methode (1-D stationär) Es sei f(x) Lösung der Schrödinger-Gleichung (siehe Messiah I S.226) f (x)+ 2m (E V(x))f(x) = 0 2 Wir setzen f(x) = exp wobei wir g als ( i g(x) ) g(x) = S(x)+ i loga(x) setzen. Das bedeutet, wir suchen f(x) in der Form ( f(x) = exp i S(x)+ loga(x) ) ( i = A(x)exp i S(x) ) d.h., wir trennen Amplitude und Phase. Damit erhält man folgendes Gleichungssystem [ S (x) ] 2 2m(E V(x)) = 2 A (x) A(x) 2A (x)s (x)+a(x)s (x) = 0 Die letzte Gleichung läßt sich lösen. Man erhält (mit einer Konstanten c) A(x) = c S (x) Das kann man in die erste Gleichung einsetzen und erhält [ S (x) ]2 2m(E V(x)) = 2 [3 4 ( S (x) S (x) ) S (x) S (x) Diese Gleichung ist äquivalent zur Schrödinger-Gleichung. Die WKB-Methode besteht nun im Zerlegen von S(x) bezüglich. Das 0-te Glied liefert die klassische Näherun. ]

6 208 6 EINIGE GLEICHUNGEN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK 6.2 Liouville- und Fokker-Planck-Gleichung Die Liouvillegleichung Wir betrachten ein Hamiltonsystem ṗ(t) = x H(p,x) ẋ(t) = p H(p,x) mit den Anfangswerten p(0) = p 0, x(0) = x 0. Es hat die Lösung p t = p(t) X, x t = x(t) X. Es sei Z = X X der Zustandsraum des Systems. Die Liouvillegleichung dieses Systems ist seine Projektion in den bidualen Raum Z = C (Z) (siehe letztes Semester). Unter der Annahme, daß das Wahrscheinlichkeitsmaß der Trajektorie eine Dichte W(p,x,t) (positiv und normiert auf 1) bezüglich des Lebesguemaßes hat, ist bekannt, daß sich anstelle des Hamiltonsystem (wie anstelle jeden deterministischen dynamischen Systems) die Liouvillegleichung t W(p,x,t) = ( p x H(p,x)W(p,x,t) ) ( x p H(p,x)W(p,x,t) ) = = p W(p,x,t), x H(p,x) p H(p,x), x W(p,x,t) mit einem Anfangswert W(p,x,0) = W 0 (p,x) betrachten läßt. W(p,x,t) ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, daß sich zum Zeitpunkt t das System in einem Zustand (p, x) befindet. Genauer ist B p B x W(p,x,t)dpdxdie Wahrscheinlichkeit, daß sich zum Zeitpunkt tdas System in einem Zustand p B p und x B x befindet, wobei B p,b x geeignete Borelmengen sind. Das ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung. Die Trajektorien p t und x t sind die sogenannten Charakteristiken der Liouvillegleichung. Sind sie bekannt, läßt sich die Lösung W aus dem Anfangswert durch W(p,x,t) = δ(p p t )δ(x x t )W 0 (p 0,x 0 )dp 0 dx 0 Z ermitteln. Hier ist δ die Deltafunktion, ein Symbol für die Dichte eines Punktmaßes bezüglich des Lebesguemaßes. Ist umgekehrt W(p,x,t) bekannt und die Trajektorie (p t,x t ) mit ihren Anfang (p 0,x 0 ) gesucht, so muß sie aus dem Feld W extrahiert werden. Dazu muß als erstes die Liouvillegleichung mit dem Anfangswert W 0 (p,x) = δ(p p 0 )δ(x x 0 ) gelöst werden. Das heißt, wir nehmen an, daß sich das System am Anfang mit Sicherheit im Punkt (p 0,x 0 ) befunden hat. Aus der Theorie der partielle Differentialgleichung erster Ordnung ist bekannt, daß dann auch die Lösung zu einem späteren Zeitpunkt mit Sicherheit bestimmt ist. D.h., es ist W(p,x,t) = δ(p p t )δ(x x t ) undesbleibt dieaufgabe,ausdieser Funktion (p t,x t )zuextrahieren. Dassieht aufden ersten Blick einfach aus. Man sieht die Lösung ja bereits in dieser formalen Darstellung. Tatsächlich läßt sich die Liouvillegleichung mit singulären Anfangswerten nur in vager Form lösen, d.h., die Trajektorie (p t,x t ) ist aus geeigneten Funktionalen zu extrahieren. Im R n bieten sich dafür die Fouriertransformierten an. Ist Ŵ(λ,µ,t) = e i[p,λ] e i[x,µ] W(p,x,t)dpdx = e i[pt,λ] e i[xt,µ] Z

7 6.2 Liouville- und Fokker-Planck-Gleichung 209 mit dem Skalarprodukt im R n, [, ], so ist p t = 1 i λŵ(λ,µ,t) λ=0,µ=0 x t = 1 i µŵ(λ,µ,t) λ=0,µ=0 Im allgemeinen kann diese Extrahierung schwer sein. Die Methode liefert aber eine Idee, wie man bei der HJE vorgehen könnte. Man sollte die Fouriertransformierte die in diesem Fall die Legendretransformation ist der Wirkung betrachten Die Fokker-Planck-Gleichung

8 210 6 EINIGE GLEICHUNGEN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK 6.3 Übersicht über die Gleichungen Wir betrachten hier den allgemeinen Fall, den Fall, bei dem sich die Lagrangefunktion als Differenz schreiben läßt und den Fall des freien Teilchens mit quadratischer kinetischer Energie. Das Zeichen zb = ist als z.b. zu lesen Dynamische Gleichungen Newtonsche Gleichung Kraft = Masse mal Beschleunigung Mẍ(t) = f p +f r +f f +f g +f s Exemplarisch haben wir hier verschieden Kräfte aufgeführt: f p -Potentialkraft f p = U (x) f r -Reibungskraft, z.b. f r = αẋ f f -Federkraft (spezielle Potentialkraft), z.b. f f = cx f g -konstante Kraft (spezielle Potentialkraft), z.b. Gravitationskraft f g = g f s -Zufallskraft Lagrangegleichung Lagrangefunktion L(x,y) zb = T(y) U(x) zb = 1 2 My,y U(x) Lagrangegleichung 0 zb = d dt ẋl(ẋ,x) x L(ẋ,x) zb = T (ẋ)ẍ+u (x) zb = Mẍ(t)ẍ+U (x) Hamiltonsystem Hamiltonfunktion ( ) zb= H(p,x) = sup y,p L(y,x) T (p)+u(x) = 1 zb y 2 M 1 p+u(x) Hamiltonsystem ṗ(t) = U(x) ẋ(t) = T (p) p(t) = T (ẋ)

9 6.3 Übersicht über die Gleichungen Feldgleichungen Hamilton-Jacobi-Gleichung X(t;x 0,t 0,x 1,t 1 ) and the integral S(x 1,t 1 ;x 0,t 0 ) = t1 t 0 L ( X(t;x 0,t 0,x 1,t 1 ),Ẋ(t ;x 0,t 0,x 1,t 1 ) ) is the solution S = S(x 1,t 1 ) to the Hamilton-Jacobi equation 0 = t1 S +T ( x1 S ) +U(x 1 ) S(x 1,t 0 ) = f(x 1 ) Liouvillegleichung t W(p,x,t) = ( p x H(p,x)W(p,x,t) ) ( x p H(p,x)W(p,x,t) ) = = p W(p,x,t), x H(p,x) p H(p,x), x W(p,x,t) Schrödingergleichung i 2 ψ(x,t) = t 2m ψ(x,t)+u(x)ψ(x,t)