Zusammenfassung: Goldene Regel (v24) Def.vom Zeitentwicklungsop.

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1 Zusammenfassung: Goldene Regel (v24) Def.vom Zeitentwicklungsop. im WWB : "Dyson-Reihe": Stöhrungsentwicklung der Koeffizienten: Gesamtübergangswahrscheinlichkeit: "Übergangsrate": Fermi's "Goldene Regel":

2 6.10 Energieverschiebung und Zerfallsbreite Wie verändert sich der Anfangszustand? Schalte Störung adiabatisch ein: Koeffizienten: Übergangsrate:

3 Darstellung der Dirac- Delta funktion: Limes reproduziert Goldene Regel: Entwicklung von Selber rechnen...

4 Relative Abnahmerate: Lösung: Zeitentw. von im WWB: Zeitentw. von im Schrödingerbild: Störung verursacht Verschiebung:

5 "Energieverschiebung": "Zerfallsrate": Zerfall von "Lebzeit" von Explizit, mittels (St54.1): Zur Auswertung von (St55.4) brauchen wir folgende Identität: Heuristische Begründung für (St55.5):

6 "Energieverschiebung": (konsistent mit Zeitunabhängiger St.-Th.) "Zerfallsrate": [konsistent mit goldener Regel] Check Normierung bis zur 2.ten Ordnung: Korrelator: Fouriertransform:

7 6. Identische Teilchen (Sakurai, Kap.6, siehe auch Griffiths, Kap. 5) 6.1 Permutationssymmetrie Identische Teilchen in der Quantenmechanik sind nicht unterscheidbar. prinzipiell nichtunter= Mathematisch sind dies zwei verschiedene Zustände: Hilbertraum für Teilchen 1 Hilbertraum für Teilchen 2 Permutation Messung v. 1 und 2 liefert aber für alle Zustände der Form, dasselbe Ergebnis, nämlich: "Austauschentartung": Ein Teilchen ist in das andere ist in nichtunterscheidbar, denn die Teilchen sind identisch! Für Mehrteilchensystem ist Angabe der Eigenwerte eines vollständigen Satzes von Observablen nicht ausreichend, den Zustand vollständig zu spezifizieren.

8 6.1.1 Permutationsoperator Teilchen 1 mit k' wird Teilchen 1 mit k'' Teilchen 2 mit k'' wird Teilchen 2 mit k' P -Eigenwerte: A1, A2 seien diesselben Observablen A für Teilchen 1, 2: Permutiere (Id2.3a): Fazit: vertauscht die Teilchen-Indizes von Observablen

9 Hamilton für zwei identische Teilchen ist symmetrisch unter Z.B: H und P vertauschen: Folglich ist P erhaltene Größe: Eigenzustände von H können folglich so gewählt werden, dass sie auch Eigenzustände von P sind. Symmetrisch: Antisymmetrisch: Konsequenz der Nichtunterscheidbarkeit: Vertauschen zweier Teilchen liefert denselben Zustand, bis auf eine Phase!

10 Symmetrisator: Antisymmetrisator: ist sym/antisymmetrisch unter Vertauschung symmetrisch antisymmetrisch Mehrteilchen- Permutator Sym/Antisymmetrischer 3-Teilchen- Zustand:

11 Dazugehörige Wellenfunktionen: N-Teilchen antisymmemetrische Wellenfunktion (Determinante bestimmt Vorzeichen!): Antisymmetrischer Zustand = 0 falls ein k-index mehrfach vorkommt!! (Determinante mit zwei gleichen Spalten = 0 )

12 6.2 Symmetrisierungspostulat: System v. N identischen Teilchen ist beim Vertauschen zweier Teilchen entweder komplett symmetrisch: "Bosonen", erfüllen "Bose-Einstein (BE)-Statistik", oder komplett antisymmetrisch: "Fermionen", erfüllen "Fermi-Dirac (FD)-Statistik". Postulat: N identische Bosonen N identische Bosonen N identische Fermionen N identische Fermionen Mehrteilchenzustände sind unter Permutationen der einzelnen Teilchen invariant (bis auf eine Phase) Empirische Tatsache: Gemischte Symmetrien kommen nicht vor! Spin-Statistik-Theorem: (Beweisbar mittels relativistischer QM) Teilchen mit ganzzahligem Spin sind Bosonen Teilchen mit halbganzzahligem Spin sind Fermionen Pauli-Prinzip: (folgt aus (Id6.2) In einem System identischer Fermionen können sich nicht gleichzeitig zwei (oder mehr) Fermionen in ein und demselben Zustand befinden.

13 Beispiel: Zwei Teilchen können in zwei möglichen Zustände vorkommen, Welche Zweiteilchenzustände sind möglich? Für Fermionen: Für Bosonen: Für klassische Teilchen: [erfüllen sog. "Maxwell- Boltzmann (MB)-Statistik] Einfluss d. Symmetrie auf mittleren Abstand zwischen 2 Teilchen: [Griffiths, 5.1.2] Unterscheidbare Teilchen:

14 Bosonen/Fermionen: falls WF a,b keinen Überlap haben. Fazit: ("Austausch-Kraft") "Austausch-Term" Der Abstand zwischen zwei Bosonen/Fermionen ist im Mittel etwas kleiner/größer als zwischen zwei klassischen Teilchen! "Bosonen mögen Gesellschaft, Fermionen nicht!"

15 6.3 Zwei-Elektron-System Ortsraum- Basiszustände: Allgemeine Form der 2-Elektron-WF: Falls dann ist Spin-Anteil der WF ein Triplet oder Singlet: Triplett (symmetrisch) Singulett (antisymmetrisch)

16 Fermi-Dirac-Statistik erfordert: Symmetrie unter von antisymmetrisch für Spin-Triplett symmetrisch für Spin-Singulett Konkretes Beispiel: Wahrscheinlichkeitsdichte: "Austausch-Dichte": verschwindend klein, wenn keinen Überlapp haben.