Die Gutzwiller sche Spurformel. Tobias Dollinger

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1 1 Die Gutzwiller sche Spurformel Tobias Dollinger

2 2 Motivation: Semiklassische Bestimmung von Energieniveaus nicht integrabler Systeme Bestimmung von Energieniveaus integrabler Systeme: Einstein Brillouin Keller (EBK) - Bedingung (1917) Ein Semiklassischer Ansatz für die Lösungen der Schrödingergleichung liefert Quantisierungsbedingung für die invarianten Tori mittels derer die erlaubten Eigenenergien bestimmt werden Methode zur Behandlung nichtintegrabler Systeme: Gutzwiller sche Spurformel (1971)

3 3 Die Gutzwiller sche Spurformel Quantenmechanik Näherung der Stationären Phase Klassische Mechanik

4 4 Klassische Mechanik (1/2): Hamiltonsches Prinzip Entlang klassischer Phasenraumtrajektorien wird die Hamiltonsche Prinzipalfunktion extremal, gemäß dem Hamiltonschen Prinzip: Hamiltonsche Prinzipalfunktion: Lagrangefunktion: Konservative Systeme: Hamiltonfunktion: Zeitentwicklung:

5 5 Klassische Mechanik (2/2): Wirkungsintegral S Legendretransformation in Hamiltonsche Prinzipalfunktion: Wirkungsintegral

6 6 Quantenmechanik: Eigenenergien Die Eigenzustände lösen das Eigenwertproblem des Hamiltonoperators: Die zugehörigen Eigenwerte entsprechen der Energie des jeweiligen Zustandes. Die Eigenzustände bilden ein vollständiges orthonormales (VON) System: (Stationäre SGL) Dies liefert eine Darstellung der Diracschen Deltafunktion: H := Hamiltonoperator, H = T + V Im Folgenden wird die Dirac Schreibweise benutzt

7 Zustandsdichte 7

8 8 Die Green-Funktion lässt sich nach Eigenzuständen von H entwickeln Ausgangspunkt: retardierter Green scher Operator mit Ansatz für Green-Funktion:

9 9 Die Spur (Tr) der Green-Funktion liefert den Zusammenhang mit der Zustandsdichte Für endlichdimensionale quadratische Matrix:

10 10 Zeitentwicklung Die quantenmechanisch erlaubten Zustände sind Lösungen der Schrödingergleichung (SGL): (Zeitabhängige SGL) Zeitentwicklung der Zustände: Bedingung für den Zeitentwicklungsoperator: Zeitentwicklungsoperator in konservativen Systemen:

11 11 Propagator Ortsdarstellung der Zustände: Das ist die Definition des Propagators vom Ort A zum Ort B Bemerkung: Analogie zum Huygens schen Prinzip

12 12 Hinführung zum Pfadintegral (1/2) Betrachte den Zeitentwicklungsoperator in kleinen Zeitintervallen Berechne den Propagator: Propagation über alle möglichen Wege

13 13 Hinführung zum Pfadintegral (2/2) Nach (N-1)-facher Ausführung ergibt sich für den Propagator: Nacheinander werden berechnet: 1. Der One Step Propagator 2. Der Two Step Propagator

14 14 One Step Propagator: Näherung für den Zeitentwicklungsoperator Darstellung des Zeitentwicklungsoperators:

15 One Step Propagator: Ausführen des Integrals 15

16 One Step Propagator: Hamiltonsche Prinzipalfunktion 16

17 One Step Propagator: Betrachtung des Vorfaktors 17

18 18 Feynman sches Pfadintegral Für kurze Zeitintervalle gilt also: Einsetzen in Gesamtpropagator liefert das Feynman sche Pfadintegral: Alternative Darstellung:

19 19 Berechnung des Two Step Propagators oder Stationäre-Phasen-Näherung

20 20 Die Näherung der stationären Phase (1D) (1/4) (entspricht schneller Oszillation)

21 21 Die Näherung der stationären Phase (1D) (2/4) : :

22 Die Näherung der stationären Phase (1D) (3/4) 22

23 23 Die Näherung der stationären Phase (1D) (4/4) : :

24 24 Näherung der stationären Phase: Zusammenfassung (1D) : :

25 25 Zurück zur Berechnung des Two Step Propagators Stationäre-Phasen-Näherung

26 26 Nur klassische Trajektorien überleben die Bedingung der stationären Phase Dies gilt nur für klassisch erlaubte Trajektorien Die Prinzipalfunktion ist additiv:

27 27 Das Integral wird mittels Stationäre-Phasen-Näherung berechnet Stationäre-Phasen-Näherung #1 Ortsraum d- dimensional Vereinfachung

28 28 Der Vorfaktor lässt sich beträchtlich vereinfachen Vorfaktor: Start festgehalten

29 29 Der Vorfaktor kann für große Zeitintervalle singulär werden Letztendlich wird nur durch ersetzt Problem: Bei größeren Zeitintervallen werden konjugierte Punkte durchlaufen Dort wird der Determinanten-Vorfaktor singulär d.h. = 0 Konjugierte Punkte Lösung: Übergang in den Impulsraum Spezialfall: Focus

30 30 Das Passieren eines konjugierten Punktes liefert einen zusätzlichen Phasenfaktor Problem in 1 D: Konjugierte Punkte entsprechen klass. Umkehrpunkten p Klassischer Umkehrpunkt 3 4 Übergang in Impulsraum (Stationäre - Phasen - Näherung): x 2 1 Rücktransformation in Ortsraum (Stationäre Phasen - Näherung): Fazit: Nach Durchlaufen des Umkehrpunktes zusätzlicher Phasenfaktor von -

31 31 Semiklassischer- oder Van-Vleck-Propagator Das Passieren der konjugierten Punkte liefert eine Phase von Der Maslov-Index entspricht der Anzahl der verschwindenden Eigenwerte von D Es gibt möglicherweise mehrere klassisch erlaubte Wege r

32 32 Vom Semiklassischen Propagator zur semiklassischen Green-Funktion Fouriertransformation des Propagators liefert die Green - Funktion Kausalität Stationäre-Phasen-Näherung #2

33 Zusammenhang zwischen Phase und Wirkung 33

34 34 Berechnung der Phasenverschiebung in der Exponentialfunktion Voraussetzung für stationäre Phase: im Exponentialfaktor

35 35 Betrachtung des Vorfaktors (1/2) Differenziere die Wirkung nach dem Anfangsort: Differenziere das Ergebnis nach dem Endort

36 Betrachtung des Vorfaktors (2/2) 36

37 37 Semiklassische Green-Funktion Nach obigen Vereinfachungen erhält man als Semiklassische Green Funktion:

38 38 Einschub: Monodromie - Matrix (1/2) Die Monodromie Matrix liefert in linearer Näherung die Entwicklung einer infinitesimalen Variation im Phasenraum Aus der klassischen Mechanik:

39 39 Einschub: Monodromie - Matrix (2/2) Spezialfall: Insbesondere für periodische Bahnen gilt:

40 40 Spur der Green - Funktion Um zur Zustandsdichte zu gelangen, muss man noch die der Spur der Green Funktion bilden: Stationäre-Phasen-Näherung #3

41 Nur periodische Bahnen überleben die Bedingung der 3.Stationären-Phasen-Näherung 41

42 42 Ausführung des Integrals mittels senkrechter Koordinaten Definition senkrechter Koordinaten: Taylor Entwicklung der Wirkung inklusive Terme zweiter Ordnung: Der erste Summand entspricht dem klassischen Wirkungsintegral

43 43 Entwicklung des Determinanten - Vorfaktors Vereinfachung durch differenzieren der Hamilton Jacobi Gleichung: Analog:

44 Integration über senkrechte Komponenten mittels Fresnel Formel; Einbindung der Monodromie Matrix 44

45 45 Endergebnis: Gutzwiller sche Spurformel Gutzwillersche Spurformel: Näherung des quantenmechanischen Spektrums ausgedrückt Eigenschaften geschlossener Bahnen, nämlich der Stabilität, der Umlaufdauer und der Maslov - Indizes

46 46 Bemerkungen: Dargestellte Formel nur gültig für instabile Bahnen Näherung nur sinnvoll im Semiklassischen Limes, d.h. wenn die betrachteten Wirkungen sehr viel größer als h sind Für Näherung der Zustandsdichte muss Beitrag der Bahnen der Länge 0 addiert werden ( = mittlere Zustandsdichte)

47 Zusammenfassung 47