falls falls Tiefpassfilter lässt tiefe Frequenzen durch und dämpft hohe Frequenzen.

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1 Anwendung v. Faltungstheorem: Tiefpassfilter Wähle so, dass Dann: Somit: Tiefpassfilter lässt tiefe Frequenzen durch und dämpft hohe Frequenzen. Zusammenfassung habe Periode, mit stückweise stetig und beschränkt. Komplexe Fourier-Reihe: Komplexe Fourier- Koeffizienten: sind periodisch, also Satz Mittelwert der einseitigen Grenzwerte an allen Stetigkeitstellen

2 Reelle Fourier-Reihe: Reelle Fourier- Koeffizienten: Parseval-Identität: Definition: Faltung Faltungstheorem: Differenzieren: Fourier-Koeffizienten der Ableitung Fourier-Reihe einer Ableitung: Check: Ist dieses konsistent mit (2)? partielle Integration Zur Erinnerung: Partielle Integration (ganz allgemein)

3 Beispiel: Gedämpfter HO mit periodischem (nicht-harmonischem) Antrieb Gedämpfter HO: Periodischer Antrieb: Suche partikuläre Lösung, mit periodischem Ansatz: (3), (2) in (1): (5) gilt für alle t. Nur möglich, DGL wird im Fourier-Raum zu einer algebraischen Gleichung! (Gewaltige Vereinfachung!) Ferner: Faltungsth. rückwärts gelesen impliziert: mit 9.2 Dirac - Funktion: (Hilfsmittel zur Beschreibung scharfer Peaks) ist ein unendlich hoher, infinitesimal scharfer Peak bei t = 0 : Werte: Normierung: für für Aufzufassen als Limes einer Folge immer schärferer, normierter Peaks. Beispiele: Rechtecke: Fläche Dreiecke: Fläche Lorentz-Peaks: Exp.-Peaks:

4 Wird für sich allein betrachtet, existiert der Limes nicht, denn Allerdings ist der Limes wohldefiniert, wenn unter einem (verallgemeinerten) Integral vorkommt, für das die Konvention festgelegt wird, das Integral zu berechnen, bevor der Limes gebildet wird. z.b. für (18.3): Weil nur im Bereich Gewicht hat, können wir im im Limes unter dem Integral ersetzen! Annahme dabei: bei ist hinreichend glatt. ist eine "verallgemeinerte Funktion" oder "Distribution", (definiert über Folgen), d.h. eine Abbildung einer Funktion auf eine Zahl: Definition: Beispiel 1: Anwendung von in der Physik: ist mathematische Idealisierung eines Pulses, dessen Zeitdauer kleiner ist als alle Zeitskalen des Problems. "Stärke des Pulses" normiert: Physikalische Dimension: Beispiel: Kraftpuls Dimensionen: Kraft = Impuls pro Zeit Gesamtimpulsübertrag: Anwendung: Antwort eines gedämpften HO auf delta-puls: [Faltung von Inhomogenität ( = Puls) mit Antwortfunktion]

5 Beispiel 2: Anwendung von in der Physik 3-dimensionale delta- Funktion der Position: mit Dimension: (Länge) (Volumen) Ladungsdichte einer "Punktladung" bei : (mathematische Idealisierung einer Ladungsverteilung, deren Ausdehnung kleiner ist als anderen Lägenskalen des Problems) Gesamtladung: Potential einer Punktladung: Eigenschaften der delta-funktion: [Annahme: f(t) ist hinreichend glatt!] (können im Rahmen der "Distributionstheorie" (L. Schwartz) sauber bewiesen werden) ansonsten für alle stetigen oder differenzierbaren Funktionen Beispiel: Konsequenz v. 1: Insbesondere: Aber: Produktbildung mit singulären Funktionen, insbesondere, ist nicht möglich! (eine gerade Funktion) denn:

6 für denn: (Verallgemeinerung von 4.) wobei die einfachen Nullstellen von sind Ableitung der delta-funktion, wird definiert durch: (zu zeigen via partieller Integration) Periodische delta-funktion: Betrachte: Behauptung: die entsprechende Fourier-Reihe hat die Form d.h., die Fourier-Koeffizienten sind n-unabhängig (!) : Zunächst Plausibilitätsargument: Periodisch: denn Divergiert bei 0 Verschwindet ansonsten: Geometrisches Argument: deckt ganzen Einheitskreis ein, Vektorsumme =. Gewicht in einer Periode:

7 Herleitungen von : (eine von vielen möglichen... ) Strategie: Konstruiere eine periodische Kette von delta-artigen Pulsen, jeder mit Höhe Breite, und normiertem Gewicht. Berechne Fourier-Koeffizienten der Kette, und nehme am Ende den Limes Periodische Kette: normierter "Exponentialpuls": Gewicht: Beispiel einer "delta-funktion": "unendlich hoher", "unendlich scharfer" Peak, Gewicht 1!! Also: Fourier-Koeffizienten von : (scharfe Pulse, gut getrennt) dann gilt im Interval : wenn komplex konjugiert Limes : "Diskretes Frequenzspektrum" ("Frequenzkamm") mit Lorenzkurve als Einhüllenden unabhängig von n!

8 Bemerkung: Für vergleiche Schärfe der Pulse in Zeitdarstellung: Frequenzdarstellung: Faustregel: Zeitlich scharfe Pulse ( klein) haben ein breites "Frequenzspektrum" ( groß) Heisenbergs Unschärferelation in der Quantenmechanik ist von ähnlicher Natur! (und zu Grunde liegende Mathematik ist auch dort Fourier-Analysis! ) Periodische delta-funktion erlaubt uns einen Konsistenzcheck für Fourier-Reihendarstellung von period. Funktionen: konsistent? Vertausche Summe und Integral (Konvergenz vorausgesetzt) periodisch: denn denn ist periodisch! sei so gewählt, dass

9 Zusammenfassung : Fourier-Reihen Theorem : Jede (nicht-pathologische) periodische Funktion läßt sich schreiben als "Fourier-Reihe" der Form: Vorzeichen ist Konvention, in Mathe : + Fourier-Transformation mit Fourier- Koeffizienten : Fourier-Rücktransformation Wichtige Eigenschaften der Fourier-Exponenten : "Orthonormalität" : "Vollständigkeit" : Mathematischer Hintergrund: "Orthogonale Funktionen" Theorem: sei ein abzählbar unendlicher Satz von komplexen Funktionen auf dem Interval mit folgenden Eigenschaften : "Orthonormalität" : "Vollständigkeit" : Dann läßt sich jede (nicht-pathologische) Funktion f(t) auf I darstellen als: wobei Koeffizienten gegeben sind durch: D.h. die Funktionen bilden eine Basis im Vektorraum aller Funktionen f(t) auf I.

10 Konsistenzcheck 1: (3) in (4) : Konsistenzcheck 2 : (4) in (3) : Fourier-Fktn. sind orth. Fktn. mit periodischen Randbedingungen : Sei dann Orthonormalität: Vollständigkeit: für Fazit: Fourier-Entwicklungsatz (14.2), (14.3) ein Spezialfall (für periodische Randbedingungen) von Theorem von (30.3), (30.4)!